探索“一线三等角”模型（解析版）-八年级数学复习三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

专题07探索“一线三等角”模型

Q直角三角期中

❷等腰直角三角形中

等边三角

❹一线三直角

【常见图形】

【典例解析】

【例1】（2020•广东高州期中）如图1,已知NACB=90。，AC=BC,BDLDE,AE±DE,垂足分别为£＞、£（这

几何模型具备“一线三直角”）如下图1：

（1）①请你证明：Z∖ACEZZ∖CB3;②若AE=3,BD=5,求。E的长；

（2）迁移：如图2：在等腰Rf中，且NC=90。，CD=2,BD=3,D、E分别是边BC,AC上的点,

将OE绕点。顺时针旋转90。，点E刚好落在边AB上的点尸处，则CE=.（不要求写过程）

【答案】（1）①见解析；②DE=8；（2）CE=I.

9

【解析】（1）证明：CBDLDE,AELDEt

ΛZE=ZD=90o.

VZACB=90o,

ΛZ1=Z2,

ZE=ZB

在△?!CE与4C5O中，INl=N2,

AC=BC

：.AACE44CBD；

②解：同（1）,得AACEgACBD,

：・CE=BD=5,AE=CD=3,

ΛDE=CE÷CD=5+3=8.

（2）过产作RW_LBC于M,

则NFMB=NFMD=90。,

VZC=90θ,AC=BC,

ΛZB=ZΛ=45o,

JZMFB=ZB=45o,

ZBM=MF,

9：DELDF,

：.ZEDF=ZFMD=ZC=90O,

.∙.ZCED+/CQE=90。,NCDE+ZFQM=90°,

.∖NCED=NFDM,

ZCED=ZMDF

在XCED和△"£>/中，<NC=NFMD,

DE=DF

：.ACEDqXMDF,

VCZ>2,8力=3,

：.DM=CE,CD=FM=I=BM,

CE=OM=3-2=1,

故答案为1.

【例2】（2020・四川巴州期末）某建筑测量队为了测量一栋居民楼EQ的高度，在大树AB与居民楼EQ之间

的地面上选了一点C,使8,C,O在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的

夹角为90。，若AB=CD=12米，80=64米，请计算出该居民楼E。的高度.

E

田

A田

田

BCD

【答案】见解析.

【解析】解：由题意可知：ZB=ZCDE=ZACE=90o

：.NACB+NOCE=90°

.∙.AACB+ADCE=AACB+ABAC

：.NDCE=NBAC

又AB=CD

：.∕∖ABC^∕∖CDE

：.DE=BC,

：.BC=DE=BD-CQ=64-12=52

故该居民楼E。的高度为52米.

【例3】（2020•潮州市潮安区月考）问题背景：

(1)如图1,已知AABC中，ZBAC=90o,AB=AC,直线机经过点A,80,直线，*,CEL直线加，垂足

分别为点。、E.求证：DE=BD+CE.

拓展延伸：

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D、4、E三点都在直线，〃上，并且有/BD4

=NAEC=NBAC请写出OE、BD、CE三条线段的数量关系.(不需要证明)

实际应用：

(3)如图，在AACB中，NACB=90。，AC=BC,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(一6,3),请直

接写出B点的坐标.

【解析】（1）证明：VBD±w,CELm,

：.N4。B=NCEA=90°

'：NBAC=90。

.,.ZBAD+ZCAE=90o

•：ZBAD+/480=90。

：.NCAE=ZABD

NABD=NCAE

在^ADB和^CEA中，,NADB=NCEA

AB=CA

：.AADBmACEA

.'.AE=BD,AD=CE

.∙.DE=AEA-AD=BD+CE

即：DE=BD+CE

（2）数量关系：DE^BD+CE

理由如下：在AABO中，ZABD=180o-ZADB-ZBAD,

'：ZCAE=∖mo-ZBAC-^BAD,ZBDA=ZAEC,

：.ZABD^ZCAE,

NABo=NCAE

在△ABl）和△CAE中，＜NBDA=ZAEC

AB=CA

，IXABD马丛CAE

.'.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AD+AE^BD+CE；

（3）解：过4作AELX轴于E,过8作X轴于尸,

由（1）可知，AAEgACFB,

：.CF=AE=3,BF=CE=OE-OC=4,

.∙.OF=CF-OC=I,

点8的坐标为8（I,4）.

【例4】（2020•广东广州月考）如图，AELAB3.AE=AB,8CJ_C。且8C=C。，请按照图中所标注的数据,

计算图中实线所围成的图形的面积S是.

【解析】解：∙.∙∕E4尸+N8AG=90。,ZEAF+ZΛEF≈90o,

.∙.NBAG=NAEF,

ZF=ΛAGB=90o

在^AEF和^BAG中，«NAEF=ZBAG,

AE=AB

：.Δ.AEF^∆BAG,(AAS)

同理△BCGq/XCDH,

.∙.AF=8G=3,AG=EF=6,GC=DH=4,BG=CH=3,

'：梯形DEFH的面积=-(EF+Dff)∙FH=8O,

2

1

SAAEF=SAABCJ=—AF∙AE=9,

2

SABCG=SACDH=—CH∙DH=6,

2

图中实线所围成的图形的面积：80-2×9-2×6=50,

故答案为：50.

【例5】(2020.曲阜月考)如图，己知点P(2m—1,6机一5)在第一象限角平分线OC上，一直角顶点P在

OC上，角两边与X轴y轴分别交于A点，B点,贝IJoA+BO=

【解析】解：作过尸PE_Ly轴于E,PFJ_x轴于F,

.∙.2m-l=6m-5,

m-1,

：.P(1,I),

VZEPF=90o,

VZBZ¾=90o,PE=PF=T,

：.AEPB=AFPA,

ZPEB=ZPFA=90o

在^BEP和^AFP中，＜PE=PF

ZEPB=ZFPA

.∖ΛBEP^∕∖AFP(ASA),

JBE=AF,

：・OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE,

VP(1,1),

ΛOE=OF=I,

・・・04+03=2.

故答案为:2.

【习题专练】

1.（2020•广东英德期末）（1）如图1,已知：在ΔABC中，ZA4C=90o,AB^AC,直线/经过点A，

BDLl,CEjJ垂足分别为点。、E.证明：①NCAE=ZABD；②DE=BD+CE.

图1

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在ΔA8C中，AB=AC,。、A、E三点都在/上，并且有

NBa4=NAEC=N84C=c,其中C为任意锐角或钝角.请问结论Z）E=BD+CE是否成立？如成立,

请你给出证明；若不成立，请说明理由.

图2

（3）如图3,过AABC的边A3、AC向外作正方形ABOE和正方形ACFG,A"是BC边上的高，延

长HA交EG于点I,求证：/是EG的中点.

BHC

图3

【答案】见解析

【解析】解：(1)①YBDU,CELl

JNBDA=NCEA=90。

∙/ZBAC=90o

・•・NBA。+NCAE=90。

∙.βNB40+NABO=90。

.・・ZCAE=ZABD

/ABD=ZCAE

②在△AO8和△CEA中，＜ZBDA=ZCEA

AB=AC

：•ΔADB^ΔCEA

：.AE=BD,AD=CE

：,DE=AE+AD=BD+CE;

(2)成立：QE=8。+CE证明如下：

VNBDA=NBAGa

ΛZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-α

・♦・ZDBA=ZCAE

ZABD=ZCAE

在AAD3和ACE4中，＜ZBDA=ZCEA

AB=AC

：.ΛADB^ΔCEA

：.AE=BD,AD=CE

：.DE=AE+AD=BD+CE;

（3）过E作EM_LH/于M,GN_L4/的延长线于N

：.ZEMI=GNI=QOO

由（I）和（2）的结论可知⑸W=A"=GN

LEM=GN

ZGlH=ZEIM

在△EMl和△GNI中,（EM=GN

ZGHI=ZEMI

：.AEM咨AGNl

：.EI=GI

2.（2020•湖北武汉月考）如图，A点的坐标为（0,3）,B点的坐标为（-3.0）,。为X轴上的一个动点，AELAO,

（2）求证:M为BE的中点

（3）当。点在X轴上运动时•，探索:丝为定值

BD

【答案】见解析.

【解析】解：（1）过E点作EFJ_y轴于F,

ZAOD=ZAFE=WO

'：ZDAO+ZEAF=90o,

Z£AF+ZA£F=90°

，ZDAO=ZAEF

ND4。=ZAEF

在^AOD和△EEA中，＜ZAOD=ZAFE

AD=AE

：.∆AEM(AAS)

J.EF=OA=3AF=0D=5

：.。尸=AF-OA=5-3=2

即£(3,-2)

(2)Q点有3个位置

又，：ZAEF+ZEAF=90o,

：.ZAEF=ZDAO

：.ZXAOD丝ZXE"

,OB=EF,ZBoM=ZEMF=90°

.".Z∖80M丝ZkEFM(AAS)

1

：.BM=EM=-BE.

2

(3)根据(2)可知，D点在可以在3个位置，

当。点如下图的位置时，过。作直线a，X轴于。，过A作AG_La于G,

由(2)知4BoM冬AEFM,

：.EF=OB,

由(I)知AAOOZZXEE

即：EF=OA=OB,AF=OD

：.OF=AF-OA=OD-OB,

11

•：0M=-OF=-BD

22

.OM1

・-----=一，

BD2

当C在另外两个位置时，同理可证:

3.(2019•黑龙江齐齐哈尔期中)观察推理：如图1,AABC中，NAe8=90。，AC=BC,直线/过点C,点力、

8在直线/同侧，BDVl,AEU,垂足分别为。、E.

(1)求证：4AEC会ACDB；

(2)类比探究：如图2,RfAABC中，NACB=90。，AC=6,将斜边AB绕点月逆时针旋转90。至AS,连接

B'C,求△/力C的面积;

(3)拓展提升：如图3,NE=60。，EC=EB=Acmf点。在3C上，且OC=3cm,动点P从点E沿射线EC

以2cm∕s速度运动，连结OP,将线段O尸绕点。逆时针旋转120。得到线段OF.要使点尸恰好落在射线EB

上，求点P运动的时间.

【答案】见解析.

【解析】解：(l)・・・NACB=90。,

.∖ZACE+ZDCB=90o,

VBD±∕,AELl1

ΛZAEC=ZBDC=90o,

ΛZEAC+NACE=90。,

・・・ZEAC=ZDCB,

YAC=BC,

：.AAECB4CDB；

(2)过夕作BDLAC于D,

,o

ZBAC+ZBAC=Wt

又N3+NCA3=900,

1

：•ZB=ZBACf

.∖BfD=AC=6,

△A夕C的面积=6x6÷2=18;

(3)由旋转知，OP=OF,

A

cCP

・・•CE是等边三角形，

・・・NCBE=NBCE=60。

工NOCP=NFBo=I20。,NCPO+NCOP=60°,

VZPOF=120°,

o

：.ZCOP+ZBOF=Wf

：.∕CPO=∕BOF,

在ABO尸和APCO中，ZOBF=ZPCO=120o,ZBOF=ZCPO,OF=OP

MBOFQZXPCO,

：•CP=OB,

∙/EC=BC=4cm,0C=3cnι1

：.OB=BC-OC=1,

ΛCP=1,

：.EP=CE+CP=5,

点P运动的时间为：5÷2=2.5秒.

4.(2020・三台县月考)王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙,

木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∕ACB=90),点C在OE上，点A和B分别与

木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离.

B

DCE

【答案】见解析.

【解析】解：由题意得：

AC=BC,∕AC8=90°,ADLDE,BE上DE

/4/）C=NCE8=90°

ΛZBCE=ZDAC

NADC=NCEB

在AACC和A8CE中，NDAC=NBCE,

AC=BC

，AADgACEB

由题意得：A∕>CE=6,CD=BE=14,

.".DE=CD+CE=20

答：两堵木墙之间的距离为20cm.

5.（2019•舞钢市月考）小强为了测量一幢楼的高度AB,在旗杆C。与楼之间选定一点P（如图）.测得视线

PC与地面所成的夹角NQPC=36。，视线∕¾与地面所成的夹角NAP8=54。，己知旗杆的高度CZ）是10米，

量得P到楼底距离PB也是10米，量得旗杆与楼之间距离为08=25米，小强计算出了楼高，（旗杆与楼都和

【解析】解：由题意，得：ZD=90o,ΛDPC=36o,

：.ZPCD=180°-90°-36o=54o,

VNAPB=54。,

.∙.ZAPB=ZPCD,

⅛ΔAPBPCD中,

VZAPB=ZPCD,PB=CO=IO米，NABP=ND=90。,

：.∆APB^∆PCD,

：.AB=DP,

♦."=25米，PB=Io米，

.∙.OP=15米，即A8=15米.

故答案为：15.

6.（2019♦海口市月考）在，A8C中，NACB=90。，AC=BC,直线MN经过点。，且4。J_MN于O,

BELMN于E∙

(1)当直线MN绕点。旋转到图1的位置时，

①求证：ADC^ΛCEB-.

②求证：DE=AD+BE;

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立,

【答案】见解析.

【解析】证明：(1)®'：AD±MN,BE工MN,

二NADC=NBEC=90。,

∖∙NAcB=90。，

ZACD+/8CE=90。，ZDAC+ZACf>=90o,

NDAC=NBCE,

又YAC=BC,

Λ∆ADC^ΔCEB；

②∙.FAD%4CEB,

：.CD=BE,AD=CE,

∖'DE=CE+CD,

：.DE=AD+BE-,

(2)OE=AO+BE不成立，DE=AD-BE