2023届上海市长宁区高三二模数学试卷及答案

长宁区2022学年第二学期高三数学教学质量调研试卷

考生注意：

1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.

2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上

的答案一律不予评分.

3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合力={1,2,3,4,5},8={2,4,6,8},则=.

2.若“x=l”是“x>a”的充分条件，则实数。的取值范围为.

3.已知事件力与事件8相互独立，如果尸（4）=0.5,尸（4D研=04,那么尸（8）=.

4.当xe[a,+8）时，基函数>=/的图像总在、=小的图像上方，则a的取值范围为.

5.已知圆锥侧面展开图的圆心角为空，底面周长为2%.则这个圆锥的体积为

3

6.若函数y=ln（l+x）-aln（l-x）为奇函数，则实数a的值为.

7.设随机变量X服从正态分布N（2Q2）,若P（X4l）=0.2,则尸（X<3）=.

8.某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一

条边为围墙，如图.则至少需要米栅栏.-------------------

9.已知函数y=f（x）,y=g（x）满足/（》）+咫（刀）=/一1,

若/⑴=1,则/'⑴+g'（l）=—.

10.若对任意xe[l,2],均有k2_小卜+4=卜2+耳，则实数a的取值范围为.

11.已知空间向量a、B、c、（/满足：,一闸=1,忸一（?卜2,（a—刃）〃（加一c）,（a—伞一"）=0,

则J-d\的最大值为.

12.己知耳、外是双曲线「:l（a>0,6>0）的左、右焦点，/是「的一条渐近线，以鸟为

a2b2

圆心的圆与/相切于点尸.若双曲线「的离心率为2,贝UsinN历居=.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（）

A.平均数B.众数C.百分位数D.标准差

14.设复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点N和点B,则表示向量方的复数在复平面上所

对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

15.已知正方体NBCD-4与GD，点尸在直线上，。为线段8。的中点.则下列说法不正确

的是（）”，

A.存在点尸，使得尸4G；（

B.存在点P,使得PQUA.B；

C.直线尸0始终与直线CG异面；

D.直线尸。始终与直线8G异面.（>-r>„

16.设各项均为实数的等差数列｛q｝和｛"｝的前〃项和分别为S,,和7；,

对于方程①2023/-邑您”+.023=0，②f-qx+4=0,③W+a2O2｝x+b2O23=0.

下列判断正确的是（）

A.若①有实根，②有实根，则③有实根；B.若①有实根，②无实根，则③有实根；

C.若①无实根，②有实根，则③无实根D.若①无实根，②无实根，则③无实根

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要

的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品.现从中不放回地随机摸取2次小球，

每次一个.

（1）记“第二次摸出的小球是正品”为事件8,求证：2（8）=；;

（2）用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布和期望.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.

如图，在四棱锥尸-/8C。中，底面为直角梯形，ADHBC,ABVBC,AB=AD,

BC=2AB,E、F分别为棱8C、5尸中点.

（1）求证：平面4EF//平面DCP；

（2）若平面P8C_L平面/8CZ）,直线4户与平面尸8c所成的角为45。，且CP_LP8,

求二面角尸-4B-C的大小.n

19.(本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分8分).

某地新能源汽车保有量符合阻滞型增长模型x(f)=，其中x(f)为自统计之日起,

经过f年后该地新能源汽车保有量，力和r为增长系数，"为饱和量.

下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量(万辆)的统计数据:

年份20182019202020212022

t01234

保有量x(/)9.612.917.123.231.4

假设该地新能源汽车饱和量M=290万辆.

(1)若,•=0.31,假定2018年数据满足公式x(r)=M“,计算兀的值(精确到0.01)

并估算2023年年底该地新能源汽车保有量(精确到0.1万辆)；

(2)设夕=¥7-1,则Inn与，线性相关，请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分

析确定2和，•的值(精确到0.01).

附：线性回归方程y=晟+3中回归系数计算公式如下：

a=—-------------,b=y-ax

£”)2

/=1

20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分).

己知抛物线r：/=4x的焦点为产，准线为/,直线/'经过点尸且与「交于点月、B.

(1)求以尸为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为』的椭圆的标准方程；

2

(2)若|/8|=5,求线段ZB的中点到x轴的距离；

(3)设。为坐标原点，河为「上的动点，直线“〃、8M分别与准线/交于点C、D.

求证：瓦•历为常数.

3

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.

（1）求简谐振动y=sinx+cosx的振幅、周期和初相位夕何w[0,24））；

（2）若函数y=sin；x+；cosx在区间（0,阳）上有唯一的极大值点，求实数机的取值范围；

（3）设a>0,/（x）=sinax-asinx,若函数y=/（x）在区间（0,乃）上是严格增函数，求

实数a的取值范围.

4

参考答案

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.{2,4}2.(-oo,l)3.0.24.(l,+oo)5.半万6.1

历

7.0.88.49.310.[-1,1111.312.--

L」14

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.D14.A15.C16.B.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要

的步骤.

17.解：(1)记“第一次摸出的小球是正品”为事件/,

「⑷*=|，PP)=1-1=|,……2分

尸（4（18）=£=』，尸（Nn0=笑=』.............4分

\110\1岁10

因为尸（8）=尸（8口/）+川8口孙所以尸（8）=1............6分

2]]2

（2）尸丫=0）=与C=之3，尸（X=l）=*CC=士3，P（Z=2）=^C-=—1,……3分

\'C110\，C；5\'C}10

’012、

所以X的分布为331，....5分

<105W,

3314

EfZ]=0x—+lx-+2x—=-.....8分

L1105105

18.解：(1)由己知CE//D4,且C£=D4,

所以力。CE为平行四边形，AE//DC,......2分

因为E、尸分别为棱8C、8P中点，

所以EF"CP,.......4分

所以平面/EF//平面。CP........6分

(2)因为平面尸8c，平面ZBCO,且48_L8C,

所以45,平面尸8C,......2分

所以NZP8即是直线“尸与平面P8C所成的角，即4尸8=45。，.......4

因为48J.平面P8C,所以NBIPB,又因为/8_L8C,

5

所以NPBC即是二面角P-NB-C的平面角,6分

因为CP_LP8,所以sinNP8C=----

BC

因为NZP8=45。，AB1PB,所以4B=PB,

所以〜咏嘿嘿=；

得NPBC=60°,即二面角尸-4B-C的大小为60。.8分

290

19.解：（1）因为9.6=----；；,所以4=29.21.....3分

l+Ae°

因为x（5）=——=40.3,

''l+29.2e35

所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆....6分

（2）设"=Iny,贝ij“=-rt+InA

t01234

9.612.917.123.231.4

X”）

U3.373.072.772.442.11

2分

t=2,u=2.75,...4分

-2x0.62-0.32+0-0.31-2x0.64…

—r=------------------------------=—0.32,

4+1+0+1+4

所以尸=0.32...6分

ln4=i+/=3.39,所以；1=29.67.....8分

20.解：F（l,0）,1分

22

设椭圆方程为三+4=1（。>6>0）,半焦距为c,

a"b

则c=l,e=—=—,...2分

a2

22

所以Q=2,b=y/a—c=5/3,...3分

22

所以椭圆的标准方程为三+匕=1........4分

43

（2）设/（%,必）,B（x2,y2）,

因为上同=|｛尸|+忸尸|=$+/+2=5,所以再+々=3,...2分

6

设直线N3的方程为夕=%"-1）,

将直线方程代入抛物线方程得％-Q/+4卜+公=0,

所以西+9=2+最■，得阳=2,.......4分

设线段N3的中点（%,盟）,则=+%|=；卜（%+9-2）|=1,

所以线段的中点C到x轴的距离为1……6分

（3）准线方程x=-l,.......1分

设”（西，必），虫,％），M（%,比）,C（a,必）,D（a,y4）,

直线的斜率为星』=」一，直线8M的斜率为——,

占一不必+为y2+y0

直线4AZ的方程为卜=--—（x-x0）+^0,

必+为

4

直线5A/的方程为歹=-----（x-x0）+>^0,

%+盟

所以必=止3+%=士性，乂=上里，……4分

乂+弘弘+%8+%

设直线AB的方程为工=叼+1,

代入抛物线方程得/-4^-4=0,

所以,为=-4，.......6分

所以=（-4+-%）（-4+%%）=）仍--4仙+%）乳+16

（必+%乂%+%）苏+（必+%）乂>+必%

=-4.-4（乂+%）％+164=、

火+（必+%）y-4

得历•丽=1+%%=-3为常数.……8分

21.解：（1）j=V2sin|x+—J

所以振幅为3,周期为2t，初相为为2..................4分

4

7

(2)=sin--sin2—4--,........2分

222

设，=sin二，则y=—*+，+1,

22

i?

当■时，＞取得极大值士，....4分

24

由题意，方程sin1=；在区间（0,加）上有唯一解，

Ur*1、।冗/W57tzpzi7t57C./i

所以一＜一＜——，得一＜用〈——.....6分

62633

解法二：—cos—X--sinx=cos—x（--sin—x）.......2分

2