2022-2023学年湖南省邵阳某中学高二（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南省邵阳二中高二（上）入学数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的4个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）若集合M={X|H<4},N={X|3X21},则MCIN=（）

A.{x|0WxV2}B.{x|-<X<2}C.{x|3Wx〈16}D.{x\~<x<16}

2.（5分）若复数z满足*z=3-4z,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

3.（5分）已知向量征=(3,4),b=(1,0),c=a+仍，若<a,c>=<b,c>,则f

=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.（5分）己知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△48C及其内部的点构成的集合.设

集合T={Q6S|PQW5},则7表示的区域的面积为（）

37r

A.—B.ITC.2nD.3n

4

5.（5分）如图，在棱长为2的正方体ABC。-481clz）1中，4为的中点是P,过点A1作

与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为（）

A.2V2B.2V3C.2V6D.4

6.（5分）在△ABC中，AC=3,3c=4,/C=90°.产为△48C所在平面内的动点，且

PC=1,则届•丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

C,D,E,尸为6个开关，其闭合的概率都是右且

7.（5分）一个电路如图所示，A,B,

是相互独立的，则灯亮的概率是（)

11

C.D.

816

8.(5分)设函数f(x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当在口,

-19

2］时，f(x)=o?+6.若/(0)+f(3)=6,则/(一)=()

9375

----C--

A.4B.24D.2

二、多选题(4个小题每个题5分共计20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得5分，部分对的得2分，有选错的得0分.)

(多选)9.(5分)已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是

()

A.如果BUA,那么P(AUB)=0.2,P(AB)=0.5

B.如果A与8互斥，那么P(AUB)=0.7,P(AB)=0

C.如果A与B相互独立，那么P(AUB)=0.7,P(AB)=0

D.如果A与8相互独立，那么PCAB)=0.4,P(AB)=0.4

(多选)10.(5分)在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)：(c+a)：

Ca+b)=4：5：6,则下列结论正确的是()

A.sinA：sinB：sinC=7：5：3

B.CA-AB<0

C.若c=6,则△ABC的面积是15

D.若人+c=8,则△ABC外接圆半径是手

11.(5分)已知函数/(x)=Asin(3x+<p)(A>0,co>O,|<p|<5)的部分图象如图所示，

则()

A.f（x）的图象关于直线》=-号对称

B./（x）的图象关于点（一修，0）对称

C.若方程f（x）=%在［-a0］有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围为（-2,

-V3J

D.将函数y=2sin⑵—Q的图象向左平移，单位长度得到函数/（x）的图象

1

（多选）12.（5分）如图直角梯形A8CD中，AB//CD,AB上BC,BC=CD=^AB=2,

E为A8中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2遮，则

（）

B.PC.LBD

TT

C.二面角尸-OC-B的大小为一

4

D.PC与平面PED所成角的正切值为近

三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13.（5分）为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽

取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为&：5：3.已知高一年级共抽

取了240人，则高三年级抽取的人数为人.

14.（5分）已知空间向量；,b,京满足4+）+4=0,|a|=3.\b\—l,|c|=4,则+

c+的值为.

15.（5分）已知三棱锥P-ABC内接于半径为5的球，NAC8=90°,AC=7,BC=V15,

则三棱锥P-A8C体积的最大值为.

16.（5分）设3，02为单位向量，满足|2瑟一02区无，a=ei+e2，b=3e^+e2,设a,b的

夹角为0,则cos20的最小值为.

四、（解答题共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知向量之=（3,2）,b=（x,-1）.

（1）当—时,求向+2&；

(2)当六=(一8,-1),a||(b+c),求向量1与♦的夹角a.

sinA+sinB+sinCsinB

18.（12分）已知△A8C的内角A,B,C满足

sinCsinB+sinC-sinA

(1)求角A;

（2）若△ABC的外接圆半径为1,求△ABC的面积S的最大值.

19.（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地

资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为

了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲

同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q（p>q）,且在考试中每人各

15

题答题结果互不影响.己知每题甲，乙同时答对的概率为:，恰有一人答对的概率为一:.

212

（1）求0和q的值；

（2）试求两人共答对3道题的概率.

20.（12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理

后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（I）80至90这一组的频数、频率分别是多少？

（II）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；（不写过程）

(Ill)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中任选两人，求他们在同一分数段的概

率.

21.(12分)如图，直三棱柱ABC-Ai81cl的体积为4,的面积为2夜.

(1)求A到平面A1BC的距离；

(2)设。为AiC的中点，AAi^AB,平面Ai8C_L平面AB81A1,求二面角A-2。-C

的正弦值.

22.(12分)已知函数=2cos3x(V5sin3x—COS3X)+1(3>0),f(x)的最小正周期

为TT.

(1)求/(X)单调递增区间；

(2)是否存在实数m满足对任意xi€[-ln2,ln2\,任意X2GR,使e?%+e~2X1+m(eX1—

e-z)+52/。2)成立.若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由.

2022-2023学年湖南省邵阳二中高二（上）入学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的4个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)若集合”={x|4V4},N={x|3x》l},则MCN=()

11

A.{x|0<x<2}B.{x|-<x<2}C.{x|3Wx<16}D.{x|~<x<16}

【解答】解：由aV4,得0WxV16,疝<4}={x|0WxV16},

11

由3x》l,得x",.,.N={x|3x》l}={小"},

11

MCN={x|0<x<16}A{x|xN4)={x|-<x<16}.

33

故选：D.

2.(5分)若复数z满足"z=3-4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【解答】解：由i・z=3-4i,得2=早，

••+?=贷=塔亘=5.

故选：B.

3.(5分)已知向量。=(3,4),b=(1,0),c=a+rh,若/，c>=Vb,c>,则，

=()

A.-6B.-5C.5D.6

【解答】解：:向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb9

c=(3+34),

V<a,c>=<b,c>,

—>—>T—>

CL'Cb,c.25+3t3+t

••T—>——»7**，,,=

|a|-|c|\b\-\c\51

解得实数r=5.

故选：C.

4.（5分）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合.设

集合T={Q€S|PQ<5},则7表示的区域的面积为（）

37r

A.—B.ITC.2nD.3n

4

【解答】解：设点P在面ABC内的投影为点0,连接0A,则。4=|x3旧=2g,

所以0P=\lPA2-OA2=V36-12=2历，

由〃Q2-op2=迎5-24=1,知7表示的区域是以0为圆心，1为半径的圆，

所以其面积S=m

5.（5分）如图，在棱长为2的正方体A8CO-481C1B中，4朋的中点是P,过点Ai作

与截面PBC\平行的截面，则该截面的面积为（）

A.2V2B.2V3C.2V6D.4

【解答】解：在棱长为2的正方体ABC。-AIBICIOI中，4田的中点是P,

过点4作与截面PBC\平行的截面，

则截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示:

则EF=2&,AiC=2V3,EF1A1C,

则截面面积S=1EFMiC=2V6,

故选：C.

6.（5分）在△ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且

PC=\,则届♦丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5JC.[-6,4JD.[-4,6]

【解答】解：在△A8C中，AC=3,BC=4,NC=90°,

以C为坐标原点，CA,CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图:

设P(尤，y),

因为PC=1,

所以/+y2=l,

—>—>

又PA=(3-x,7)，PB=(-x,4-y),

—>—>

所以PA-PB=-x(3-x)-y(4-y)-3x-4y=-3x-4y+l,

设工=85。，j=sin0,

TT,2

所以PA・PB=—(3cos0+4sinO)+1=-5sin(0+(p)+1,其中tan(p=4,

当sin（0+（p）=1时，PA・PB有最小值为-4,

当sin（0+<p）=-1时，PA■而有最大值为6,

所以扇•而曰-4,6],

故选：D.

7.（5分）一个电路如图所示，A,B,C,D,E,尸为6个开关，其闭合的概率都若且

是相互独立的，则灯亮的概率是（）

【解答】解：开关C断开的概率为"开关力断开的概率为；，开关A、B至少一个断开

22

的概率为1-

开关E、F至少一个断开的概率为1一基2=尚，

/Z4

11339

故灯不凫的概率为-X-X-><-=—，

224464

故灯亮的概率为1-言=!|,

故选：B.

8.(5分)设函数/(x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当烂口,

C9

2]时，/(x)=〃/+〃.若/(0)4/(3)=6,则/(一)=()

9375

A.-7B.C.-D.-

4242

【解答】解：・・丁(x+D为奇函数，・・峰(1)=0,且/(x+1)=-/(-x+1),

・・・/(x+2)偶函数，・・・/(x+2)=/(-x+2),

.*.yi(x+l)+1]=-/[-(x+l)+1]=-/(-x),即/(x+2)=-/(-x),

：.f(-x+2)=f(x+2)=-/(-x).

令t=-x,则/(什2)=-f(r),

：.f(r+4)=-/(什2)=/(r),：.f(x+4)=f(x).

当xE［L2］时,/(x)=ax1+b.

f(0)=/(-1+1)=-f(2)=-4a-b,

f(3)=/(l+2)=f(-1+2)=/(1)=a+b,

又f(0)tf(3)=6,-3a=6,解得。=-2,

•-7(1)=a+b=0,：.h=-a=2,

,当史［1,2］时,f(x)=-2?+2,

・"(：9)=/(1))=-/(：3)=-(-2x^Q+2)=15.

ZZZ乙

故选：D.

二、多选题(4个小题每个题5分共计20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得5分，部分对的得2分，有选错的得0分.)

(多选)9.(5分)已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是

()

A.如果8UA,那么P(AUB)=0.2,P(AB)=0.5

B.如果4与8互斥，那么P(4UB)=0.7,P(AB)=0

C.如果A与B相互独立，那么P(AUB)=0.7,P(AB)=0

D.如果A与B相互独立，那么P(而)=0.4,PCAB)=0.4

【解答】解：由事件A,8,且P(A)=0.5,P(8)=0.2,知：

对于A,如果BUA,那么P(AUB)=0.5,P(AB)=0.2,故4错误；

对于8,如果A与8互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)=0.7,P(AB)=0,故8

正确；

对于C,如果4与8相互独立，

那么P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.2-0.5X0.2=0.6,

P(AB)=P(A)P(8)=0.5X02=0.1,故C错误；

对于£>,如果A与B相互独立，

那么P(而)=P(1)P(B)=(1-0.5)X(1-0.2)=0.4,

P(4月)=P(A)P(B)=0.5X(1-0.2)=0.4,故。正确.

故选：BD.

(多选)10.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,6,c,已知(b+c)：(c+a)：

(a+b)=4：5：6,则下列结论正确的是()

A.sinA：sinB：sinC=7：5：3

B.CA-AB<0

C.若c=6,则△43。的面积是15

7A/3

D.若b+c=8,则△ABC外接圆半径是亍

【解答】解：依题意，设b+c=4鼠c+a=5k,a+b=6k,则。=3.5鼠b=25k,c=1.5k,

对于A,由正弦定理得，si"：sinB：sinC=〃：b：c=7：5：3,故选项4正确；

内工Dn二八.入b2+c2-a2b2+c2-a22.52+1.52-3.52.15.

对于B,ABAC=bccosA=beX——---=-------------=----------5---------k2=一丁土2

2bc2528

<0,

T—T1A

：.CAAB=-AC-AB=^-k2>0,故选项8错误;

102+62-1421

对于C若c=6,则A=4,所以〃=14,6=10,则由余弦定理有,cosZ=

-2x10x6--2

则sinA=W故aABC的面积为jbes讥A=1x6xl0x-^=15\^,故选项C错误;

52+32-72

对于D,若b+c=8,则k=2,所以a=7,b=5,c=3,则由余弦定理有,cosA

2x5x3一

_1

~29

所以sma=*，由正弦定理得，XABC的外接圆半径为三x—=—.故选项D正

22sinA3

确.

故选：AD.

11.（5分）已知函数/（无）=Asin（3/+<p）（A>0,o）>0,|（p|<^）的部分图象如图所示,

A./（x）的图象关于直线工=-竽对称

B.于（x）的图象关于点（一修，0）对称

C.若方程/(x)="在0]有两个不相等的实数根，则实数，〃的取值范围为(-2,

-V3]

D.将函数y=2sin(2r-J)的图象向左平移g个单位长度得到函数/(x)的图象

06

T7171

【解答】解：由图可知，A=2,-=即

4312

(1)=2.

7T27T

由3X可+(p=-y+(p=7l,得(p=T于C

:,于(x)=2sin(2x+,).

•・，/(—冬)=2sin(-it)=0,•*•/(%)的图象关于直线x=—对称错误；

=2sin(―5)=_2,.*./(x)的图象关于点(—0)对称错误；

由阳一今0],得2x+翁[一筝]，则2sin(2x+引e[-2,V3],

方程/(x)=m在[一夕0]有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(-2,-V3],

正确；

将函数y=2sin⑵-看)的图象向左平移，个单位长度得到函数y=2sin[2(工+])-刍=

2sin(2%+1),故。错误.

O

故选：C.

(多选)12.(5分)如图直角梯形ABC。中，AB//CD,AB±BC,BC=CD=^AB=2,

E为A8中点，以OE为折痕把△ADE折起，使点A到达点尸的位置，且PC=26，则

A.平面PED_L平面PCD

B.PC±BD

TC

C.二面角P-OC-8的大小为二

4

D.PC与平面PEQ所成角的正切值为鱼

【解答】解：对于A,•..直角梯形ABCQ中，AB//CD,ABYBC,BC=CD=^AB=2

E为AB中点，以。E为折痕把△ACE折起，使点A到达点尸的位置，

：.DELBE,DE±PE,又BECPE=E,，。石，平面PBE,

'：DE//BC,；.BC_L平面尸3E,：.BC±PB,

,:PC=2显,BC=2,：.PB=J(2>/3)2-22=2y/2,

：.PE^+BE2=PB2,PELBE,

；PECDE=E,，BE_L平面PQE,'：CD//BE,，CQ_L平面POE,

；CDu平面PCD,；.平面尸EZ)_L平面PCD,故A正确；

对于8,,：PELBE,PELDE,BEHDE=E,.\P£±¥ffiBCDE,

VBDcT®BCDE,：.BD1.PE,二,四边形BCOE是正方形，：.BDLCE,

：PECCE=E,平面PEC,丁尸Cu平面PEC,.•.8£>_LPC,故B正确；

对于C,；CZ)_L平面PDE,：.ZPDE是二面角P-DC-B的平面角，

；PELDE,PE=DE=2,:.NPDE=%

71

，二面角P-DC-B的大小为一，故C正确；

4

对于£>,；CZ)_L平面POE,NCPZ)是PC与平面PED所成角，

CD_2_41

VtanZCPD=~PD=I2=区'

j2'2+2，

...PC与平面PED所成角的正切值为弓，故。错误.

故选：ABC.

三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13.（5分）为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽

取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为七5：3.已知高一年级共抽

取了240人，则高三年级抽取的人数为360人.

【解答】解：..•高一年级抽取的比例为科；=p

12005

又•..三个年级学生人数之比依次为k5：3,

k]

―=7-解得斤=2,

Zc+5+35

故高三年级抽取的人数为1200X2+阿?=360.

故答案为：360.

14.（5分）已知空间向量联，b,会满足：+/?+"=0,而=3,|b|=l,|c|=4,则2・b+b・

c+”征的值为-13.

【解答】解：♦.G+1+"=A,&+1+力2=不，

即Q2+力2+。2+2。.b+2b-c+2Q-c=0,

V|a|=3,|&|=1,|c|=4,

32+l2+42+2（a-b+b-c+a-c）=0,

解得+b・c+c・Q=-13.

故答案为：-13.

15.（5分）已知三棱锥P-ABC内接于半径为5的球，NACB=90°,AC=7,BC=V15,

则三棱锥P-A8C体积的最大值为卓老.

【解答】解：如图，在三角形4BC中，由NACB=90°,AC=1,BC=V15,

得4B=V49+15=8,

要使三棱锥尸-48C的体积最大，则平面以8,平面ABC,且P在底面ABC上的射影为

AB中点O,

连接P。并延长，交三棱锥P-ABC的外接球于O,则P。为球的直径，

设尸0=〃，则〃（10-/2）=4X4=16,解得力=2（舍）或〃=8.

三棱锥的体积的最大值为:x|x7xV15X8=竺产.

28Vl

故答案为:

3

16.（5分）设g，©为单位向量，满足|2。1—与|三鱼，a=4-e2,b=3er+e2»设Q,b的

r28

夹角为仇则cose的最小值为与

【解答】解：因为丁居为单位向量，|2e^-e2\<V2,

所以4-4届•届+1W2,

所以N,,

因为展=A+J，b=3e[+e2,a,b的夹角为仇

TT22

所以cos20==-----（-4-+-甸---力---）->_>

.2](2+2e1-e2)(10+6ere2)

4(1+%七2)

—>—>

5+3e1-e2

(12

I-->—>)

5+3e1-e2

>4（1__2_）_28

当"5+3X『-29'

28

故cos2e的最小值为石.

OQ

故答案为：—.

29

四、（解答题共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.(10分)已知向量Q=(3,2),b=(x,—1).

（1）当（21一力）_L%时,求向+2百；

(2)当工=(-8,-1),a||(b+c),求向量2与7的夹角a.

【解答】解：(1):向量之二0，2),b=(x,-1),

TTTT

*.a4-2Z?=(3+2x,0),2a—b=—x,5),

V(2a-b)lb,

(2a-b)-b=0,即(6-x,5),(x,-1)=0,x2-6x+5=0,解得x=l或x=5,

当x=l,则，则3+2^=(5,0),

TT

A|a4-2b|=5,

当x=5,|a+2b|=13,

综上所述，向+2&=5或13.

(2)c—(—8,—1),a=(3/2),b=(%,—1),

则b+c=(x—8,—2),

Va||(b+c),

・・・3X(-2)-2X(x-8)=0,解得x=5,

：.\a\=A/13,\b\=V26,a-fa=3x54-2x(-1)=13,

3b_13_yf2

/.cosa=

|a||fo|同x侬2

VaG[0,nJ,

n

,•a=4,

sinA+sinB+sinCsinB

18.（12分）已知△ABC的内角A,B,C满足

sinCsinB+sinC-sinA

（1）求角A;

（2）若△ABC的外接圆半径为1,求△ABC的面积S的最大值.

【解答】解：（D设内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,

,sinA+sinB+sinCsinB

由一嬴一

sinB+sinC-sinA"

_,°a+b+c

可得------=---=>h24-c2—a2=—be,

Cb+c-a

\2+〈2日2_—be__1

所以cosA=

2bc—2bc—29

又因为OVAVm

所以4=手.

,,,CL2TTr-

(2)因为----=2Ra=2R-sinA=2sin—=y3

sinA3f

所以3=房+。2+税22儿+儿=3A，即AW1,

所以S=ibc-sinA=g(当且仅当h=c时取等号).

ZZZ4,

所以△ABC的面积S的最大值为虚.

4

19.(12分)进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地

资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为

了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲

同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为<7(p>q),且在考试中每人各

15

题答题结果互不影响.己知每题甲，乙同时答对的概率为一,恰有一人答对的概率为一.

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(1)求p和4的值；

(2)试求两人共答对3道题的概率.

【解答】解：(1)设4=｛甲同学答对第一题｝,8=｛乙同学答对第一题｝,

则P(A)=p,P(B)=q,

设C=｛甲、乙二人均答对第一题｝,。=｛甲、乙二人恰有一人答对第一题｝,

则C=A8,AB+AB,

•.•二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

AA与B相互独立，4后与相互互斥，

：.P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=pq,

P(D)=PCAB+AB)=P(A后)+P(IB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B),

pq=7

2,

｛p(l-q)+q(l-p)=12

32

p・>q-=

43-

（2）设4=｛甲同学答对了i道题｝,Bi=｛乙同学答对了i道题｝,i=0,1,2,

由题意得：

n/“、13,313/,、339

P（A1）=4X4+4X4=o'Pn（A2）=4X4=访，

n/n、21124n/n、224

P(31)=司*弓+可乂a=石，P(82)=司xa=石，

设E=｛甲乙二人共答对3道题),则E=A\B1+A1B\,

3494S

：.P(£)=P(A1B2)+P(A2B1)=/4+日尹式，

20.,将其成绩(均为整数)整理

(I)80至90这一组的频数、频率分别是多少？

(II)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不写过程)

(III)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中任选两人，求他们在同一分数段的概

率.

【解答】解：(I)由频率分布直方图得:

80至90这一组的频率为：0.025X10=0.25,

80至90这一组的频数为：0.25X40=10.

(II)由频率分布直方图得:

估计这次环保知识竞赛成绩的平均数为:

x=45X0.01X10+55X0.015X10+65X0.015X10+75X0.03X10+85X0.025X10+95X

0.005X10=71,

70+80

众数为:=75,

2

V［40,70)的频率为：(0.01+0.015+0.015)X10=0.4,

［70,80)的频率为：0.03X10=0.3,

.百人姑^,0.5-0.4.220

，中位数为：70+03*10=—•

(IID成绩是80分以上(包括80分)的学生共有：(0.025+0.005)X10X40=12,

其中［80,90)内有0.025X10X40=10人，［90,100］内有：0.005X10X40=2A,

从成绩是80分以上(包括80分)的学生中任选两人，基本事件总数〃=比2=66,

他们在同一分数段包含的基本事件个数m=Cfo+C2=46,

.♦•他们在同一分数段的概率片合器=h.

21.(12分)如图，直三棱柱A8C-4BC1的体积为4,△A18C的面积为2夜.

(1)求A到平面48C的距离；

(2)设。为4C的中点，44i=AB,平面Ai8CJ_平面AB81A1,求二面角A-8。-C

的正弦值.

【解答】解：⑴由直三棱柱ABC-A\B\C\的体积为4,可得匕「.Be="出Q-ABC=

设A到平面A\BC的距离为d,由%「ABC=VA-A.BC

•',33):qx2a・d=可解得"=&•

(2)连接ABi交48于点E,；AAi=AB,...四边