2023年高考数学一模试卷附答案解析

2023年高考数学一模试卷附答案解析

题号——四总分

得分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答

案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回

答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中，

选出符合题目的一项）

1.已知集合M=（x\x（x-2）<0},N={x\x-1<0},则下列Verm

图中阴影部分可以表示集合{%|1<x<2}的是（）

c.QWD**

2.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等,若圆锥的轴截面

是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）

A.1B.CC*D.口

223

(2%,%>0

3.已知函数/(%)=/％<o若f(a)</(6-a),则实数a的取

值范围是()

A.(—3,+8)B.(―oot—3)C.(3,+8)D.(―<x>)3)

4.如图所示是中国2012-2021年汽车进、出口量统计图，则下列结

B.从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量

C.2012-2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆

D.2012-2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差

5.在复平面内,已知复数z满足|z-1|=|z+i|(i为虚数单位),记

zo=2+i对应的点为点Z°,z对应的点为点Z,则点Z。与点Z之间距离

的最小值为()

有中间一列两个数字之和为5"的不同的排法有()

A.96种B.64种C.32种D.16种

22

7.已知双曲线C:1（Q>0,b>0）/点B的坐标为（0,b）,右

azb2/

c上的任意一点P都满足|P8|>b,则C的离心率取值范围是（）

A.（1,『]B.1F，+8）C.（1，GD.[e+8）

8.水平桌面上放置了4个半径为2的小球,4个小球的球心构成正方形,

且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球

形容器内壁的半径的最小值为（）

A.4B,+2C.2AT3+2D.6

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题

目要求）

9.如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球V

的大小），它在t（s）时刻相对于平衡位置的高度力（cm）可以8

田力=2s出（"+⑶角定，则下列说法正确的是（）P4力>o

OU=o

A.小球运动的最局）点与最低点的距高为2on»h<0

B.小球经过4s往复运动一次

C.t6（3,5）时小球是自下往上运动

D.当《=6.5时，小球到达最低点

10.在四棱锥S-ABCD^p,SD1平面4BCD，四边形力BCD是正方形，

若SD=AD,则（）

A.AC1SD

B.AC与SB所成角为60°

C.BO与平面SCD所成角为45°

D.BO与平面S4B所成角的正切值为?

11.已知抛物线E：y2=8%的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过

点C的直线/与抛物线E交于4,B两点(点/和点C在点B的两侧)，则下

列命题正确的是()

A.若为△力以'的中线，则|研=2\BF\

B.若BF为/AFC的角平统，贝[JMF[=6

C.存在直线/，使得|AC|=y/~2\AF\

D.对于任意直线L都旬研+\BF\>2\CF\

12.已知定义在R上的函数/(%),对于给定集合4,若,小eR,

当与-七e/时都有/(不)-f(&)eA,则称/(%)是Z封闭"函数则

下列命题正确的是()

A./(%)="是"[-1,1]封闭"函数

B.定义在R上的函数/(%)都是"｛0｝封闭"函数

C.若/(%)是"｛1｝封闭"函数，则/(%)一定是"｛曷封闭"函数(kEN*)

D.若/(%)是"口句封闭"函数(。,匕6N*),则/(%)不一定是"｛M｝封

闭"函数

第II卷(非选择题)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量五,3满足|a|=2,\b\=4,(b-a)-a=0,则2与3的夹

角为

14.在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为

2c,则边所在直线斜率的一个可能值为一.

15.已知/(%)是定义在R上的奇函数，且/(%)在［0,2］上单调递减，

f(x+2)为偶函数，若/(%)=加在［0,12］上恰好有4个不同的实数根勺，

x2,X3,X4,则%1+%2+%3+%4=.

16.已知动圆N经过点4(-6,0)及原点。，点P是圆N与圆M:%2+(y一

4)2=4的一个公共点，则当NOP力最小时，圆N的半径为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在^ABC中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知cos24+cos2B-

cos2C=1—2sinAsinB.

(1)求角C的大小；

(2)求siiM4-sinB4-siziC的取值范围.

18.(本小题12.0分)

已知各项都是正数的数列5｝,前几项和sn满足忌=2Sn-册(九eN*).

(1)求数列｛册｝的通项公式.

11

(2)记七是数列｛『｝的前九项和，Q是数列｛不｝的前几项和.当n>2时，

3na2n-1n

试比较心与源的大小.

19.(本小题12.0分)

如图所示的在多面体中,AB=AD,EB=EC，平面4B01平面BCD,

平面BCE1平面BCD，点F,G分另！］是口，80中点.

(1)证明：平面”G〃平面BCE;

(2)若BC1BD,BC=BD=2,AB=C,BE=V-5,求平面4FG和平

面4CE夹角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动,在抽奖箱中放10个

大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色抽奖方式为：每名顾客

进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球如果每次抽

奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.

(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖

次数X的分布列和数学期望；

(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求

中奖次数丫的分布列和数学期望；

(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写

出你的选择及简要理由.

21.(本小题12.0分)

22

已知点力，点B和点C为椭圆C；器+京=1(。>b>0)上不同的三个

点.当点/，点B和点C为椭圆的顶点时，△/BC恰好是边长为2的等边

三角形.

(1)求椭圆C标准方程；

(2)右。为原点I且;两足。/+OB+0C=0,求4/BC的面积.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=xex+1.

(1)求/(%)的极值；

(2)当％>0时,/(%)>(a+l)x+Inx+2,求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:集合M={x|x(x-2)<0}=[x|0<x<2],N=(x\x-1<

0}=(x\x<1},

CRM={x\x<。或%>2],CRN={x\x>1],

对于4,Uezm图中阴影部分可以表示集合为MnN={%|0<%V1},故/

错误；

对于B,Verm图中阴影部分可以表示集合为Mn(Q/V)={x|l<x<2},

故8正确；

对于C,I/ezm图中阴影部分可以表示集合为Nn(CRM)={x|x40},故C

错误；

对于。4erm图中阴影部分可以表示集合为{%|xWMUN，且％£MnN},

:MUN=[x\x<2},MCyN={%|0<%<1},

:，[x\xEM\JN,且％CMnN}=(x\x<0或1W%V2},故。错误.

故选：B.

先求出集合M,N,再利用集合的基本运算逐个判断各个选项即可.

本题主要考查作九九图表达集合的关系和运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：设圆锥和圆柱的底面半径为r,

因为圆锥的轴截面是等边三角形，

所以圆锥的母线长为，=2r,

则圆锥和圆柱的扇)为力=V4r2—r2=V~3r,

所以圆锥的侧面积为Si=3x2仃x1=2口2,

圆柱的侧面积为52=2仃X%=2/3"2,

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为F,

023

故选：c.

根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.

本题考查圆柱与圆锥的侧面积的求解，属中档题.

3.【答案】D

【解析】解：根据函数/(%)的图象，可得/(%)在R上单调递增,

若f(a)<f(6-a),则有a<6-a,

2a<6,­•■a<3,

则实数a的取值范围是(-'3).

故选：。.

结合图象，可知/(%)在R上单调递增，由此解不等式/(a)</(6-a).

本题考查分段函数的单调性，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：由条形图可知2012—2021年中国汽车进口量和出口量都是

有增有减的，所以选项/正确；

由条形图可知从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量，所以选项B

正确；

2012-2021年中国汽车出口量由小到大排列为:72.3,73,89.7,92,

99,104,108,115,121.5,212,因此第60百分位数是小詈=106,

所以选项C正确；

由条形图可知2012-2021年中国汽车进口量的波动小于出口量的波动，

因此2012-2021年中国汽车进口量的方差小于出口量的方差，所以选项

。不正确，

故选：D.

根据条形图，结合百分位数、方差的性质逐一判断即可.

本题主要考查了统计图的应用，考查了百分位数的计算，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：设z=x+yi(x,yeR),

v\z-l\=\z+i\,

\x-1+yi\=\x+(y+l)i|,即J(%—1)2+*=x2++/

化简整理可得，%+y=o,

;复数z的对应点的轨迹％+y=。，

...Z。=2+i对应的点为点Z°(2,l),

•••点Z。与点Z之间距离的最小值为增舞=手.

故选：c.

根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z的轨迹方程，再结合点到直线

的距离公式，即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意，分3步进行，

第一步，要求"只有中间一列两个数字之和为5",则中间的数字只能为

2

两组数1，4或2,3中的一组,2=4种排法；

第二步，排第一步中剩余的一组数，共有力弘=8种排法；

2

第三步，排数字5和62=2种排法；

由分步计数原理知，共有不同的排法种数为4x8x2=64.

故选：B.

分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结

果.

本题主要考查了排列组合知识，考查了分步计数原理的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：设P(%,y),\PB\>b=>J%2+(y_匕)2>b=>%24-y2-

2by>0(*),

由三一卷=1—=卢(1+。),代入不等式*中1

a2b2b2y

2

整理得标必—2by+a2>0恒成立，

An2r2

则4=4b2-----<0=>Z)4<a2c2b2<acc2—a2<ace2—

b2

e-l<0t解彳<e<^,

又e>1,则1<e工子；

故选：/.

根据两点间距离公式,结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进

行求解，即可得出答案.

本题考查双曲线的性质,考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和

运算能力，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与：球各

O

面(含球面部分渚阱目切，

此时，如上图示，。为半球的球心，4为其中一个小球球心，则。4是棱长

为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与。，4共线，

所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与。4长度之和，即

2AT3+2,

故选：C.

根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，保证小球与2球各面（含球面

部分渚阱目切，进而求半径最小值.

本题主要考查了球的结构特征，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：小球运动的最高点与最低点的距离为2-（-2）=4cm,所以

选项/错误；

因为e=4,所以小球经过4s往复运动一次,因此选项8正确；

2

当t6（3,5）时，“+We（十，子），所以是自下往上到最高点，再往下运

动，因此选项U错误；

当t=6.5时,力=2sin（^x6.5+g）=—2,所以选项。正确.

故选：BD.

根据正弦型函数的性质逐一判断即可.

本题主要考查三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解选项/，因为SD1底面ABC。,ACu

面4BC0,

所以AC1SD,因为四边形ABCD是正方形，

所以4C1BD,又BDnSD=D,BD,SDu平

面SBO,

所以AC1平面SB。,又SBu面SBD,

所以AC1SB,选项/正确；

选项B,因为AC1平面SBD,又SBu面SB。,

所以4C1SB,故选项8错误；

选项C,因为SO1底面4BCD,BCu面ABCO,

所以BC1SD,又四边开为IBC。是正方形，

所以BC1CD,又CDCiSD=D,CD,SDu平面SCO,

所以BC_L平面SCO,所以"与平面SCO所成角为NBQC,

易知NBDC=45°,故选项U正确；

选项。，如图，取S/中点K,连DK,BK,

因为SD1底面/BCD,ABu面4BCD,所以4B1SD,

双四边形/BCD是正方形，所以1AD,又力DnSD=0,

所以4B1平面SAD,DKu面S4D,所以1DK,

又SD=AD,所以DKISA,SA^AB=A,所以DK1面S/B,

所以8D与平面S4B所成角为N°BK,

不妨设SD=AD=a,易知DK=子,BK=手，

在Rt△DKB,tan/DBK=等=言=?,故选项。正确.

bKV0txD

2

故选：ACD.

对于选项/，利用线面垂直的判定定理得到AC1平面SB。，进而可判定选

项A正确；对于选项B,由AC1平面SBD,知AC1SB,故可得选项B

错误；对于选项U和。,利用线面角的定义，找出线面角，从而转化成平

面角，在相应的三角形中进行求解，即可判断选项的正误.

本题考查线线垂直的证明，线线角的求解，线面角的求解，属中档题.

1L【答案】AD

【解析】解：由题意，不妨令力,8（%2，丫2）都

在第一象限，

又C（一2,0）,F（2,0），设/:%=ky-2,

联立E：y2=8x,可得V—8ky+16=0,

则/=64(k2-1)>0,即1>1,

力+力=8/c,7172=16,

：•石+乃=8k2-4,%1乃=4,如图所示，

A:若8尸为44CF的中线，则为=y,

%=4c,所以%1=4,故4(4,4小)，

:，F(l,2<7),则|”|=2\BF\=6,故/正确；

B：若BF为4FC的角平分线，则瑞=儡，

作/。，BE垂直准线％=-2于。，E，则|”|二|皿且需=需,

\^DI\ucI

...四=幽...QF|=\CE\=\BE\

"\AD\—\DE\'"|71D|+|CF|一\CD\—\AD\'

•.♦氏=黑，将%2=/>°代入整理得：

xf—4/-12=(%1-6)(与+2)=0,二/=6,

••\AF\=与+2=8,故8错误；

C：若|/C|=y/~2\AF\，即|4C|=,即△4CD为等腰直角三角形,

此时|CD|=\AD\,即—2,%),/.yf=8yi-16,

・•・尤一8%+16=0,二71=4,Ay2=4,则此时力,B为同一点，不合

题设，故U错误；

2

D:|4F|+\BF\=\AD\+\BE\=x±+x2+4=8k,又2|CF|=8,

结合/>1,可得8炉>8,即MF|+\BF\>2|CF|恒成立,故。正确.

故选：AD.

设，1=0—2不妨令/(修，力)万(%2斤2)都在第一象限£(—2,0)尸(2,0),

联立抛物线，根据已知及韦达定理得上2>1、y1+y2=Qk,y1y2=16,

2

则与+x2=8k-4,X1X2=4,再根据各项描述、抛物线定义判断它们的

正误.

本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，

属中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：/：当％1=4,小=3时，％1-％2=1e[-14],而/(石)一

/(%2)=16—9=72[—1,1],错误；

B：对于区间{0},,%2WR使%1-％2=。，即％1=%2,必有/(%1)-

/(%2)=0»

所以定义在R上的函数都是"{0}封闭"函数，正确；

C:对于区间{1},Yx、,x2eR使%i-％2e{1},则%i=x2+1,

而/(%)是"{1}封闭"函数厕/(%2+1)-/(%2)=1，即Vx6R，都有/(X+

1)=/(%)+1,

对于区间｛k｝,,x26R使%i-冷e伙｝,则%i=x2+k,kEN*,

而f(%2+k)=f(%2+k-1)+1,f(&+k-1)=/(%2+k-2)+l,

/(%2+1)=/(%2)+1，

所以/(%2+k)+f(X2+k-l)+...+/(X2+1)=f(%2+々-1)+/(%2+

k—2)+...+/(%2)+k—1,

即f(%2+k)=f(%2)+k,故/(%2+k)-f(%2)=k,/(%)一定是"伙｝封

闭"函数(keN*),正确；

D:对于区间[a,b],存在一个/(%)满足在,亚eR使%1-％2=a，者E

有/(不+a)—/(不)=匕，且a,beN*,

此时，上述/(%)为一个"[a向封闭”函数且该函数在V%6R，有f(%+a)=

f(x)+匕恒成立,

对于区间｛M｝，结合上述函数,V%i得6R使%1-％2=，则/(%+岫)=

f(x4-a(b-1))+b,/(%4-a(b-1))=f(x+a(b-2))4-b,,f[x+

a)=/(%)+b,

将上述各式，两边分别累加并消项得/(%+ab)=f(x)+ab,故f(不+

ab)-f(x2)=a匕成立,

所以/(%)一定是"｛皿封闭"函数，故错误.

故选:BC.

4特殊值%=4盟=3判断即可例艮据定义及函数的性质即可判断；C、

D根据定义得到V%eR都有/(%+1)=/(%)+1、R有f(x+a)=

f(x)+b,再判断所给定区间里是否有/(起+上)-fg)=k、fg+

ab｝-/(不)=必成立即可判断.

本题考查以新定义为载体，考查函数的性质以及命题的真假判断，对于C、

D，根据给定的条件得到v%eR,都有/(%+1)=f(x)+1以及v%eR,

有"％+a)=/(%)+〃值成立，利用递推关系及新定义判断正误，考查逻

辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】E

【解析】解：由(3—方)WMOnr五一片=0n鼠五=4,

设方与行的夹角为6,则。。5。=器=贵=]

因为0<6<TI,

所以。=/

故答案为：g.

根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.

本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题.

14.【答案】-手或?

【解析】解：设直韧B的倾斜角为a,由已知得/CAB=tana=2V-3,

设直线/1C的倾斜角为。，则%c=tan。/

因为在等边—角形ABC中，zBAC-6CI°/所以e=a+60°,

tana+tan60°_2口+口_

当。=a+60°,tanO=tan(a+60°)=

l-tanatan6001-2A/^3XV^35

所以七。=tanB=,

_tana-tan^°_2C-C_<_3

当6=a—60°,tanO=tan(a—60°)=

l+tanatan60°14-2vn3xV_37

所以k"==~~i

综上，%c=-平或G=

故答案为：-?或?.

由等边三角形的性质和直线的倾斜角与斜率的关系以及两角和与差的正

切公式，得出边4c所在直线斜率.

本题主要考查直线的斜率，属于基础题.

15.【答案】24

【解析】解:由/(%+2)为偶函数,则/(—%+

2)=/(%+2),故f(―%)=f(x+4),

又/(%)是定义在R上的奇函数，则/(%)=

一/(一%),

所以/(%)=~/(x+4),故/(%+4)=-/(%+8),即有/(%)=/(%+8),

综上，/(%)的周期为8,且关于％=2对称的奇函数，

由/(%)在［0,2］上单调递减，结合上述分析知：在［2,6］上递增，［6,10］上递

减，［10,12］上递增,

所以/(%)在［0,12］的大致草图如下：

要使f(%)=m在［0,12］上恰好有4个不同的实数根，即/(%)与y=血有4个

交占

所以，必有两对交点分别关于％=2,x=10对称，则%1+x2+x3+x4=

24.

故答案为：24.

由题设可得/(%)的周期为8，且关于％=2对称的奇函数，结合区间单调性

判断［0,12］上单调情况，根据/(%)与y=m有4个交点，及函数的对称性求

根的和.

本题主要考查了函数的奇偶性,周期性及对称性在函数零点个数判断中的

应用，属于中档题.

16.【答案】5

【解析】解：如图：

~~芥、方，万~~x

记圆N半径为R,zOPA=6,则N4N。=26,NBNO=6,

所以sin/。P/=sin/BN。=踹=(,

当NOPS最小时，R最大，此时两圆内切.

由已知设动圆N的圆心为N(—3,1),

又圆心M(0,4)可得R-2=\MN\,

即，(-3—0/+«-0)2-2=J(―3—0)2+(t—4尸,

解得t=4,所以R=5,即圆N的半径为5.

故答案为：5.

利用两圆的位置关系确定两圆内切时N0P4最小，根据位置关系可得圆N

的半径.

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题.

17.【答案】解：（1）因为cos24+cos2B—cos2C=1—2sinAsinB,

所以1—2sin2A+1—2sin2B—（1—2sin2C）=1—2sinAsinB,

整理得sin??!4-sin25+sin2c=sinAsinB,

由正弦定理得a?+b2—c2=ab,

由余弦定理得cosC=力士=},

2ab2

rr

因为CW（0,7T）,所以c=§.

（2）sirh4+sinB+sinC=sinA+sin（等一力）+?

,Ai.2TTA2.TC..V3

=sinA+sin—cosA—cos—sinA-\----

332

=-sinA+-cosy4+—

222

=A^sinOl+g）+W,

62

在△ABC中，因为C=g,所以OV4

Ja5

所以£<A+^<^,所以3<sinQ4+》工1,

所以C<V^sin（/1+7）+^<噌，

622

所以SETL4+sinB+sinC的取值范围为弓百.

【解析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理得到a?+/—=ab,进而

77

由余弦定理得到ce（0,兀），求出c=-；

（2）由三角函数和差公式求出sizh4+sinB+sinC=V"^sin（力+-）+—,

62

由。<力<早求出取值范围.

本题主要考查解三角形，属于中档题.

18.【答案】解：(1)当n=1时，al=2S1-%=的,所以的=1或%=0(

舍去)，

当九>2时,有传二^n-册，

1。九一1，3九一1^n-lf

两式相减得硅—<2^-1—2an—an+an_i=an+an_t,

整理"(导(册+tin-1)(^n—^n-1)=+^n-1»

因为｛an｝的各项都是正数，所以an-anT=1,

所以｛an｝是首项为1,公差为1的等差数列，

所以册=l+l-(n-l)=n;

(2)由⑴得sn二等2,则；品=2(卜W)，

所以6=1+.+…+==2(1--+A"…—=2(1-/

乙乙3fi*iuI，/1I-L

』11

由⑴得不工=布，

所以Qn=44++=1+">…+圭=窘=2(1—

因为2n=(1+l)n=1+n++->1+n>0(n>2),

所以/<W，故1一会>1一^，

所以当九22时，/<Qn.

【解析】(1)根据％与斯的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；

(2)根据裂项相消法，结合等比数列前九项和、二项式定理进行求解即可.

本题考查等差数列的定义与通项公式的应用，裂项求和法的应用，属中档

题.

19.【答案】解：(1)证明：如图，取8C中点H,连接EW,因为EB=EC,

所以£7/1BC,

又因为平面BCE1平面BCD，平面BCEn平面BCD=BC,EHu平面BCE,

所以£771平面BCD,

同理可得4G1平面BCD,

所以£7/〃4G,

又因为4G仁平面BCE,EHu平面BCE,所以4G〃平面BCE,

因为点F,G分别是CD,BD中点，所以FG〃BC,

又因为PG仁平面BCE,BCu平面BCE,所以FG〃平面BCE,

又因为4GHFG=G,AG,FGu平面4FG,所以平面AfG//平面BCE.

(2)因为BC1BD,BC//FG,所以FG1BD,

由(1)知力GLBD,AG1平面BCD,GFu平面BCO,

所以/G1GF,

所以GF,GB,GA两两相互垂直，

如图，以点G为坐标原点,GF,GB,G4分别为%轴，y轴，z轴建立空间

直角坐标系,

因为=H,BE=V-5,所以G/=GB=1,EH=2,BH=1,

则4(0,0,1),C(2,l,0),E(l,l,2),

平面AFG的一个法向量为砺=(0,2,0),

设平面4CE的法向量为元=(x,y,z),

由而=(2,1,—1),丽=(-1,0,2),

,"°二°即I2'+y-z=°解得

,CE=0,I-%+2z=0z解传

取％=2,得元=(2,-3,1),

设平面/FG和平面4CE的夹角为。，

则cos。=1cos伍，砺＞|二黑二号=空，

所以平面4FG和平面4CE的夹角的余弦值为卫.

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【解析】(1)利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理

即可完成证明；

(2)先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角即可.

本题考查面面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值,

考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学

运算等核心素养，属于中档题.

20.【答案】解：(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖,

则每次中奖的概率为等=[,

G1OV

因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数x服从二项分布，即X~B(2,上，

所以X的所有可能取值为0,1,2,

则P(X=0)=以.(yX(|)2=||,

P(X=1)=废.鼾x(I)1=,,P(X=2)=上•铲x(|)°=患,

所以X的分布列为：

X012

254016

P

818181

所以X的数学期望为E(X)=2W;

(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数y

的所有可能取值为0,1,2,

则p（y=o）=等•等=合，p（y=D=答•等+等•等=

C1OCc8l65G1OG8C1OC8

竺+竺=22=Up（y=2）=更遥或+霏=13

636363217'J随点—63

所以y的分布列为：

r012

201013

P

632163

所以y的数学期望为E")=1X3+2X葛=I

(3)因为(1)(2)两问的数学期望相等，第(1)问中两次奖的概率比第(2)问的

大，

即患<V，第⑴不中奖的概率比第(2)问小，即H<,，

回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第

(2)问方式进行抽.

回答二:若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖.

【解析】(1)根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即

可；

(2)根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；

(3)根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.

本题主要考查离散型随机变量期望与分布列的求解，考查转化能力，属于

中档题.

21.【答案】解：⑴当点4，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好构成

边长为2的等边三角形，

0当点4，点B和点C中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右

顶点时，

不妨设点4，点B为上顶点和下顶点，点C为右顶点，此时,a=C,b=1,

②当点/，点8和点C中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右

顶点，

不妨设点力，点B为左顶点和右顶点，点C为上顶点，此时,a=l,b=V-3(

舍去),

•••椭圆的标准方程为J+好=1；

(2)设4(p,q),,C(x2,y2),

■.■OA+'OB+OC=Ol

.'.p+x1+x2=0,q+y1+y2=0,

旗直线BC斜率不存在时,

即为1=%2,%=-y2，则4(一2%1，0),

・•,点/在椭圆上，所以好=I,则有比=I,

•.\BC\=<3，点/至l」8C的距离为|3%1|=号,

-

此时SMBC—|XV3x\；

②当直线8C斜率存在时，设直线8C方程为y=kx+m,

y=kx+m,

(好+y2_i,得(1+3/c2)%2+6kmx4-3m2—3=0,

/=(6/cm)2—12(1+3/c2)(m2-1)=12(3/c2+1—m2)>0,

由韦达定理得%i+x2=濯=喘；；)

••力+力=忆(%1+%2)+2m=瑞^,

•••p=—(/+不)==一(％+%)=，

丫2

又点“P，q)在椭圆?+f=1上,

6fcm,2m

,，*(22(~)2=3

l+3k2^9+3H

4m2=