湖南省岳阳市平江县2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省岳阳市平江县2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.直线的方程为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设直线的倾斜角为，则，，因此，.故选：C.2.圆的圆心和半径分别是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗D〖解析〗先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.3.已知数列是等比数列，若，，，则等于（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由题意知，得，故选：B4.在平行六面体中，与的交点为．设，是下列向量中与相等的向量是（）A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.5.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A.25.5尺 B.34.5尺 C.37.5尺 D.96尺〖答案〗A〖解析〗设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.由题可知，所以，，，，故选：A．6.椭圆与椭圆的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等〖答案〗D〖解析〗椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，长轴长是10，短轴长是6，焦距是8，离心率是，椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，长轴长是，短轴长是，焦距是8，离心率是，由于k值的变化，则在所给选项中，椭圆与椭圆只有焦距相等.故选：D7.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离等于（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、、、、，，，则，所以，，因为平面，平面，平面，设平面法向量为，，，则，取，可得，，所以，直线到平面的距离为.故选：A.8.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，，则,设内切圆半径为r，则，∴椭圆的离心率为．故选：A﹒二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（）A.公差的取值范围是 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由题意得,,，所以，解得，所以，故A错误；由，故B正确；由，故，C选项正确；由等差数列性质，，故D正确.故选：BCD10.下列说法中，正确的有（）A.过点且在轴，轴截距相等直线方程为B.直线在轴的截距是2C.直线的倾斜角为30°D.过点且倾斜角为90°的直线方程为〖答案〗CD〖解析〗A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.故选：CD11.对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（）A.若，则，的夹角是锐角B.若，，则C.若，则D.若，，，则，，可以作为空间中的一组基底〖答案〗BD〖解析〗对A选项，若共线且同方向，则，但夹角为，故A错误，对B选项，，故，故B正确，对C选项，根据向量数量积定义知,时,不一定成立,选项C错误，对于D，假设矛盾所以向量不共面，则可以作为空间中的一组基底,故D正确.故选：BD.12.已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（）A.若直线的斜率为，则B.的最小值为C.若以为直径的圆与轴的公共点为，则的横坐标为D.若点，则周长的最小值为〖答案〗ABC〖解析〗由题意得点在抛物线上，所以，解得，所以C：，则，对于A选项，设直线：，与联立得，设，，所以，，所以，当直线的斜率为时，，，故A项正确；对于B选项，由抛物线的定义，，所以，当且仅当，时等号成立，故B项正确；对于C选项，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，所以，所以以为直径的圆与轴相切，所以为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，又因为为的中点，所以点的纵坐标为，又点在抛物线上，所以点的横坐标为，故C项正确；对于D选项，过作垂直于准线，垂足为，所以的周长为，当且仅当点的坐标为时取等号，故D项错误．故选:ABC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.数列的前项和，则该数列的通项公式为______.〖答案〗〖解析〗当时，；当时，.不满足.所以，.故〖答案〗为：.14.过双曲线的左顶点，且与直线平行的直线方程为_________.〖答案〗〖解析〗由双曲线方程知：其左顶点为，根据直线平行关系知：所求直线的斜率为2，所以所求直线为，则.故〖答案〗为：15.已知函数在处有极大值，则______.〖答案〗〖解析〗由已知，可得，令，解得或，由可得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，不是极大值点，舍去；由可得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以是函数的极大值点．综上．故〖答案〗为：．16.正四棱锥，底面四边形为边长为2的正方形，，其内切球为球G，平面过与棱，分别交于点M，N，且与平面所成二面角为30°，则平面截球G所得的图形的面积为___________.〖答案〗〖解析〗如图建立空间直角坐标系，则，，，，因为，，所以，所以，，则内切球的球心在上，设，内切球的半径为，，由等体积法可得，解得，则，因为平面过，设平面的法向量为，面的法向量为，设面与面所成二面角为，则，即，解得或（舍去），所以，则圆心到平面的距离，所以截球所得图形的面积为；故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.解：（1），若，则，即，解得；（2），若，则，即，化简可得，解得或.18.已知圆，直线．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当时，求直线l被圆C截得的弦长．解：（1）依题意直线，整理得，由解得，所以恒过定点.（2）当时，直线，圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以直线l被圆C截得的弦长为.19.已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列．（2）若，求满足条件的最大整数n．解：（1）由题意，数列满足，可得，可得，即，又由，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，所以设数列的前项和为，则，若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为.20.如图，在四棱锥中，平面，，．（1）判断直线与平面的位置关系，并证明；（2）求平面与平面所成二面角余弦值的绝对值．解：（1）平面．如图，延长、交于，因为，所以三角形为正三角形，因为，所以为三角形的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）在平面内，过点作射线垂直于，因为平面，所以可以为坐标原点，射线、，分别为、、轴建立空间直角坐标系，由已知条件得，，，，所以，，设平面的法向量为，则不妨设，设平面的一个法向量为，则不妨设，所以．21.已知函数．（1）当时，求曲线在点处切线方程；（2）当时，求证：．解：（1）当，，，所以，而，切线方程为，即所求切线方程为；（2）得定义域为，，设，则，故是增函数，当时，，时，，所以存在，使得①，且时，，单调递减，时，，单调递增，故②，由①式得③，将①③两式代入②式，结合得：，当且仅当时取等号，结合②式可知，此时，故恒成立．22.已知双曲线的右焦点与抛物线