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文档简介
高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高二上学期期末监测数学试题注意事项:1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页.时量120分钟,满分150分.答题前,考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2、回答选择题时,用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他〖答案〗标号.写在本试卷和草稿纸上无效.3、回答非选择题时,用0.5毫米黑色墨水签字笔将〖答案〗按题号写在答题卡上.写在本试卷和草稿纸上无效.4、考试结束时,将答题卡交回.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)1.数列是等比数列,,公比,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为数列是等比数列,,公比,则.故选:C.2.抛物线的焦点坐标是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于抛物线,,则,,故该抛物线的焦点坐标为.故选:C.3.《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其大意为:有个人分个橘子,他们分得的橘子数成公差为的等差数列,问人各得多少个橘子?这个问题中,得到橘子最少的人所得的橘子个数是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设橘子最少的人所得橘子个数为,则,解得:,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是个.故选:B.4.双曲线渐近线方程是,则其离心率为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为双曲线渐近线为所以5.已知函数的导函数是,的图象如图所示,下列说法正确的是()A.函数在上单调递减B.函数在处取得极大值C.函数在上单调递减D.函数共有个极值点〖答案〗C〖解析〗由函数的导函数的图象,可得,,,,所以函数在,上单调递减,在,上单调递增.所以函数在和处取得极小值,在处取得极大值,结合选项可知,只有选项C正确.故选:C.6.“”是“直线与直线垂直”的()A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为直线与直线垂直,则,即,解得或;因此由“”能推出“直线与直线垂直”,反之不能推出,所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选B7.已知圆关于直线对称,则的最小值为()A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗圆的圆心为,依题意,点在直线上,因此,即,,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.故选:B.8.已知在正方体中,点为棱的中点,则直线与体对角线所成角的余弦值为()A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗以点为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则,,,,则,,则,所以直线与体对角线所成角的余弦值为.故选:A.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.下列四个命题中错误的有()A.直线的倾斜角越大,其斜率越大B.直线倾斜角的取值范围是C.两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等D.过点的直线平行于直线〖答案〗AC〖解析〗对于A,倾斜角为锐角对应的斜率为正数,倾斜角为钝角对应的斜率为负,所以锐角对应的斜率大于钝角对应的斜率,故A错误;对于B,直线的倾斜角的范围为,故B正确;对于C,两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在,故C错误;对于D,过点的直线方程为平行于直线,故D正确.故选:AC10.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a15>0,a16<0,则()A.a1>0 B.d<0C.前15项和S15最大 D.从第32项开始,Sn<0〖答案〗ABC〖解析〗依题意等差数列{an}满足a15>0,a16<0,所以前15项为正数,第16项开始为负数,公差d为负数,前15项和S15最大,所以ABC选项正确.,所以D选项错误.故选∶ABC11.已知,,,则下列结论正确的是()A. B.C.为钝角 D.在方向上的投影向量为〖答案〗BD〖解析〗因为,所以,不垂直,A错,因为,所以,B对,因为,所以,所以不是钝角,C错,因为在方向上的投影向量,D对,故选:BD.12.已知椭圆的左,右焦点分别为,过点的直线交椭圆于和两点,若的最大值为5,则下列说法中正确的是()A.椭圆的短轴长为B.当最大时,C.椭圆的离心率为D.的最小值为3〖答案〗BCD〖解析〗由题意可得:,根据椭圆定义可得,的最大值为5,的最大值为5,根据椭圆性质,当轴时,最小,此时最大,此时直线的方程为,将代入椭圆方程得:,即,则,则,,则对于选项A:短轴长为,故选项A错误;对于选项B:当最大时,,故选项B正确;对于选项C:,故选项C正确;对于选项D:最大值为5,则的最小值为3,故选项D正确;综上所述,选项BCD正确,故选:BCD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于,则点到另一个焦点的距离为______.〖答案〗2〖解析〗由双曲线定义可得,又为右支上一点,故,即.故〖答案〗为:2.14.在正方体中,点是的中点,且,则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗如下图所示:由题意可知,点为的中点,则,所以,,,则.故〖答案〗为:.15.已知数列、为等差数列,其前项和分别为、,且,则______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为:.16.已知抛物线,过焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,且,则______.〖答案〗9〖解析〗由抛物线焦点坐标为,设点,过焦点F的直线方程为,由抛物线的定义有,由,得,即.所以有①,又由得:,所以,,②由①②联立解得:.又故〖答案〗为:9四、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知点和点是曲线上的两点,且点的横坐标是,点的纵坐标是,求:(1)割线的斜率;(2)在点处的切线方程.解:(1)当时,,即点,令,可得,解得,即点,因此,割线的斜率为.(2)对函数求导得,所以,曲线在点处切线的斜率为,所以,曲线在点处切线方程为,即.18.已知数列为公差不为零的等差数列,,记为其前项和,___________.给出下列三个条件:条件①;条件②成等比数列;条件③.试在这三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答:(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.注:如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.解:(1)设等差数列得公差为d,选择①:因为,所以.选择②:因为成等比数列,所以,即,化简得,因为,所以.选择③:因为,所以,所以,(2)因为,所以.19.已知圆,直线.(1)求证:直线恒过定点.(2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.解:(1)直线的方程可化为,联立,解得.故直线恒过定点.(2)由题意可知:圆的圆心为,半径,因为,可知点在圆内,直线与圆相交,当直线时,直线被圆截得的弦长最短,因为直线的斜率为,故直线的斜率为,解得,此时圆心到直线的距离为,所以最短弦长为.20.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=AC=4,AB=3,BC=5,点D是线段BC的中点.(1)求证:AB⊥A1C;(2)求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值;解:(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面,底面,则又AC=4,AB=3,BC=5,则,所以又,所以面面,所以(2)点D是线段BC的中点.取的中,则,且由(1)可知面,则面过作,垂足,连结,所以为D﹣CA1﹣A的平面角由AA1=AC=4,则,则为等腰三角形,且,所以,直角三角形中,在直角三角形中,21.已知等差数列的前项和为,且,,设数列的前项和为.(1)求数列和的通项公式;(2)设,数列的前项和为.解:(1)设等差数列的公差为.由已知可得,解得,所以由,令得,当时,,两式相减得,显然也符合上式,所以.(2)由(1)知.,,两式作差得:,所以,.
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