湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高二上学期期末监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高二上学期期末监测数学试题注意事项：1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.写在本试卷和草稿纸上无效.3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将〖答案〗按题号写在答题卡上.写在本试卷和草稿纸上无效.4、考试结束时，将答题卡交回.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.数列是等比数列，，公比，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为数列是等比数列，，公比，则.故选：C.2.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于抛物线，，则，，故该抛物线的焦点坐标为.故选：C.3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有个人分个橘子，他们分得的橘子数成公差为的等差数列，问人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设橘子最少的人所得橘子个数为，则，解得：，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是个.故选：B.4.双曲线渐近线方程是，则其离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为双曲线渐近线为所以5.已知函数的导函数是，的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数在上单调递减B.函数在处取得极大值C.函数在上单调递减D.函数共有个极值点〖答案〗C〖解析〗由函数的导函数的图象，可得，，，，所以函数在，上单调递减，在，上单调递增．所以函数在和处取得极小值，在处取得极大值，结合选项可知，只有选项C正确．故选：C.6.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为直线与直线垂直，则，即，解得或；因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选B7.已知圆关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B.8.已知在正方体中，点为棱的中点，则直线与体对角线所成角的余弦值为（）A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则，，，，则，，则，所以直线与体对角线所成角的余弦值为.故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列四个命题中错误的有（）A.直线的倾斜角越大，其斜率越大B.直线倾斜角的取值范围是C.两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等D.过点的直线平行于直线〖答案〗AC〖解析〗对于A，倾斜角为锐角对应的斜率为正数，倾斜角为钝角对应的斜率为负，所以锐角对应的斜率大于钝角对应的斜率，故A错误；对于B，直线的倾斜角的范围为，故B正确；对于C，两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在，故C错误；对于D，过点的直线方程为平行于直线，故D正确.故选:AC10.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a15>0，a16<0，则（）A.a1>0 B.d<0C.前15项和S15最大 D.从第32项开始，Sn<0〖答案〗ABC〖解析〗依题意等差数列{an}满足a15>0，a16<0，所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S15最大，所以ABC选项正确．，所以D选项错误．故选∶ABC11.已知，，，则下列结论正确的是（）A. B.C.为钝角 D.在方向上的投影向量为〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.12.已知椭圆的左，右焦点分别为，过点的直线交椭圆于和两点，若的最大值为5，则下列说法中正确的是（）A.椭圆的短轴长为B.当最大时，C.椭圆的离心率为D.的最小值为3〖答案〗BCD〖解析〗由题意可得：，根据椭圆定义可得，的最大值为5，的最大值为5，根据椭圆性质，当轴时，最小，此时最大，此时直线的方程为，将代入椭圆方程得：，即，则，则，，则对于选项A：短轴长为，故选项A错误；对于选项B：当最大时，，故选项B正确；对于选项C：，故选项C正确；对于选项D：最大值为5，则的最小值为3，故选项D正确；综上所述，选项BCD正确，故选：BCD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为______.〖答案〗2〖解析〗由双曲线定义可得，又为右支上一点，故，即.故〖答案〗为：2.14.在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗如下图所示：由题意可知，点为的中点，则，所以，，，则.故〖答案〗为：.15.已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，且，则______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.16.已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，且，则______．〖答案〗9〖解析〗由抛物线焦点坐标为，设点，过焦点F的直线方程为，由抛物线的定义有，由，得，即.所以有①，又由得：，所以,，②由①②联立解得：.又故〖答案〗为：9四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求：（1）割线的斜率；（2）在点处的切线方程.解：（1）当时，，即点，令，可得，解得，即点，因此，割线的斜率为.（2）对函数求导得，所以，曲线在点处切线的斜率为，所以，曲线在点处切线方程为，即.18.已知数列为公差不为零的等差数列，，记为其前项和，___________.给出下列三个条件：条件①；条件②成等比数列；条件③.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.解：（1）设等差数列得公差为d，选择①：因为，所以.选择②：因为成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以.选择③：因为，所以，所以，（2）因为，所以.19.已知圆，直线.（1）求证：直线恒过定点.（2）直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长.解：（1）直线的方程可化为，联立，解得.故直线恒过定点.（2）由题意可知：圆的圆心为，半径，因为，可知点在圆内，直线与圆相交，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，因为直线的斜率为，故直线的斜率为，解得，此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为.20.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的余弦值；解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面,底面,则又AC＝4，AB＝3，BC＝5，则,所以又,所以面面,所以（2）点D是线段BC的中点．取的中，则,且由（1）可知面，则面过作,垂足，连结,所以为D﹣CA1﹣A的平面角由AA1＝AC＝4，则,则为等腰三角形，且,所以,直角三角形中,在直角三角形中,21.已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为．（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和为．解：（1）设等差数列的公差为.由已知可得，解得，所以由，令得，当时，，两式相减得，显然也符合上式，所以.（2）由（1）知.，，两式作差得：，所以，.