湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合，因为，所以，所以集合，所以，故选：B.2.复数满足，则（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意不妨设，所以，所以，解得，所以.故选：C.3.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由换底公式得，，，所以.故选：D.4.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗将个红球分成组，每组球的数量最多个最少个，则有，两种组合形式，当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可.当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可.综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为种.故选：A.5.设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图所示：为准线与轴的交点，因为，且，所以，因为，所以，而，所以，所以.故选：A6.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率,其中，2，3…，为使得,则的最大值为（）A.31 B.32 C.63 D.64〖答案〗C〖解析〗由题意，所以，所以，即，显然关于单调递增，其中，又，所以的最大值为63.故选：C.7.如图，在函数部分图象中，若，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，则，所以，设，因为，所以，解得，所以，所以，又由图可知，所以.故选：B.8.在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，点的轨迹方程为（椭球），又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支）过点作，而面，所以面，设为中点，则二面角为，所以不妨设，所以，所以，令，所以，等号成立当且仅当，所以当且仅当时，.故选：A.二、选择题9.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，则C.的最大值为6 D.若，则〖答案〗ACD〖解析〗若，则，解得，A正确；若，则，解得，所以，B错误；因为，，而，当且仅当，反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量，的起点为坐标原点，向量的终点在以坐标原点为圆心，半径为的圆上，向量终点在第二象限，当，反向，则向量的终点应在第四象限，此时，，所以C正确；若，则，即，所以，，所以，D正确.故选：ACD.10.将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A.该几何体的表面积为B.该几何体的体积为C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线平面〖答案〗AC〖解析〗对于A，，所以表面积为，故A对；对于B，如图所示：设点在平面内的投影为，为的中点，则由对称性可知为三角形的重心，所以，又因为，所以正三棱锥的高为，所以题图所示几何体的体积为，故B错；对于C，由B选项可知面，由对称性可知三点共线，所以面，而面，所以面面，故C正确；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：其中轴平行，因为，所以，设平面的法向量为，所以，不妨取，解得，所以取，又，而，所以直线与平面不平行，故D错.故选：AC.11.已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则（）A.实数的取值范围是B.C.函数可能有四个零点D.〖答案〗BCD〖解析〗对于B，，设，则它的定义域为，它关于原点对称，且，所以是奇函数，由题意有三个根，则，故B正确；对于C，由，所以，所以，即已经有3个实根，当时，令，则，只需保证可使得方程有4个实根，故C正确；由B可知，，而，又，所以，故D正确；对于A，，设，则，所以，从而，故A错误.故选：BCD.三、填空题12.在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为__________．〖答案〗3〖解析〗在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故〖答案〗为：313.设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则__________．〖答案〗〖解析〗设线段的中垂线与相交于点，由椭圆方程可知，，，；由已知有：，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，所以，，在中，，，，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，设，则，，在中由余弦定理有：,解得，即.故〖答案〗为：14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．〖答案〗〖解析〗设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得.故〖答案〗为：.四、解答题15.各项均不为0的数列对任意正整数满足（1）若为等差数列，求；（2）若，求的前项和．解：（1）由题意，当时，，两式相减得，因为为等差数列，在式子：中令，得，所以，所以或，若，则，但这与矛盾，舍去，所以.（2）因为，所以，而当时，，所以此时，所以此时，而也满足上式，综上所述，的前项和.16.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接,由，易知为等腰直角三角形，此时，又，所以.因,所以，由，即，所以，此时，,有四点共面，,所以平面，又平面，所以.（2）解：由且,所以平面.由，得等边三角形，以为原点，所在直线分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面的法向量由,即，取，，又，设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为.17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号123456销售金额／万元15.425.435.485.4155.4195.4若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程，其中，，样本相关系数；参考数据：，．解：（1），，所以.（2）由题意，所以，所以关于的经验回归方程为，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.18.已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，．（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线与直线的交点为，证明：直线过定点．（1）解：由题意，所以双曲线的标准方程为.（2）证明：由题意，设直线的方程为，，，所以，直线的方程为：，所以方程为，由对称性可知过的定点一定在轴上，令，又，所以，所以直线过定点.19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：是其定义域上的增函数；（3）若，其中且，求实数的值．（1）解：由题意，即切点为，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）证明：由，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以对于任意的有，即，因此在单调递增，在单调递增，即，则，所以时，，单调递减，所以，即，即，时，，单调递增，所