2024年高考第一次模拟考试数学试题（上海卷02）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第一次模拟考试（上海卷02）数学一、填空题1．若复数z满足，则复数z2023的值是．〖答案〗﹣i〖解析〗由，得1+z＝i﹣iz，∴z＝＝．则z2023＝i2023＝i4×505+3＝i3＝﹣i．故〖答案〗为：﹣i．2．已知集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，4}，A∩B＝{1，3}，则m＝．〖答案〗3〖解析〗∵集合A＝{1，2，m}，B＝{1，3，4}，A∩B＝{1，3}，∴m＝3．故〖答案〗为：3．3．方程x2+y2﹣2x+6y+5a＝0表示圆，则a的取值范围是．〖答案〗（﹣∞，2）〖解析〗x2+y2﹣2x+6y+5a＝0，即（x﹣1）2+（y+3）2＝10﹣5a，∵方程x2+y2﹣2x+6y+5a＝0表示圆，∴10﹣5a＞0，解得a＜2，故a的取值范围为（﹣∞，2）．故〖答案〗为：（﹣∞，2）．4．已知M，N为直线3x+4y﹣15＝0上两点，O为坐标原点，若，则的最小值为．〖答案〗6〖解析〗过O作OA⊥直线MN，垂足为A，则OA＝＝3，设∠AOM＝α，则∠AON＝（﹣α），故OM＝，ON＝，∴＝OM•ON•cos＝＝＝＝，∴当2α+＝即α＝时，取得最小值＝6．故〖答案〗为：6．5．已知f（x）＝x3，则f﹣1（x）＝．〖答案〗〖解析〗因为f（x）＝x3，所以，故f﹣1（x）＝．故〖答案〗为：．6．二项展开式的常数项的值为．〖答案〗﹣160〖解析〗∵的二项展开式的通项公式为Tr+1＝•（2x）6﹣r＝•26﹣r（﹣1）rx6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，则展开式的常数项等于23（﹣1）3＝﹣160，故〖答案〗为：﹣160．7．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+4y的最大值为．〖答案〗9〖解析〗绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：A（1，2），据此可知目标函数的最大值为：zmax＝1+2×4＝9．故〖答案〗为：9．8．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列．已知“和等比数列{an}的前三项分别为a1＝a2＝1，a3＝3，则数列{an}的前11项和S11＝．〖答案〗1365〖解析〗根据题意，a1+a2＝2，a2+a3＝4，因此等比数列{an+an+1}的首项是2，公比为2，有，所以＝．故〖答案〗为：1365．9．梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AB＝1，BC＝2，分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为．〖答案〗〖解析〗由题意可知，四边形ABCD是直角梯形，且AB为直角腰，且AB＝AD＝1，BC＝2，①若以AB为轴旋转一周，则形成的几何体为圆台，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为1，所以几何体的体积为＝；②若以BC为轴旋转一周，则形成的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组合而成，圆柱、圆锥的底面半径均为1，高均为1，所以几何体的体积为＝；③若以AD为轴选择一周，则形成的几何体是在一个圆柱中挖去一个圆锥所形成的几何体，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径与高均为1，所以几何体的体积为＝．因为V1＞V3＞V2，所以分别以AB、BC、AD为轴旋转一周所得到的旋转体的体积的最大值为．故〖答案〗为：．10．将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为．〖答案〗〖解析〗将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为：P＝+＝．故〖答案〗为：．11．已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，O为坐标原点，⊙O与C和l在x轴同侧分别交于A，B两点，若△AOB为直角三角形，则⊙O的半径为．〖答案〗〖解析〗由题意，可知∠AOB为直角，且OA＝OB，设直线OB为y＝kx（k＞0），与y2＝4x联立得k2x2﹣4x＝0，可得；则直线OA为，与x＝﹣1联立得，因为OA＝OB，则有，解得k2＝16或k2＝﹣1（舍），所以，故〖答案〗为：．12．若数列{an}满足﹣＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知数列{}为“梦想数列”，且b1＝2，则{bn}的通项公式为bn＝．〖答案〗3n﹣1〖解析〗由数列{}为“梦想数列”，得bn+1+1﹣3（bn+1）＝0，所以bn+1+1＝3（bn+1），又b1＝2，所以{bn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以bn+1＝3×3n﹣1＝3n，则bn＝3n﹣1．故〖答案〗为：3n﹣1．二、选择题13．下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）A． B．y＝sinx C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝|x﹣1|〖答案〗C〖解析〗因为f（﹣x）+f（x）＝log2（）+log2（）＝log2（x2+1﹣x2）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，但是f（1）＝log2（），f（0）＝0，f（1）＜f（0），不满足单调递增，不符合题意；y＝sinx在R上不单调，不符合题意；y＝2x﹣2﹣x在R上单调递增，且f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，符合题意；y＝|x﹣1|为非奇非偶函数，不符合题意；故选：C．14．已知参数方程，t∈[﹣1，1]，则下列曲线方程符合该方程的是（）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由题知，参数方程，t∈[﹣1，1]，中，当x＝0时，或或，在图象上对应（0，0），（0，），（0，﹣）三点，对照选项，其图象如B选项中的图象所示．故选：B．15．已知函数f（x）＝Asin（ωx+）﹣1（A＞0，0＜ω＜1），f（）＝f（），且f（x）在区间（0，）上的最大值为．若对任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，则实数t的最大值是（）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗根据题意，ω∈（0，1），所以T＞2π；∵f（）＝f（），∴对称轴为，由ω•+＝，k∈Z，得ω＝，k∈Z．∵0＜ω＜1，∴ω＝．此时f（x）＝Asin（+）﹣1．当x∈（0，），+∈，+＝时，f（x）max＝A﹣1＝，∴．∴f（x）＝（）sin（+）﹣1．当x∈[0，t]，+∈[，]，∵对任意的x1，x2∈[0，t]，都有2f（x1）≥f（x2）成立，即x∈[0，t]，2f（x）min≥f（x）max，①当+，2f（x）min＝2[（）sin﹣1]＝，f（x）max＝（）sin﹣1＝．∴2f（x）min≥f（x）max成立．又∵+＝与+＝对称，所以+≤时，2f（x）min≥f（x）max恒成立；②当+时，f（x）max＝（）sin﹣1＝．2f（x）min＜，即2f（x）min≥f（x）max不成立．综上所述，对任意的x1，x2∈[0，t]，2f（x1）≥f（x2）成立，+≤，即t≤．故选：A．16．有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（）A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100 C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100〖答案〗D〖解析〗若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则经过第一轮后有（1+x）个人患了流感，经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]个人患了流感，∴（1+x）+x（1+x）＞100，故选：D．三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，2AB＝BC＝AA1，点M为棱C1D1上的动点．（1）求三棱锥D﹣A1B1M与长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积比；（2）若M为棱C1D1的中点，求直线DB1与平面DA1M所成角的大小．解：不妨设2AB＝BC＝AA1＝2，（1）∵，，∴，∴三棱锥D﹣A1B1M与长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积比为1：6；（2）易知，，，∴，设B1到平面DA1M的距离为h，则由，可得，∴，设直线DB1与平面DA1M所成角的大小为θ，则，∴直线DB1与平面DA1M所成角的大小为．18．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且bsinC＝csinB+2cosA﹣1．（1）求角A的大小；（2）若b＝2，c＝1，D为AB的中点，求CD的长．解：（1）因为，所以bsinC＝csinB，又bsinC＝csinB+2cosA﹣1，所以cosA＝，又A∈（0，π），所以A＝．（2）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsoA，可得a＝，满足b2＝a2+c2，故B＝，在Rt△CBD中，CD＝＝＝．19．党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略．如图，A村、B村分别位于某河流的南、北两岸，AC⊥BC，BC＝5公里，∠BAC＝30°，现需将A村的农产品运往B村加工．乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为2a元/公里．（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村．试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工．试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由．解：（1）由于AB＝＝10公里，AC＝ABsin30°＝5公里，第一种运输方案所需费用为20a元，第一种运输方案所需费用为（5+10）a元，∵5＜10，∴（5+10）a＜20a，∴第二种运输方案比第一种方案更优．（2）令∠BDC＝θ（θ∈[30°，90°）），则BD＝公里，DC＝公里，AD＝5﹣DC＝5﹣公里，于是，所需总费用为W＝（5﹣）a+＝5a（），令y＝，则ysinθ+cosθ＝2，所以y2+12≥22，又y＞0，则y≥，当y＝时，θ＝60°，AD＝公里，即当中转站选址在南岸位于A东边公里的D处是最佳的．20．已知椭圆C：过点（2，﹣1），离心率为，抛物线y2＝﹣16x的准线l交x轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N．（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标；（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；（3）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．解：（1）因为椭圆C：过点（2，﹣1），离心率为，则有，且a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝2，故椭圆C的方程为，所以准线l为x＝4，故点A（4，0）；（2）设N（x0，y0），因为M是线段AN的中点，则，由题意可得，，解得，所以直线MN的方程为；（3）设P（4，t），Q（4，﹣t），设直线MN的方程为x＝ky+4，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立方程组，可得（k2+4）y2+8ky+8＝0，所以，则直线，直线，联立直线PM与QN，可得交点横坐标为，又y1+y2＝﹣ky1y2，解得x＝2，所以PM与QN的交点恒在直线x＝2上．21．若函数f（x）对于定义域内的某个区间I内的任意一个x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称函数f（x）为I上的“局部奇函数”；满足f（﹣x）＝f（x），则称函数f（x）为I上的“局部偶函数”．已知函数f（x）＝2x+k×2﹣x，其中k为常数．（1）若f（x）为[﹣3，3]上的“局部奇函数”，当x∈[﹣3，3]时，求不等式的解集；（2）已知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是“局部奇函数”，在区间[﹣3，﹣1）∪（1，3]上是“局部偶函数”，．（ⅰ）求函数F（x）的值域；（ⅱ）对于[﹣3，3]上的任意实数x1，x2，x3，不等式F（x1）+F（x2）+5＞mF（x3）恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）若f（x）为[﹣3，3]上的“局部奇函数”，则f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣（2x+k•2﹣x），整理可得（k+1）（2x+2﹣x）＝0，解得k＝﹣1，即f（x）＝2x﹣2﹣x，当x∈[﹣3，3]时，不等式，即为2（2x）2﹣3•2x﹣2＞0，可得2x＞2，即x＞1，则原不等式的解集为（1，3]；（2）（ⅰ）F（x）＝，令t＝2x，则y＝t﹣在[，2]递增，当x∈[﹣1，1]时，F（x）∈[﹣，