广西壮族自治区桂林市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区桂林市2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.2.请在答题卡上答题（在本试卷上答题无效）.第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为.故选：C.2.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（）A.4 B.5 C.9 D.20〖答案〗C〖解析〗第一类从女同学中选1名，有4种不同的选法；第二类从男同学中选1名，有5种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.故选：C3.椭圆的长轴长为（）A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗D〖解析〗由椭圆知，，即，所以椭圆的长轴长为.故选：D4.已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，件产品中有件次品，件正品，从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件，故.故选：B.5.圆与圆的位置关系是（）A.外切 B.内含 C.相交 D.外离〖答案〗C〖解析〗圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，则，故两圆相交.故选：C.6.已知，分别为直线，的一个方向向量，且，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，解得故选：B7.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为（）A.0.78 B.0.82 C.0.87 D.0.49〖答案〗A〖解析〗小明正点到达目的地，由两个互斥事件构成，分别为乘汽车正点到达和乘火车正点到达，所以.故选：A8.已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如下图所示：圆的圆心为原点，半径为，因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，由垂径定理可知，，则，所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，则.当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立，故的最大值为.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：月份编号x12345销量y（万件）5096142185227若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A.线性回归方程必过 B.C.相关系数 D.6月份的服装销量一定为272.9万件〖答案〗AB〖解析〗对于A，因为，所以线性回归方程必过，所以A正确；对于B，由线性回归直线必过，所以，解得，所以B正确；对于C，因为，所以相关系数，所以C错误；对于D，当时，，所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误．故选：AB．10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（）A.该正态分布的均值为 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗因为，对于A选项，该正态分布的均值为，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，，D错.故选：AB.11.已知双曲线，则下列说法正确的是（）A.的离心率 B.的渐近线方程为C.的焦距为 D.的焦点到渐近线的距离为〖答案〗ABD〖解析〗对于双曲线，，，，对于A选项，的离心率，A对；对于B选项，的渐近线方程为，即，B对；对于C选项，的焦距为，C错；对于D选项，的焦点到渐近线的距离为，D对.故选：ABD.12.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（）A.直线与直线平行B.直线与底面所成的角为C.直线与直线的距离为D.直线到平面的距离为〖答案〗ACD〖解析〗以D为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则对于选项A：且不是同一条直线，，正确；对于选项B：底面的一个法向量为，设直线与底面所成的角为，则，故直线与底面所成的角不为，错误；对于选项C：，在中，，所以到的距离为，即直线与直线的距离为，正确；对于选项D：由A得面，面，所以面，到平面的距离即为直线到平面的距离，设为．则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，在正方体中，又到平面的距离即为棱长2，所以：，在中，，所以．即．即直线到平面的距离为．正确．故选：ACD．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线，，则与的距离为______.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，所以，直线与的距离为.故〖答案〗为：.14.的展开式中项的系数为______（用数字作答）.〖答案〗24〖解析〗因为二项展开式的通项公式为，，所以当，即时，，故〖答案〗为：2415.用、、、、这个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为______（用数字作答）.〖答案〗〖解析〗先排首位，可在、、、中选择一个数排，然后在剩余四个数中选择两个数排十位和个位，由分步乘法计数原理可知，没有重复数字的三位数的个数为.故〖答案〗为：.16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为、，若从的右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为______.〖答案〗〖解析〗由题意，可作图如下：则，，即，可设，，，由，则，即，，在中，，则.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知直线与直线相交于点.（1）求点的坐标；（2）求过点，且倾斜角为的直线的方程.解：（1）联立，解得，即点.（2）因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，又因为直线过点，故直线的方程为，即.因此，直线的方程为.18.年月日，中共中央政治局召开会议，审议《关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》并指出，为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施.某市为了解政策开放后已婚女性生育三孩意愿的情况，选取“后”和“后”已婚女性作为调查对象，随机调查了位，得到数据如表：生育三孩意愿无生育三孩意愿合计“后”“后”合计（1）请根据题目信息，依据列联表中的数据求出、的值；（2）根据调查数据，是否有以上的把握认为“已婚女性生育三孩意愿与年龄有关”，并说明理由.参考数据：（参考公式：，其中）解：（1）由列联表中的数据可得，.（2）列联表如下表所示：生育三孩意愿无生育三孩意愿合计“后”“后”合计由列联表中数据可得，因此，有有以上的把握认为“已婚女性生育三孩意愿与年龄有关”.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与抛物线相交于、两点.（1）求的焦点坐标及准线方程；（2）求的面积.解：（1）对于抛物线，，则，，所以，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.（2）设点、，易知直线过抛物线的焦点，联立，可得，由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得，原点到直线的距离为，因此，的面积为.20.某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了张相同的卡片，其中只在张卡片上印有“奖”字.（1）采取放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数的分布列、数学期望及方差；（2）采取不放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.解：（1）由题意可知，，则，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，，.（2）记事件第一次抽到印有“奖”字卡片，事件第三次抽到未印有“奖”字卡片，则，.由条件概率公式可得，所以，在第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率为.21.如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点.（1）求二面角的余弦值；（2）若点满足，求直线与直线所成角的正弦值.解：（1）在直三棱柱中，平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意，、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，则，由图可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为.（2）易知、、、点满足，则，则，且，所以，则，因此，直线与直线所成角的正弦值为.22.已