复数（教师版）-2024年高考数学一轮复习考点（新教材新高考）

专题03复数（核心考点精讲精练）

考情探究

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第2题,5分复数的四则运算、共辗复数无

2023年新II卷,第1题,5分复数的四则运算、复数的几何意义无

2022年新I卷，第2题,5分复数的四则运算、共钝复数无

2022年新H卷,第2题,5分复数的四则运算无

2021年新I卷，第2题,5分复数的四则运算、共朝复数无

2021年新II卷，第1题,5分复数的四则运算、复数的几何意义无

2020年新I卷，第1题,5分复数的四则运算无

2020年新U卷，第2题,5分复数的四则运算无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、

及纯虚数

2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共甑复数

3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共扼复数、模长运算、几何意

义，题型较为简单。

考点梳理

知识讲解

1.数集的分类

2.虚数单位

i,规定i?=-1

3.虚数单位的周期

T=4

4.复数的代数形式

Z=4+bi(a,beR),。叫实部，b叫虚部

5.复数的分类

■实数：b=G

f«=0

oJ

,h=0

z=a+bi<*米J.八

虚数：bwO

纯人虚》数3才仿W0

-ia=0

6.复数相等

4=a+Z?i,Z)=c+di,若Z[=,贝！Ja=c,b=d

7.共轨复数

若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共枕复数；

z=a+bi,z=a-bi[a,be,

推广：z-z=(a+bi^a-bi)=a2-(Z?i)2=a2+〃

结论：z-z=a24-Z72

8.复数的几何意义

复数z=a+〃i(a/£R)<t寸应>复平面内的点Z(。/)

9,复数的模

Z=Q+0i(a,》£R),贝ij|Z|=|6Z+M\=>]a2+h2；

分子模

推广模数的树=

分母模

10,复数的四则运算

设zi=a+bi,Z2=c+di(mb,c,d£R),则

(1)加法:zi+z2=(〃+历)+(c、+di)=(a+c)+(Z?+d)i；

(2)减法：Z]—Z2=(〃+历)一(c+di)=(a—c)+g—d)i;

(3)乘法：z「Z2=(4+bi>(c+di)=(〃c—bd)~\~(ad~\~bc)"\\

zia+〃i(ci+Z?i)(c-di)ac+bdbc—ad.

(4)除法:Z2c+di(c+di)(c—M)c2+，c2+J2^C5°)，

设zi，z2,z3ec,则复数加法满足以下运算律:

(1)交换律:Z1+Z2=Z2+Z1；

(2)结合律：(Z]+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

考点一、复数的四则运算

典例引领

1.（2022年新高考全国H卷数学真题）（2+2i）（l-2i）=（

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2i

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【详解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

2.（2020年新高考全国I卷数学真题）狞=（）

1+21

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【分析】根据复数除法法则进行计算.

故选：D

【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.（2020年新高考全国H卷数学真题）（l+2D（2+i）=（）

A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i

【答案】B

【分析】直接计算出答案即可.

【详解】（l+2i）（2+i）=2+i+4i+2i?=5i

故选：B

【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.

即时检测

一l+2i

1.（2023•全国•模拟预测）

1+i

31.

—i

22

【答案】D

【分析】由复数的除法运算即可得出答案.

-l+2i(-l+2i)(l-i)l+3i_13.

【详解】(l+i)(l-i)-2-2214

1+i

故选:D.

2.（2023•浙江•校联考模拟预测）已知复数2=也+,"求复数z3=（

)

22

A.近」B.一立，

C.iD.-1

2222

【答案】C

【分析】利用复数乘法计算法则可得答案.

|231x/3._1>/3.2(1V3,YV3+4=走一些

1.331Y

【详解】Z2=+—1=---------H--------i----1-------i,贝!Jz-=z•z-—H-------1——+-H—1=

2(442222(224444

2J7

故选：C

3.（2023•广东佛山•校考模拟预测）)

22

A，鸣33g.

B.1C.—+-------1D.-1

8822

【答案】D

【分析】根据复数的乘法运算即可化简求解.

L4打

【详解】

22424

故选：D.

考点二、求复数的实部与虚部

☆典例引领

1.（2023・广东•统考模拟预测）若（z+i）i=4-7i,则复数z的虚部为（）

A.-5B.5C.7D.-7

【答案】A

【分析】根据复数的运算、复数的概念求值即可.

【详解】依题意，z=t-i=Ti—7—i=-7-5i,故z的虚部为5

1

故选：A

2.（2023・辽宁・大连二十四中校联考三模）若复数z=罟+2i（i为虚数单位），则乞的虚部为（）

1-1

A.3B.3iC.-3D.-3i

【答案】C

【分析】先化简复数，再利用共辗复数及复数的概念求解.

【详解】因为++

l-i(l-i)(l+i)2

所以5=-3i,则三的虚部是-3,

故选：C.

即时检测

1.(2023•浙江绍兴♦统考二模)已知复数z满足z(6-i)=2i,其中i为虚数单位，则z的虚部为(

A,3B.回

C.--D.

2222

【答案】A

【分析】根据复数的运算化简z,再由虚部的概念即可得答案.

【详解】因为z((V厂H、=2i,所以2=存2i=曷2ilV3扁+i)=一—2+2©=-51+日百

所以Z的虚部为正

2

故选：A.

2.(2023・江苏南通・三模)复数z=l+2i+3i?++2O22i2021+2023i2022).

A.1012B.-1011C.1011D.2022

【答案】A

【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数z,即可求得答案.

【详解】由题意得z=l+2i+3i?++2022吁+2023产,

所以z・i=i+2,+3『++2022产+2023产，

所以(1-i)z=1+i+i?++i2022-2O23i2023

1_：20231,：

=———2023i2023=—+2023i

l-il-i

=i+2023i=2024i,

2024i(2024i)(l+i)

所rrr以lz=-------=-----------------

l-i(l-i)(l+i)

2024i-2024

=-1012+1012i

2

所以复数z的虚部为1012,

故选：A

考点三、复数相等

典例引领

1.(2023•山东潍坊・统考模拟预测)设i为虚数单位，且3=l+2i,则1-齿的虚部为()

1+41

A.-2B.2C.2iD.-2i

【答案】B

【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出。=-2,即可求出1-3的虚部.

【详解】由高=l+2i可得；5=(l+2i)(l+ai)=(a+2)i—2。+1,

[a+2=0

则｛c,<na=-2,所以1—ai=l+2i的虚部为2.

[-2a+1=5

故选：B.

2.(2023・湖北黄冈・黄冈中学校考三模)已知复数z=a+勿满足z(l+i)=(l—石甘，则。+。=()

71

A.—B.—C.—3D.-4

22

【答案】D

【分析】先利用复数运算规则求得z,求得的值，进而得到a+匕的值.

【详解】z=-=H叫(lT)=3+3i4i+4F='」,

1+i2222

71

则”=—,b=—,故a+6=-4.

22

故选：D

有即时检测

1.(2023•全国•校联考模拟预测)若复数鲁=M2-D(a,beR),则成=()

A.—3B.-1C.1D.3

【答案】D

【分析】根据复数的四则运算和复数相等的概念分别求出。力的值即可求解.

【详解】因为署=可2-。,所以a+i=b(l+i)(2-i)=b(3+i),

[a=3b[a=3

则有〈7，解得，-所以必=3,

\l=b\b=l

故选：D.

2.（2023•全国•校联考三模）已知尸=。一万（。力wR）,则a+8的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由复数相等的充要条件可得的值.

【详解】因为i3=a"i（a,6eR）,所以—i=a—bi,

由复数相等的充要条件得。=0,匕=1,所以。+匕=1.

故选：C.

考点四、复数的分类及纯虚数概念考查

典例引领

L（2。23•山东济宁♦嘉祥县第一中学统考三模）若复数”含为纯虚数，则实数”（）

33

A.—B.-C.6D.—6

22

【答案】D

【分析】利用复数的除法运算求出z,再结合复数的概念求解作答.

(3+ai)(2-i)_6+a+(2a-3)i_6+«2a-3.

【详解】依题意,(2+i)(2-i)-5-~5~+51

因为复数z是纯虚数，且aeR,则*=0且与3XO,

解得a=-6,

所以a=-6.

故选：D

2.（2023•河北•统考模拟预测）设复数z满足z（2-i）=l+Ai（beR）,若z为纯虚数.则2=（）

A.-iB.iC.-5iD.5i

【答案】B

【分析】先根据复数的除法运算化简z,再根据纯虚数的定义求出6,即可得解.

【详解】由z（2—i）=l+M,

1+从_（1+砌（2+i）/-JR"）

2-i（2-i）（2+i）55'

因为z为纯虚数，

[2-Z>=0

所以2.八，解得b=2,

所以z=

故选：B.

即时检测

1.（2023・湖南・铅山县第一中学校联考三模）复数z=ai+/a,0eR）是纯虚数的充分不必要条件是（）

A.且6=0B.b=0C.4=1且匕=0D.a=b=0

【答案】C

【分析】运用纯虚数的定义，结合充分条件，、与必要条件的定义即可求得结果.

【详解】因为复数2=齿+/。力€均是纯虚数的充要条件是axO且6=（）,

又因为。=1且匕=0是。片0且0=0的充分不必要条件，

所以。=1且6=0是复数z=ai+b（a,6eR）为纯虚数的充分不必要条件.

故选：C.

2.（2023•浙江•校联考三模）已知复数z=1^（aeR）是纯虚数，则。的值为（）

A.-12B.12C.-3D.3

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算化简Z=鬻，根据纯虚数的概念列式计算，可得答案.

6+〃i_(6+6fi)(l-2i)_6+2〃+(。-12)i

【详解】由题意Z=

l+2i-5-5-

6+2。_

---------=0

因为复数z=^（aeR）是纯虚数，故，❷5。

5

现毕得a=—3,

故选：C

考点五、复数的几何意义

典例引领

1.（2023年新高考全国H卷数学真题）在复平面内，（1+3。（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

［详解】因为（l+3i）（3T）=3+8i—3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8），位于第一象限.

故选：A.

2.（2021年新高考全国n卷数学真题）复数层在复平面内对应的点所在的象限为（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法可化筒紧，从而可求对应的点的位置.

1-31

【详解】2zl=（2T）（l+3i）=2=lti,所以该复数对应的点为

l-3i10102（22）

该点在第一象限，

故选：A.

3.（2023•江苏南通统考模拟预测）已知复数z=（l+i）-W-2i）在复平面内对应的点落在第一象限，则实数机

的取值范围为（）

A.m>2B.0<m<2

C.-2<m<2D.m<-2

【答案】A

【分析】化简z,根据z对应点所在象限列不等式，从而求得力的取值范围.

【详解】z=（l+i）・（/n-2i）=/n+2+（m-2）i,

对应点（加+2,%一2）,

由于点（机+2,机一2）在第一象限,

m+2>0

所以,解得机>2.

m-2>0

故选：A

即时检测

】•（2。23.广东茂名.统考二模）在复平面内，需所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】先利用除法运算化简复数，可得到对应点为即可求得答案

【详解】由题意得鬻(2—4i)(l—5i)=2—10i-4i—20=_2_工.

(l+5i)(l-5i)-26一一B-B'

故在复平面内,2-所4i对应的点为（「值9一7总、，位于第三象限,

故选：C.

2.（2023•重庆•统考模拟预测）已知i是虚数单位，复数/所在复平面内所对应的点位于（）

2+10

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】利用复数的乘方运算和除法运算求解作答.

3i3i・(2+i)一3+6i

【详解】2+,023-+A

2^T-(2-i)(2+i)555

所以复数苴砺■在复平面内所对应的点（一3,3位于第二象限•

2+呼55

故选：B

3.（2023•福建福州•统考模拟预测）在复平面内，复数,对应的点位于第二象限，则复数z对应的点位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】设2=。+万，然后由复数除法运算得根据1对应的点在第二象限可解.

ZZ

11a-biab

【详解】设z=a+历，则片了工［=（一行）（吁历广了万一户两L

因为复数1时应的点位于第二象限,

Z

a，八

〃<0

所以

b<0

所以复数z对应的点在第三象限.

故选：C

4.（2023•山东聊城•统考模拟预测）若f+x+i在复数范围内分解为z,,则在复数平面内，复数（云-云丫对

应的点位于（）

A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限

【答案】B

【分析】先求出复数Z“7,再根据共规复数的定义结合复数的减法运算及乘法求出复数再根据

复数的儿何意义即可得解.

【详解】由f+x+l=O,得x=-L土3i,

22

当z产」+且i,z2=----iW,_1x/3._1V3.

z,=-----------1，=—+—1，

2222222222

所以（4—马『=（-"）3=3后；

”=彳一争，Z2=[+当时,

(4一%)3=(旬=-3后,

综上，复数丫对应的点位于虚轴上.

故选：B.

5.（2023・湖北襄阳・襄阳四中校考模拟预测）若复数（2-i）（a+i）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a

的取值范围是（）

A.(-co,-g)U(2,+oo)

B.(---,2)

2

D.(-g,+8)

C.(2,+o))

【答案】C

【分析】根据复数运算法则求复数的代数形式，根据点所在象限列不等式组即可求解.

【详解】由题得(2-i)(a+i)=2a+l+(2-a)i,

复数在复平面内所对应的点（为+1,2-。）在第四象限,

2。+1〉0

所以2-"。,解得:a>2,

所以a的取值范围是（2,a）.

故选：C

6.（2023•河北唐山•开滦第二中学校考模拟预测）已知复数4与z=4-2i在复平面内对应的点关于实轴对称,

贝（）

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】D

【分析】根据复数对应点的对称关系得4=4+2i,应用复数除法化简目标式即得结果.

【详解】由z=4—2i对应点为（4,-2）,则4对应点为（4,2）,故马=4+2「

所以二=2（2+i）=2（2+i）（l+i）=1+岁

故选：D

7.（2023•广东湛江・统考二模）设复数z在复平面内对应的点为（2,5）,则1+1在复平面内对应的点为（）

A.（3,-5）B.（3,5）C.（—3,—5）D.（—3,5）

【答案】A

【分析】利用复数的几何意义得到复数，然后求得1+三，再利用几何意义求解.

【详解】解：由题意得z=2+5i,

贝Jil+W=l+（2-5i）=3-5i,

所以1+三在复平面内对应的点为（3,-5）,

故选：A

考点六、复数的模长

☆典例引领

0I：3

1.（2023・湖南•校联考二模）设复数z="（i为虚数单位），则|z卜（）

l+2i

A.V2B.GC.V5D.V13

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算及模的运算即可得解.

3+i33-i(3-i)(l-2i)l-7i_l7.

【详解】因为z=l+2i-l+2i-(l+2i)(l-2i)"5_S?'

故选：A.

2.（2023・安徽黄山•统考三模）已知复数z满足z（l-2i）=i（其中i为虚数单位），则同=（）

A.1B.；C.—D.且

225

【答案】D

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z,进而得出一然后利用复数模的计算

公式求解.

i（l+2i）i21

【详解】因为z（l-2i）=i,所以Z=F1—2i=7（I—12i\）八（l：+2）i）、=一三5十5三"

所以-z=-：2

一5

故选：D.

3.(2023•山西太原・太原五中校考一模)复平面内复数z满足|z-2|=1,则|z-i|的最小值为()

A.1B.V5-1C.6+1D.3

【答案】B

【分析】根据|z-2|=l分析出/对应点轨迹方程，再根据|z-i|的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小

值求法求解出结果.

【详解】^z=x+yi(x,yeR),

因为|z-2|=|x-2+刈=疝工再了=1，所以(x-2)2+/=i,即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：

(X-2)2+/=1,如图，

又|z-i|=k+(y_l)i|=4+—y,

所以|z-i|表示圆C上的动点到定点A(0,D的距离,

所以|z-i|而“为|CA|-r=g-l,

故选：B.

☆即时检测

1.(2023•江苏•统考模拟预测)已知3+4i=z(l-2i),则|z|=()

A.yf2B.y/5C.710D.5

【答案】B

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求其模.

■、土附、r4t日否,zur用3+4i..(3+4i)(l+2i)—5+10i

【详解】由题设可得z=「k，故2=-----------=---=-1+21,

1-2155

故忖=右,

故选：B.

2.(2023•安徽合肥・合肥市第八中学校考模拟预测)已知复数马=2+i,Z2=l-ai(〃wR),宜4之为纯虚数,

则五=()

22

A.73B.y/5C.1D.指

【答案】C

【分析】根据复数的乘法运算法则化简z「1,由纯虚数的概念求出。，由复数的除法运算以及复数的模长

公式可得结果.

【详解】复数4=2+i,Z2=l-ai,则z「G=(2+i)(l+ai)=(2-a)+(2a+l)i,

[«—2=0

依题意得，、,八，解得。=2,即4=l-2i,

[2a+1H0

z=2+i_(2+i)(l+2i)里.

:1^一(1_却(1+2)=彳j

所以2=1.

Z2

故选：c.

3.(2023•山东•校联考模拟预测)己知占,三是方程f+2x+3=0的两个根，则归-司值为()

A.-8B.2C.2夜D.20i

【答案】C

【分析】根据求根公式得和士，然后由复数的模公式计算可得.

【详解】△=22-4xlx3=-8<0,方程有两个虚根，则占=-2+产1=_1+",x^~2~2^X=-\-y/2i,

2

所以国-引=卜1+/+1+夜旧2虚心2夜.

故选：C

4.(2023・辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测)若复数z满足£=2,则|z+i|的最小值为()

A.&B.^2-1C.72+1D.1

【答案】B

【分析】首先设复数z=x+M,(x,yeR),根据条件化简求得x,y的关系式，再根据复数模的几何意义求最

值.

【详解】设z=x+yi,(x,ywR),

由zW=2，得(x+yi)(x-yi)=2,则尤2+>2=2,

复数z的轨迹是以原点为圆心，&为半径的圆，如图，

根据复数模的几何意义可知，|z+i|的几何意义是圆上的点到（0,-1）的距离，

如图可知，|z+i|的最小值是点/（0,-&）与（0,—1）的距离&一1.

故选：B.

5.（2023・湖北黄冈・黄冈中学校考二模）已知复数2满足以|=1,则上+3-倒3为虚数单位）的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】设2=8$。+1疝6,根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到

|z+3-4i|=j26+10cos（6+*）,由此确定最大值.

【详解】由2|=1可设:z=cos6+isin，，

z+3-4i=（cos£+3）+（sin，一4）i,

.,.|z+3-4i|=J（cos3+3）2+（sin，-4）2=Jcos?3+sin?6+（6cos6-8sise）+25=J26+1Ocos（6+9）（其中

cos^|,sin^l）,

,、34

.二当cos（6+0）=1时，BPz=---i

|z+3-4i|=726+10=6.

IImax

故选：c.

考点七、复数的三角形式

,典例引领

1.（2023春•四川泸州•高三泸县五中校考开学考试）若复数Z=r（cos0+isin。）（r>0,9wR）,则把这种

形式叫做复数z的三角形式，其中/•为复数z的模，，为复数z的辐角，则复数z=^+1i的三角形式正确

22

的是（）

A.cos—+is讥一B.sin—+zcos-

6666

TT7TTTTT

C.cos—+isin—D.sin——\-icos—

3333

【答案】A

【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.

【详解】复数z=@+」i的模为1,辐角为g,

所以复数Z=3+匕的三角形式为cosj+isin^.

2266

故选：A

2.(2023•全国,高三专题练习)任何一个复数z=a+历(a,〃eR)都可以表示成z=r(cose+isine)(r±0,ewR)

的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：[r(cose+isine)r=r"(cos〃e+isin4)(〃eZ),

我们称这个结论为棣莫弗定理.则(1-后严22=()

A.1B.22(mC.-22022D.i

【答案】B

【分析】现将复数1-后表示为三角形式，再利用棣莫弗定理求解.

【详解】1-亚=21-孝i

I47

8s，等j+isin1等川=2吗

(1一后严2=22侬

故选：B.

☆即时检测

1.(2021秋•四川资阳•高三四川省资阳中学校考开学考试)任何一个复数z=a+bi(其中。，beR,i为虚

数单位)都可以表示成z=r(cos，+isin，)(其中r2O,0eR)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法

国数学家棣莫弗发现：[r(cos，+isin。)]"=k(cos〃0+isin,冶)(〃eZ),我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣

莫弗定理可知，"〃为偶数”是“复数(8$/+与1^](〃€2)为实数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据题意得到sinm=0,故〃=2Z,keZ,即可判断.

【详解】由(cos工+isin工]=cos竺+isin竺为实数，

122)22

/ri•m八

sin—=0,

故—=攵4，攵wZ,

2

即〃=2A,A£Z,

故"为偶数是"复数(cos1+isin]J(〃eZ)为实数”的充要条件.

故选：C.

2.(2023・全国•高三专题练习)任何一个复数z=a+初(其中。、beR,i为虚数单位)都可以表示成:

z=/•(cosd+isin。)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

z,，?n

Z=[r(cos/9+isin0)]=r(cosn0+Zsin(nGA^+),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列

说法正确的是()

A.|z1=|z「

B.当r=l,。=。时，z3=1

C.当厂=1,6=1时，z=l--/

322

D.当r=l,£时，若”为偶数，则复数z"为纯虚数

4

【答案】AC

【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正

误；计算出复数之，可判断C选项的正误；计算出z3可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，z=〃(cos£+isine),IjliJz2=r2(cos20+/sin2^),可得归卜卜?(cos2e+isin26)=，，

|z|2=|r(cos<9+zsin0)|2=r2,A选项正确;

对于B选项，当r=1,8=?时，z3=(cose+isine)'=cos3e+isin3e=cos;r+isin7r=-1,B选项错误；

对于C选项，当厂=1,6=1时，z=cos—+zsin—=—+—z,则z=，-史J,C选项正确；

3332222

对于D选项，z"=(cos6+isin。)"=cosn0+?sin=cos—4-/sin—,

取〃=4,则〃为偶数，则z4=cos〃+isin乃=-1不是纯虚数，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共貌复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

考点八、欧拉公式

☆典例引领

1.（2023•浙江绍兴•统考模拟预测）欧拉公式e*=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创

立，依据欧拉公式，下列选项不正确的是（）

A.复数亘的虚部为9B.若xe佟,3。则复数e*对应点位于第二象限

1+i,

C.复数i.e'i的模长等于1D.复数e事的共辐复数为L+3i

e22

【答案】D

【分析】根据欧拉公式，即可由复数的除法运算以及几何意义，模长公式，共聊复数的定义，结合选项即

可求解.

三兀..兀K.

【详解】e2'尸2+。_i_i（l-i）_l+i,故复数亘的虚部为J,A正确，

1+i1+i1+i（l+i）（l-i）21+i

e"=cosx+isinx对应的点为（cosx,sinx）,山丁xe（弓,3兀），所以8sx<0,sinx>0,故对应的点为第二象

限，故B正确，

对于C,ie^=i（cosx+isinx）=-sinx+icosx,故模长为J（-sinx?+cos?x=l,故C正确，

e^=cos-+isin^=l+^i,所以共朝复数为且i,故D错误，

332222

故选：D

即时检测

1.（2023•全国•高三专题练习）欧拉公式3'=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，

e"

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，F表示的复

-1

数的虚部为（）

A.-也B.&C.--iD.也i

2222

【答案】B

【分析】根据欧拉公式即可代入求解，根据复数的除法运算即可化简求解.

eK,_cosn+isin7t_-1_-V2（l-i）_72\[2.

【详解】有题意可知F兀..兀一花―7^-2一—"鼠

4

ecos-+isin-+

4422

故虚部为变，

2

故选：B

2.（2023•山西晋中•统考三模）欧拉公式e"=cosx+isinx（xeR）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式

被誉为数学中的天桥.若复数4=€胃，z2=e^贝1平2=（）

A.-iB.i

、5/2&.n6^V2.

/.----F--1\_）.--------1

2222

【答案】B

【分析】由欧拉公式求4,4的代数形式，再结合复数运算法则求4%.

【详解】由欧拉公式可得：

审兀..兀16.兀..兀1.

=e'=cos—+isin—=—H---1,z,=e6=cos—+isin—=—+—i,

133226622

3+3+三.3=i

则平2=

224444

故选：B.

3.（多选）（2023•全国•模拟预测）欧拉公式y=cosO+isine（其中e=2.718…，i为虚数单位）由瑞士著

名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被

誉为“数学中的天桥根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）

i9i0i/?i（

A.|e|=lB.e+e=e^>

i（a+（,

C-e仔"）-i7D.e）-eicosa+e^）sin«

【答案】ACD

【分析】求得的值判断选项A；举特例否定选项B；分别求得的代数形式进行比较判断选项

C：对进行化简整理判断选项D.

【详解】由题意得ei°=cose+isin。.

选项A：|eiw|=|cos0+isin^|=>/cos2^+sin2^=1,故选项A正确:

选项B：当e="=5时，e，(分m=cos(6+?)+isin(e+£)=T

e，"+e°=^cos^+isin^+^cos-^+isin-|^=2i?t-l,故选项B错误;

选项C：e,6>=cos0+isin0=cos0-isind»ie,6>=sin9+icos6，

)=cos^~-+isin=sin0+icos0=iei<?,故选项C正确；

选项D：e'("+0=cos(a+6)+isin(a+e)=(8sa8s。一sinasin6)+i(sinacose+cosasin。)

=(CQsacosJ+icosasine)+(—sinasinJ+isinacosg)

=cosa(cose+ising)+sine(—sin，+icosJ)

=cosa(cos^4-isin4-sicos[e+])+isin[g+5)].

-/cQsa+e'EIsina，故选项D正确•

故选：ACD.

考点九、复数多选题

☆典例引领

1.(2023•黑龙江哈尔滨・哈九中校考模拟预测)已知复数z=〃+历(a,6eR),其共轨复数为I，则下列结

果为实数的是()

A.z2B.|z2|C.(2+l)(z+l)D.(z-z)-i2023

【答案】BCD

【分析】逐个代入化简，检验虚部是否为0,即可判断.

【详解】对于A,z2=a2-b2+2abi,不一定为实数;

对于B,\z2\=a2+h2&R-.

对于C,(z+l)(z+l)=z-z+z+z+l=a2+/?2+267+leR;

对于D,(z-z)-i2023=2/?i2024=26(i4)506=2Z?eR.

故选：BCD.

2.(2