数值线性代数课程设计-代数

《数值代数》课程设计TOC\o"1-3"\h\z评分标准 (1.16)可以改写为：其中称作是超松弛法的迭代矩阵。下面我们来研究SOR的收敛性判别和松弛参数的选取范围。定理7SOR收敛的充分和必要条件是。定理8SOR收敛的必要条件是。因为SOR的谱半径依赖于，当然应适中选取使收敛速度最快，这就是选最正确松弛因子的问题。其中最正确松弛因子，其中是Jacobi迭代矩阵。利用SOR迭代法求解方程组的结果如有图：此方法的迭代次数为：62次。2.4讨论通过比拟运用Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代以及带有最正确松弛因子SOR迭代法解线性方程组可知：SOR迭代法的收敛速度要比Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛速度快得多。3、结论本文利用Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代以及带有最正确松弛因子SOR迭代法通过mathcad分别对线性方程组进行了求解。研究说明，利用mathcad，只需要编写简单的几行程序即可实现方便快速地计算出线性方程组的解，且精度完全能够满足要求。通过编制的程序使得计算更方便、直观，我们可以直观地从图像中看出各种方法的收敛情况，为我们的研究提供了方便。参考文献【1】徐树方，高立，张平文。数值线性代数。北京：北京大学出版社，2007【2】JamesW.Demmel。应用数值线性代数。北京：人民邮电出版社，2007附录求解的程序如下：用Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代以及带有最正确松弛因子SOR迭代法求解方程组的程序如下：参考论文4病态线性方程组的简单迭代解法(信息与计算科学2班——0640501212——凌宏杰)【摘要】针对我们在学习中经常碰到病态线性方程组的解的问题。本文提出了一种简单迭代(sI)算法，从理论上证明了解序列收敛且收敛到方程组的真解，然后给出了一个算例，将计算结果与对付病态问题能力很强的CG类算法的结果进行了比照，结果说明：SI算法具有极强的抗病态能力，计算精度明星高于CG类算法，但计算速度辅低于后者。【关键字】病态问题SI算法CG类算法解的收敛性计算速度计算精度病态线性方程组的简单迭代解法。给出系统Ax=b，其中矩阵A近似奇异，用以下迭代法求解：其中为非零常数，为单位矩阵。根本要求：取A为n=100阶Hibert矩阵，解x为上正弦函数的值：，i=0,1,2,…,n，b取为。用上述迭代法，以及CGLS、QR分解、Gauss方法、Cholesky分解求解，比拟计算结果。对于上述迭代求解过程，我们有下面的定理：对零初始解，当时，解序列收敛，且收敛到方程(1)的真解。证明：考虑线性方程组〔1〕迭代公式：〔2〕由条件有：〔3〕利用式(2)可以得到：〔4〕同样有：上式两端左乘A，并利用式(4)得到：〔5〕用同样的方法不难得到：〔6〕用A左乘上式两端得到：〔7〕将式(3)代人式(2)有：〔8〕将式(8)代人式(7)得到：〔9〕由上式可知，当时．只要k足够大，就有，从而有：〔10〕对于病态方程组有：从而由式(10)有：〔11〕此即证明了解序列收敛。现在证明解序列收敛到方程(1)的真解。令解序列收敛到，即当k足够大时下式成立〔12〕将上式代人式(2)，得到：〔13〕将式(1)和式(13)比照可知．即等于方程(1)的真解证毕。上述定理说明：本文给出的选代算法不仅保证解序列收敛，而且可以保证解序列收敛到问题的真解，显然这是非常有用的，但这一优良特点却是CG类算法所不具备的迭代算法〔SI〕：单位矩阵：非零常数：迭代公式：迭代的结果如下：图形的表示如图〔a1〕：图〔a1〕当非零常数时，迭代公式的图形表示如图〔a2〕：不同的值，它们之间的误差为：如图〔a3〕：备注：图〔a3〕中表示的为非零常数=0.0001的情况，表示的为非零常数=1的情况.由于线性方程组是病态的且100阶矩阵过大；导致QR分解、Gauss方法、Cholesky分解均无法对其进行求解。应用共轭梯度法〔CGLS〕和最速下降法对其求解。代码如下：共轭梯度：最速下降：求解x:共轭梯度法求解线性方程组的结果如下:最速下降法求解线性方程组的结果如下：对应的图形为图〔b〕对应的图形为图〔c〕图〔c〕图〔b〕分析共轭梯度法和最速下降法求解线性方程组的解与迭代法所求的结果之间的误差：共轭梯度法和迭代法之间的误差情况如图〔e〕最速下降法和迭代法之间的误差情况如图〔f〕。图〔e〕图〔f〕通过上面的两个图形我们很容易的看出共轭梯度法和迭代法求得的解比拟接近与最速下降法和迭代法的解之间的比拟。下面我们来看一下最速下降法和共轭梯度法之间的误差情况：如图〔g〕。比拟迭代法与共轭梯度法和最速下降法的收敛速度：迭代法的收敛速度在很大的程度上取决于的大小，当的值够小时，可以在很大程度上提升SI算法的收敛速度和提高精度。〔1)SI算法的计算结果在的上升和下降过程非常快，而CG算法结果那么相比之下缓慢得多〔2〕本文算法采用不对分寻优法，且适时对误差进行修正，因此具有一定的处理误差积累的功能，防止发生：随着迭代的进行，问题的搜索区域将失去真正的最优点，最终结果是搜索区域的当量直径到达了收敛准那么，但算法给出的点却偏离了正确的解图〔g〕通过上述研究，我们得到以下结论：(1)本文提出的求解病态方程的简单迭代算法(SI)，其解序列收敛，且收敛到原方程的真解上。(2)与目前求解病态问题效果较好的CG类方法相比，SI法的计算精度明显高于后者，在计算速度上两者差异不大。参考文献栖文