高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题8.7空间点直线平面之间的位置关系（重难点题型精讲）

专题8.7空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型精讲）1．平面(1)平面的概念

生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.(2)平面的画法

①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.

②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.(3)平面的表示方法

平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2．点、直线、平面的位置关系的符号表示点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示.点、直线、平面之间位置关系的符号表示举例如下：3．三个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论(1)三个基本事实及其表示

(2)三个基本事实的作用

基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.

基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.

基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.(2)基本事实1和2的三个推论4．空间中直线与直线的位置关系(1)三种位置关系

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：(2)异面直线的画法

为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.5．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：6．空间中平面与平面的位置关系(1)两种位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：(2)两种位置关系平行平面的画法技巧

画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.7．平面分空间问题一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?

(1)两个平面有两种情形：

①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；

②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).(2)三个平面有五种情形：

①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；

②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；

③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；

④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；

⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).【题型1平面的基本性质及推论】【方法点拨】根据平面的基本性质及其推论，结合题目条件，进行求解即可.【例1】（2023·高一课时练习）下列命题中，正确命题的个数是（

）①四边相等的四边形为菱形；②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据空间四边形可判断①②错误，有平面的基本性质可判断③④正确.【解答过程】由空间四边形可判断①②错误.“平面不经过直线”即直线与平面相交或者平行，所以③正确.由平面的基本性质，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可判断④正确.故选：B.【变式11】（2022春·上海浦东新·高二期末）如图，α∩β=l，A,B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l=M，过A,B,C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（

）A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M【解题思路】利用点线面的位置关系证得MC⊂γ与MC⊂β，从而得到β∩γ=MC，据此解答即可.【解答过程】对于AB，易得A,B∉β，故必不在γ与β的交线上，故AB错误；对于CD，因为过A,B,C三点的平面记作γ，所以面ABC与γ是同一个面，因为直线AB∩l=M，所以M∈AB⊂面ABC，则M∈γ，又C∈面ABC，则C∈γ，所以MC⊂γ；因为AB∩l=M，α∩β=l，所以M∈l⊂β，又C∈β，所以MC⊂β，所以β∩γ=MC，所以γ与β的交线必通过点C和点M，故C错误，D正确.故选：D．【变式12】（2022·高一课时练习）已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理中错误的是（

）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，则直线MN⊂α，直线MN⊂βC．A∈α，A∈β，则α∩β=AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线，则α、β重合【解题思路】利用基本事实2可判断AB选项；利用基本事实3可判断C选项；利用基本事实1可判断D选项.【解答过程】对于A选项，A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，由基本事实2可知a⊂β，A对；对于B选项，M∈α，N∈α，则直线MN⊂α，同理可知，直线MN⊂β，B对；对于C选项，A∈α，A∈β，则A为平面α、β的一个公共点，但平面α、β相交于过点A的一条直线，而不是点A，C错；对于D选项，A、B、M∈α，且A、B、M不共线，则A、B、M可确定平面α，同理可知，A、B、M可确定平面β，故α、β重合，D对.故选：C.【变式13】（2022·上海·高二专题练习）下列命题中①空间中三个点可以确定一个平面.②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.真命题的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据空间位置关系可直接判断各命题.【解答过程】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误；命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误；命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误；故选：A.【题型2点共线、点线共面问题】【方法点拨】证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面,重合；(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.【例2】（2022秋·上海虹口·高二阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，(1)证明：E、F、D、B四点共面；(2)对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC,BD交于点(3)证明：BE、DF、CC【解题思路】（1）证明EF//BD，即可说明E、F、D、B四点共面.（2）先证明点O∈面AA1C1C和O∈面BDC1，即点O在面AA1C1C与面BDC（3）延长DF,BE交于G,由于面DCG∩面BCG=CC1，则G在交线【解答过程】（1）连接EF,BD,B∵在长方体ABCD−A1∴B∵E、F分别是B1C1和∴EF//B∴EF//BD，∴E、F、D、B四点共面；（2）∵AA∴A,A1,C,O∈A1C,∴O∈面AA∵对角线A1C与平面BDC∴O∈面BDCO在面AA1C1∵AC∩BD=∴M∈面AA1C1C∴面AA1C1C∩∴O∈C1即点C1（3）延长DF,BE交于G，∵DG⊂面DCG，∴G∈DG，∴G∈面DCG，∵BE⊂面BCG，∴G∈BE，∴G∈面BCG，∵面DCG∩面BCG=CC∴G∈CC∴BE、DF、CC【变式21】（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.【解题思路】（1）根据已知条件，可得EF∥BD以及GH∥（2）因为AC是平面ABC和平面ACD的交线，只需证明P点是平面ABC和平面ACD的交点，即可证得P∈AC，进而得到三点共线.【解答过程】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥在△BCD中，因为BGGC=DHHC=所以EF∥所以E，F，G，H四点共面.（2）因为EG∩FH=P，所以P∈EG.由已知可得，E∈AB，G∈BC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈FH，FH⊂平面ADC，P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的一个公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线.【变式22】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D(1)求证：CE，D1(2)在（1）的结论中，G是D1E上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，【解题思路】（1）连接A1B，CD1，可得到EF//CD1且EF≠CD1，则EC与D1F相交，设交点为P，则能得到P（2）可证明P，E，H都在平面PCD1与平面【解答过程】（1）证明：连接A1B，C正方体ABCD−A1B1C1D∴EF//A1∵CD1//∴EF//CD∴EC与D1F相交，设交点为∵P∈EC，EC⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD；又∵P∈FD1，FD1⊂平面ADD∴P为两平面的公共点，∵平面ABCD∩平面ADD1A1∴CE、D1F、DA（2）在（1）的结论中，G是D1E上一点，FG交平面ABCD于点则FH⊂平面PCD1，∴H∈平面PCD1，又∴H∈平面PCD1∩同理，P∈平面PCD1∩E∈平面PCD1∩∴P，E，H都在平面PCD1与平面∴P，E，H三点共线．【变式23】（2022·高一课时练习）如图，在三棱锥A−BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由．【解题思路】由点共面、面共线可得答案.【解答过程】M，N，K三点共线．理由如下：因为M、N即在平面BCD内又在平面PRQ内，所以M、N在平面BCD与平面PRQ的交线上，所以MN是平面BCD与平面PRQ的交线，N、K即在平面BCD内又在平面NKR内，所以N、K在平面BCD与平面NKR的交线上，所以NK是平面BCD与平面NKR的交线，又平面NKR与平面PRQ是同一平面，所以MN与NK是同一条直线，即M，N，K三点共线．【题型3直线与直线的位置关系】【方法点拨】1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面.2.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.3.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的.【例3】（2022秋·上海静安·高二阶段练习）设A、B、C、D是某长方体四条棱的中点，则直线AB和直线CD的位置关系是（

）.A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定【解题思路】在长方体中，延长ME，DC，AB，即会得到直线AB和直线CD的位置关系.【解答过程】如图，延长ME使ME=EF，因为A，B，C，D为棱的中点，所以延长DC，AB都会交EF中点H处，所以直线AB和直线CD的位置关系为相交.故选：A.【变式31】（2023秋·上海浦东新·高二期末）已知三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2且lA．平行 B．垂直 C．共面 D．异面【解题思路】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定.【解答过程】若l1∥l根据空间直线垂直的定义，可得l1故选：B.【变式32】（2023·上海·统考模拟预测）如图，P是正方体ABCD−A1B1C1DA．DD1 B．AC C．AD【解题思路】根据异面直线的知识确定正确答案.【解答过程】P在边A1C1上运动，则BP⊂当P运动到A1C1的中点P1时，AC//A1BP∩平面ACC1A1=P，P∉AC当P运动到点C1时，BP//A故选：B.【变式33】（2022秋·湖南常德·高三期中）下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列判断不正确的是（

）A．BF∥DN B．CM∥BNC．DF⊥BN D．直线AE与DN的夹角为60【解题思路】将正方体进行还原,再根据正方体中的平行垂直之间关系即可判断选项的正误.【解答过程】解:由题知将正方体还原如图所示,由图可知BF⊥DN,CM//故选项A错误,选项B正确;∵AE//DF,AE⊥BN,故选项C正确;连接AC,CE,∵DN//CE,且∴∠AEC=60∘,即直线AE与DN的夹角为故选项D正确.故选:A.【题型4直线与平面的位置关系】【方法点拨】判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明.另外，借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.【例4】（2022春·浙江宁波·高二学业考试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1DA．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行【解题思路】根据正方体性质判断直线BC与面A1【解答过程】由正方体的性质知：面A1AC1即为面A1ACC故选：B.【变式41】（2023·陕西榆林·统考一模）若m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若m//α,α//β，则m//βB．若m⊥α,α⊥β，则m//βC．若m//n,n//α，则m//αD．若m⊥α,α//β，则m⊥β【解题思路】根据空间中直线与平面的位置关键逐项判断即可【解答过程】解：对于A，若m//α,α//β，则m//β或m⊂β，故A不正确；对于B，若m⊥α,α⊥β，则m//β或m⊂β，故B不正确；对于C，若m//n,n//α，则m//α或m⊂α，故C不正确；对于D，若m⊥α,α//β，则m⊥β，故D正确.故选：D.【变式42】（2023·全国·高一专题练习）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥B．如果l1⊥l2，C．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有D．如果l1⊥α，l2∥α【解题思路】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答过程】对于A，若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或对于B、C，如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或对于D，如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∴l1⊥l故选：D．【变式43】（2022春·广东广州·高一期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，A．在正方体ABCD−A1BB．在正方体ABCD−A1BC．在正方体ABCD−A1BD．平面α截正方体ABCD−A【解题思路】根据题意可得BC交平面α于点F，A1B1交平面α于点E，D1D故不存在某条棱与平面α平行，即可以判断选项A错误；由六个面的12条面对角线与平面α都相交，即可判断选项B错误；体对角线全部与面α相交，即可判断选项C错误；补全图形可得平面α截正方体AC1所得的截面为五边形【解答过程】对于选项A，BC交平面α于点F，BC⊄平面α，∴BC,AD,A1DA1B1交平面α于点E，A∴A1B1,D1D交平面α于点D1，D∴D1D,故A错误；观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面α都相交，故B错误；四条体对角线全部与面D1故C错误.如下图，取AB中点为G，易得D1取CD中点为H，连接BH，易得BH//DG，再取CH中点为M，连接FM，则FM//BH，∴FM//D∴FM是平面α与正方体底面ABCD的交线，延长MF，与AB的延长线交于N，连接EN，交BB1于则可得五边形D1EPFM即为平面α交正方体故D正确；

故选：D.【题型5平面与平面的位置关系】【方法点拨】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断.【例5】（2023·高一课时练习）平面α上有三个不共线点到平面β距离相等，则平面α与平面β的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【解题思路】根据面面关系结合图形来分析判断.【解答过程】如图1，若α∥β，则平面α上任一点到平面β距离相等，故平面α上一定存在三个不共线点到平面β距离相等；如图2，若α与β相交，则平面α上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面β距离相等；故平面α与平面β的位置关系是相交或平行.故选：D.【变式51】（2022·全国·高一专题练习）在四棱台ABCD−A1B1C1DA．相交 B．平行C．不确定 D．异面【解题思路】根据棱台的定义即可得出结果.【解答过程】解：如图所示，由棱台的定义可知，平面ABB1A故选：A.【变式52】（2022·黑龙江·高二学业考试）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【解题思路】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答过程】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【变式53】（2022·高一课时练习）给出下列三个命题：①若平面α/平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ②若平面α/平面β，β/平面γ，则③若平面α⊥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ．其中真命题的个数是．A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由面面平行及面面垂直的性质进行判断即可【解答过程】两平行平面中的一个平面和一平面垂直，则另一平面也和这个平面垂直，①正确；由平行平面的递推性可知②正确；若平面α⊥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ或α//γ，故③错误；故选B.【题型6平面分空间问题】【方法点拨】掌握平面分空间的几种情况，根据题目条件，进行求解即可.【例6】（2022秋·上海浦东新·高二阶段练习）三个平面不可能将空间分成（

）个部分A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，六种情况讨论即可.【解答过程】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分