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第13练利用导数研究函数的零点

xf'(x)+0-0+f(x)↗↘↗

4[2017全国Ⅱ卷·21,12分,难度★★★☆☆]已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.

5[2022全国乙卷·21,12分,难度★★★★☆]已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.

7[2022新高考Ⅰ卷·22,12分,难度★★★★★]已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【解析】解法二

由(1)得f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=g(x)min=1.f(0)=1>0,g(1)=1>0,x→+∞时,f(x)→+∞,g(x)→+∞;x→0时,g(x)→+∞;x→-∞时,f(x)→+∞.则f(x)和g(x)的大致图象如图所示.当直线y=b与曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同交点时,设三个交

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