2025版高考数学一轮复习真题精练第三章导数及其应用第10练利用导数研究函数的单调性极值最值课件

第10练利用导数研究函数的单调性、极值、最值1[2023新课标Ⅱ卷·6,5分,难度★★☆☆☆]已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为A.e2 B.e C.e-1 D.e-2

3[2017全国Ⅱ卷·11,5分,难度★★☆☆☆]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1【解析】3.A

因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f'(x)=(2x+a)·ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,令f'(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1,选择A.4[2021全国乙卷·10,5分,难度★★★☆☆]设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则A.a<b B.a>b

C.ab<a2 D.ab>a2

【解析】优解(特值排除法)

当a=1,b=2时,函数f(x)=(x-1)2·(x-2),画出该函数的图象如图1所示,可知x=1为函数f(x)的极大值点,满足题意.从而,根据a=1,b=2可判断选项B,C错误.当a=-1,b=-2时,函数f(x)=-(x+1)2(x+2),画出该函数的图象如图2所示,可知x=-1为函数f(x)的极大值点,满足题意.从而,根据a=-1,b=-2可判断选项A错误.综上,选D.

图1

图2【解析】光速解(数形结合法)

当a>0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图3所示,观察可知b>a.当a<0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图4所示,观察可知a>b.综上,可知必有ab>a2成立.故选D.

图3

图4

6[多选][2022新高考Ⅰ卷·10,5分,难度★★☆☆☆]已知函数f(x)=x3-x+1,则A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

7[2021新高考Ⅰ卷·15,5分,难度★★★☆☆]函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为

.

8[2023全国乙卷·16,5分,难度★★★☆☆]设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是

.

9[2022全国乙卷·16,5分,难度★★★★☆]已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是

.

10[2019全国Ⅲ卷·20,12分,难度★★★☆☆]已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性.(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.

12[2023新课标Ⅱ卷·22,12分,难度★★★★☆](1)证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x;(2)已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.【解析】12.

(1)第1步:构造函数令h(x)=x-x2-sinx,第2步:求导,利用函数的单调性证左边不等式则h'(x)=1-2x-cosx,令p(x)=1-2x-cosx,则p'(x)=-2+sinx<0,所以p(x)即h'(x)单调递减,又h'(0)=0,所以当0<x<1时,h'(x)<h'(0)=0,h(x)单调递减,所以当0<x<1时,h(x)<h(0)=0,即x-x2<sinx.第3步:构造函数令g(x)=sinx-x,【解析】第4步:求导,利用函数的单调性证右边不等式则g'(x)=cosx-1≤0,所以g(x)单调递减,又g(0)=0,所以当0<x<1时,g(x)<g(0)=0,即sinx<x.第5步:整合结论综上,当0<x<1时,x-x2<sinx<x.

【解析】13.

(1)第1步:设u(x)=f(x)-g(x)若a=2,则f(x)=2x3-3x2+x,设u(x)=f(x)-g(x)=2x3-3x2,(若证明不等式f(x)≥g(x)(或f(x)≤g(x)),则可转化为证明f(x)-g(x)≥0(或f(x)-g(x)≤0),进而构造辅助函数u(x)=f(x)-g(x)求解)第2步:求导,研究u(x)在[0,1]上的单调性则u'(x)=6x2-6x=6x(x-1),当x∈[0,1]时,易知u'(x)=6x(x-1)≤0(当且仅当x=0或x=1时取等号),即u(x)单调递减,第3步:作出判断∴当x∈[0,1]时,u(x)max=u(0)=0