2022-2023学年广西桂林市某中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西桂林市平乐中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.OA+^C-~BA=(）

A.OBB.COC.ACD.OC

2.sm210°=()

A.TB-1c--D.W

222

3.己知力=(5,-2),b=(-4,-3)，若二一2：+35=6,则9=()

A.T，T)B.（胃C.劈D.(1J

4.己知函数/（久）=simrx的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）中的函数图象所对应的函数

解析式是（）

(1)(2)

A.y=/（2x-j）B.y=f（泊）C.y=f（^-1）D.y=/（2x-1）

5.角a的终边上有一点P（l,3）,则cos©-a）+sin管+a）的值为（）

A.哥（1—30B.哥（l+3「）C.音（3+0D.哥（3—0

6.如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅垂平面内，在A处测得目标C的俯角为30。,

飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75。，则这时B处与地面目标C的距离为（）

A.5dl米B.5千米C.4—1千米D.4千米

7.已知函数/（x）=sing+》其在一个周期内的图象分别与无

轴、y轴交于点4、点B,并与过点4的直线相交于另外两点C、。.设

。为坐标原点，则（就+前）.瓦？=（）

A-磊B*MD.|

8.在锐角A4BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcos4若;IsinA—

cos（C-B）<2恒成立，则实数4的取值范围为（）

A.（—co,2>/-2]B.（―oo,2V-2）C.（—oo（^y2]D.（―

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下面给出的关系式中，正确的是（）

A.0.a=0B.a-b=b-a

C.（a-K）-c=a-（b•c）D.\a-b\<a-b

10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则（）

A.若|南+^^=|南—前|，则△ABC为直角三角形

B.若T=—1,则△ABC为等腰三角形

COSDcosA

C.若A>B,则sin4>sinB

D.若+tanB+tanC<0,则448C为钝角三角形

11.设L=（，3,1）,B=（cos。,sin。）（其中8E[0,2兀]）,下列说法正确的是（）

A.若行述，则。=竽B.若孙/=则。=与

C.存在8,使得|2+方|=|五|+旧|D.|五一3|的最大值为3

12.黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典

建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角

的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=手）.在顶角为

4BAC的黄金△48C中，。为BC边上的中点，则（）

An

A.cos342°=%

AC

RAD_cos270+sin270

,CDcos270—sin27°

C.四在正上的投影向量为容里前

O

D.COSN是方程4炉+1的一个实根

BAC2X2-3X=

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在菱形/BCD中，AC=(2,-3).前=(x-l,2),则％=.

14.己知定义域为R的函数同时满足以下三个条件：

(1)函数的图象不过原点；

(2)对任意xeR,都有f(x)=/(-x)；

(3)对任意x6R,都有f(x+2)=

则符合上述条件的函数表达式可以为f(x)=.(答案不唯一，写出一个即可)

15.已知等边三角形4BC的边长为2,设BC=洒CA=b>AB=c<则五•b+b1+力•

a=.

16.已知向量窗方满足同=2,|1|=1，|t五一(1一£)方|2|£0五-(1-%)方|对1€/?恒成

立，若0<%S则区石夹角的最小值是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知0(0,0),向量初=(2,1)，OB=(3,-2).

(1)如图，若四边形04cB为平行四边形，求点C的坐标；

(2)若点P为线段4B的靠近点8的三等分点，求点P的坐标.

18.(本小题12.0分)

如图，在AABC中，已知48=2,AC=4,/.BAC=60°,~BM=~MC，AN=~NC^AM,BN相

交于点P.设4B-a>AC=b-

(1)用向量为，%表示BM:

(2)求俞，丽夹角。的余弦值.

B

M

P

A

19.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=cos2%+\/~3sinxcosx—

(1)求//)的值；

(2)在44BC中,若爬)=1,求sinB+sinC的最大值.

20.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+V?asinB=b+c.

⑴求4

(2)若a=4,AABC的面积为4/耳，求△ABC的周长.

21.(本小题12.0分)

已知N=(sincox,coscox),b=(coscox,\T^cosa)x)^其中3>0,函数/(x)=方•@一三初的

最小正周期为加

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若关于x的不等式/。一莹)>V^msinfx+力一V^cos(x-》在［0,4内恒成立，求实数加

的取值范围.

22.(本小题12.0分)

十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于

船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆4B和横档CO构成，并且E是C。的中点，横档与杆

垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2,手持十字测天仪，使得眼睛可

以从4点观察.滑动横档CD使得4c在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线

恰好经过点D,DE的影子恰好是4E.然后，通过测量4E的长度，可计算出视线和水平面的夹

角NCAD(称为太阳高度角)，最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

(1)若在某次测量中，横档CO的长度为20,测得太阳高度角NCAO=60。，求影子4E的长；

(2)若在另一次测量中，4E=40,横档CO的长度为20,求太阳高度角的正弦值；

⑶在杆4B上有两点4满足44=*42•当横档C。的中点E位于4时，记太阳高度角为

@{=1,2),其中的,都是锐角•证明：al<2a2-

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：OA+BC-BA=OA+AJB+JC='OB+BC=OC.

故选：D.

直接利用向量的加减混合运算得答案.

本题考查向量的加减混合运算，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：s讥210°=sin(180°+30°)=-sin30°=

故选：A.

由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.

本题主要考查利用诱导公式进行化简所给的式子，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：•.,司—23+31=0.

c=—^(3—2b)=-x(5+4x2,—2+2x3)=(—竽，-g),

故选：A.

先由8一23+32=0,可得不=一：0一2万)，然后代入向量五和方的坐标进行运算即可得解.

本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的运算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：图1的横坐标先缩短为原来的：，再向右平移：个单位长度，纵坐标均不改变，可得到

图2对应的图象，

所以图2对应的函数解析式为y=/(2x-1).

故选：D.

根据函数图象的伸缩和平移变换法则，即可得解.

本题考查三角函数的图象变换，理解函数图象的伸缩和平移变换法则是解题的关键，考查逻辑推

理能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：角a的终边上有一点P(L3),可得sina=*^,cosa=^=,

cos©—a)+sin(弓+c)

=cos-cosa+sin-sma+sin7cosa+cos-stna

33oo

=cosa+y/~3sina=^7=+y/~3•~^=

=得1+3「).

故选：B.

利用三角函数的定义，求解正弦函数值，余弦函数值，通过两角和与差的三角函数化简求解表达

式的值即可.

本题考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数的应用，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：根据题意可知L4B=10,C=75°-30°=45°,

在△ABC中，由正弦定理得冬=—^左，即BC=m^=/=5q.

sinCs\nz.BAC

22

故选：A.

将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.

本题考查了正弦定理的实际应用，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：已知函数/(x)=singe+今，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点小点B,

则4《,0),B(0，W)，

JZ

又过点4的直线相交于另外两点C、D,

则4为CD的中点，

则(BC+BDyOA=2BA-OA=2(04-OB}-OA=20A-204•。8=2x£=捺

99

故选：B.

由平面向量数量积的运算，结合三角函数图象的性质求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数图象的性质，属基础题.

8.【答案】C

【解析】解：因为c-b=2bcos4

所以sinC-sinB=2sinBcosA,

即有si/McosB+cosAsinB—sinB=2sinBcosA,

所以sim4cos8—sinB=sinBcosA,

sinAcosB—sinBcosA=sinB,

sin(/l-B)=sinB,

又因为4B,。均为锐角，

所以4—8€(一权令，

所以4-8=B,A=2B,

C=n—A—B=n-3B,

所以cos(C—B)=COS(TT—48)=—cos4B=—(1—2sin22B)=2sin22B—1,

0<A=2B

0<B<l,所以

{0<C=TT-3B<^

又因为2sin4—cos(C-B)<2恒成立，

即;lsin2B-(2sin22B-1)<20-2sin22B+Asin2B+1<2=2sin22B-Asin2B+1>0恒

成立，其中Be%>

因为8C(K),所以sin2B6(?,l)，

设t=sinZB>tG,1)>

则有2t2-；It+1>0在tG(?,1)上恒成立,

由二次函数的性质可得：

4^1或14-2,

12-A+1>02x(马2+120

解得a<亨.

故选：c.

由c-b=2bcos4可得A=2B,从而有C=〃-3B,由不等式加讥4-cos(C-8)<2恒成立，可

得2s讥228-赤讥28+1>0恒成立，其中设［=sin2B,te(y,1)，则有2t2-;It+

1>0在《€(y,1)上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组求解即可.

本题考查了三角恒等变换、正弦定理、二次函数的性质及转化思想，属于中档题.

9.【答案】AB

【解析】解：4：0•N=G,正确，

B,"a-b=|a||K|cos<a<石>=9•五，二正确，

C,•.,(五.石)々为与工共线的向量，五.(丸下)为与云共线的向量，

.•.(3・尤)1中行・(石•分:错误，

D,当<口，方>=:时，W|a-K|>0,五］<0，二错误.

故选：AB.

利用向量的线性运算判断4利用向量的数量积运算判断BC。.

本题考查向量的线性运算，数量积运算，属于中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于4若|南+而|=|而-而|，

则荏而2+2荏•而=荏2+而2一2荏旅，.而•前=0一..481",则AaBC为直

角三角形，二正确，

对于B,,­,—^―=—acosA=bcosB,■■sinAcosA=sinBcosB,■■■sin2A=sin2B,

cosBcosA

・・.24=28或24+28=〃，.•.4=8或A+8=*.•.△ABC为等腰三角形或直角三角形，，错误，

对于C,v/l>^<=>a>h<=>2RsinA>2RsinB<=>sinA>sinB,・•・正确，

对于D,•・,tanA+tanB=tan(A+B)(l—tanAtanB),

tanA4-tanB=—tanC(l-tanAtanB),

•-tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCf

•:tanA+tanB+tanC<0,AtanAtanBtanC<0,

AtanA,tanBftanC只有一个小于0,

是钝角三角形，.•.正确.

故选：ACD.

利用向量的数量积运算判断力，利用正弦定理，余弦定理判断BC,利用正切的和角公式判断D.

本题考查向量的数量积运算，两角和的正切公式，正弦定理，余弦定理的运用，属于中档题.

11.【答案】CD

【解析】解：A,a1K---a-b=yf^cosd+sind=2sin(Jd+^)=0,且J+geg,争，

■-9+^=兀或2兀，：.d=与或手4错误；

B.一五/汴，：・Csme-cos。=2sin(e—?=0,且。一孚］,

0-1=0或7T,0=懑誓，B错误;

C.8=看时,b=区b同向，满足|日+b|=|五|+|b|，C正确；

D，a—b=(V-3—cosd,1-sin。)，位—b)2—5—2y/~3cos6—2sin9=5—4sin(6+^),

二。=?时，④一。2取最大值2|五一外取最大值3,。正确.

故选：CD.

A.根据有得出五不=0,进行向量坐标的数量积运算，根据两角和的正弦公式化简，即可判断4

的正误；

B.根据平行向量的坐标关系得出-cosQ=0,然后根据两角差的正弦公式化简，即可判断

B的正误；

C.可看出9=*满足条件，从而判断C的正误；

。.可求出伍—赤=5—4sin(9+》然后即可求出|弓一扇的最大值，即可判断D的正误.

本题考查了两角和差的正弦公式，向量垂直和平行的坐标关系，正弦函数的最值，同向的两向量

满足|五+3|=|方|+|方|，考查了计算能力，属于基础题.

12.【答案】ABD

A

【解析】解：对选项，设=。，则。=。，

——4/BAC0+28+2180A卜

D

・•・CQSZ-DAC=cosl80=cos(360°-18°)=cos342。=*，,以正确;

对8选项，,:空=tan29=tan720,

cos27°-^sin270_l+tan27°

=tan(27°+45°)=tan720,.•.8正确;

cos27°-sin27°l—tan27°

对C选项，根据题意可知BC=门一1,AB=AC=2,

22+22-(15-1)2_5r5+1,

・•・cos乙84c=

2x2x24

过B作BE1AC,垂足为E,

荏在而上的投影向量为何=cos^BAC-AC=空口前，二。错误；

4

对。选项，由图可知cos28=cos(7r-8-20),

:.2cos29—1=—cos(0+20)=—cos9cos29+sin6sin26

=—COS9(2COS20—1)+2sin26cos0,

设cos。=x,则2/—1=-x(2x2-1)+2(1—x2)x,

整理得4/+2x2—3x=1>'-D正确.

故选：ABD.

根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、余弦定理、投影向量等知识对选项

进行分析，从而确定正确答案.

本题考查三角恒等变换，诱导公式，同角三角函数的基本关系式，余弦定理，投影向量，化归转

化思想，属中档题.

13.【答案】4

【解析】解：菱形48CD中，AC=(2,-3)，BD=(x-1,2).

所以前•丽=2(%-1)-3X2=0，

解得x=4.

故答案为:4.

根据菱形的对角线互相垂直，向量的数量积为0,列方程求出x的值.

本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题.

14.【答案】cosnx

【解析】解：由题意，根据②可知函数/(X)为偶函数，由③可知函数f(x)的周期为2,再由函数/(x)

不过原点，

则满足的函数如：/(X)=COSTTX.

故答案为：C0S7TX.

由②可知函数/"(X)为偶函数，由③可知函数〃尤)的周期为2,结合/(X)不过原点，即可写出函数

f(x)的一个解析式.

考查偶函数、周期函数的定义，函数图象上点的坐标和函数解析式的关系，函数y=ACOS(3X+0

的周期的求法.

15.【答案】-6

【解析】解:由已知得到<♦,]>=<另<>=<4方>=120。,

所以日不+至1+^W=3x2x2xcosl20。=-6;

故答案为：—6.

利用平面向量的数量积公式解答；注意向量的夹角与三角形内角的关系.

本题考查了平面向量的数量积公式，注意向量的夹角与三角形内角的关系，容易出错.

16.【答案】I

【解析】解:设f(t)=一(1一t)」|，

则f(t)=t2a2+(l-t)2b2-2t(l

设正石的夹角为。,

即f(t)=(5+4cos0~)t2—(2+4cos9')t+1,

又•.响量五,3满足|五|=2,@=1，“一(1—)3|21%五一(1一%)方1对teR恒成立，

•••当―。=浅5时,4)取最小值,

又0<I。工『

则0<3篝4

5+4cos85

即一^<COS0<0,

则。e成子),

即落石夹角的最小值是看

故答案为：I

由平面向量模的运算，结合二次函数最值的求法求解即可.

本题考查了平面向量模的运算，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题.

17.【答案】解：(1)设C(x,y),则前=无一丽=(x-3,y+2)，且瓦5=(2,1)，

•••四边形OACB为平行四边形，

:.0A—BC>

・・.(2,1)=Q—3,y+2),弋；*,.•"(5,一1)；

(2)设P(a,b),则丽=(3-a,-2-b),AB=(1,-3).

•・•点P为线段4B的靠近点B的三等分点，

PB=^AB)即(3—a,—2—b)=,

・•.F-a=g,解得k=4,

1—2—b=-1I/?=—1

・•.P《，T).

【解析】(1)设C(x,y),然后得出万？=(%-3,y+2)，根据题意得出定=面，然后即可求出点C

的坐标；

(2)设P(a,b),然后得出丽=(3-2一2-匕),南=(1,一3),根据题意得出而=：而，然后即可

求出点P的坐标.

本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题.

18.【答案】解：(1),:AN=/VC,AB=五，AC-b.

BN=AN-AB=^AC-AB=-a；

(2)vBM=MC^AB=a^AC=b^

・,•祠=g须+硝=1+步

vBN=—a)2=^b+方之—五.b=；x16+4—2x4xg=4,/.|BN|=2,

vAM2=(1a+|K)2=:石2+1Q2+-&=7,/.|AM|=y/~7f

■.■AM-~BN=(^a+^b)-(^b—砂="『一g片一;五•3=1，

八AM-BN1C

•'•COS0-,—=_f—==...

\AM\\BN\2c14

【解析1(1)根据平面向量线性运算法则计算可得；

(2)根据数量积的定义求出|丽|=2,\AM\=yT7,AM-BN，再根据向量的夹角公式即可得解.

本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，向量夹角的求解，属于中档题.

19.【答案】解：=cos?X+■\Z~^sinxcosx—?=\cos2x+孕sin2x=sin(2x+g)，

2226

所以/■吟)=sin5=1；

⑵△ABC中，胫)=l=sin(A+〉

由4为三角形内角得力=亲

故sinB+sinC=sinB+sin(§-B)=^-cosB+gcosB=V_3sin(B+g)，

3226

因为0<B

所以当B=即寸,sinB+sinC取得最大值

【解析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后把％=却弋入即可求解；

(2)由已知先求出4,然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质可求.

本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式及和差角公式的应用，还考查了正弦函数的性质，属于

基础题.

20.【答案】解：(1)已知△4BC的内角B，。的对边分别为a,b,c,且acosB+\/~~3asinB=b+c,

则sirL4cosB+y/~3sinAsinB=sinB+sinC，

^sinAcosB+yJ~^sinAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB^

即^4s讥8=sinB+cosAsinB,

又sinB>0,

即—cosA=1，

即sin(A_6=2，

即4T屋,

即4=

(2)由448c的面积为4门，

贝唠bcsinA=4>/-3,

即be=16,

又a=4,

结合02=fc2+c2—2bccosZ可得：b2+c2—be=16,

即(b4-c)2=16+3bc=64,

即匕+c=8,

即Q+b+c=12,

故△ABC的周长为12.

【解析】(1)由正弦定理，结合两角和的正弦公式求解即可；

(2)由三角形面积公式，结合余弦定理求解即可.

本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角形面积公式，属基础题.

21.【答案】解：(1)因为五=(sina)x,cosa)x),b=(cosa)x,y/~3cosa)x')，

则/'(%)=a-(b—=a-b-?=sina)xcosa)x4-V-3cos2cox-=^sin2a)x+

厂kl+cos2wx,11、

V3——------------=sin(2cox+-)，

因为/'(x)最小正周期为兀，所以7=争=兀，3=l,/(x)=sin(2x+§,

乙3J

由-5+2/CTT<2x4--+2knf解得—答+而<工<白+kn(kGZ),

乙J41Z1Z

所以f(乃的单调递增区间为此时含而+勺,kez；

(2)/(%—^)>>/-2msin(x+；)-V-2cos(x—(,

即sin[2(%—3)+刍>yT^msin(x4-^)—y/~2cos(x—》

整理得：sin2x>(m—l)(sinx+cos%),

即小一1<2smsX对Vxe[0,三恒成立，

sinx+cosx2

令t=sinx+cosx=V-^sin(x+，)，贝ijtw

2sinxcosx2

-----------=t—1=r41,

sinx+cosxt------------t

设h(t)=当te[1,C]时函数/i(t)单调递增，

故九(