2024届新高考数学小题期末狂练七含解析

2024届高三“8+4+4”小题期末冲刺练（7）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合<-1>,N={x|lnx<l},则()

X1

A.(0,1]B.(l,e)C.(0,e)D.(-oo,e)

2.已知复数z满足z（l+i）=2—2i（i是虚数单位），则三的虚部为（）

A.2B.-2iC.-2D.2i

3.已知双曲线C：5-，=l（a>0,%>0）的一条渐近线方程为y=—乎x，则曲线，的离心率为（

「53

A.J5B.-C.-D.2

22

4.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行.秉持杭州亚

运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适

度.在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能从

甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）

A.18B.24C.36D.48

5.设向量a=（-1,2）2=,若。=劝，则》=（）

11

A.-B.-C.4D.2

24

6.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底8在同一平面内的两个观测点。与〃

现测得NCDfi=37。，ZBCD=6S°,CD=37.6米，在点。处测得塔顶/的仰角为64。，则该铁

塔的高度约为（）.（参考数据：6°1.4,V6»2.4,tan64°=2.0,cos37°«0.8）

A.42米B.47米C.38米D.52米

?+l+x）+2,正实数名6满足/（2。）+，（6-2）=4,则：的最小值为

7.已知函

()

9

A.5B.-C.4D.9

2

8.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何

体外接球与内切球的研究.其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向.已知正四棱锥

D

尸-ABCD的外接球半径为此内切球半径为r,且两球球心重合，则一=()

r

A.2B.1+V2c.2+V2D.2A/2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示,

A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%

B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为6.55%

C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总段同比增速的40%分位数为5.05%

D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%

10.已知函数y(x)=Asin(0x+0)[A〉O,0〉O,|d<U的部分图象如图所示.贝i]()

A./⑺的图象关于]-',0)中心对称

571

B.Ax)在区间—,2TI上单调递增

C.函数"％)的图象向右平移:个单位长度可以得到函数g(x)=2sin2x的图象

D.将函数小）图象所有点的横坐标缩小为原来的;，得到函数/z（x）=2sin（4x+4）的图象

/6

H.已知A5（%2，%）是圆。：f+y2=i上两点，则下列结论正确的是（）

A.若点。到直线AB的距离为g,则|AB|=6

B.若一AOB的面积为无，则4。3=巴

43

C.若+%为=；，则点。到直线A3的距离为乎

D.|玉+%-1|的最大值为亚+1，最小值为0—1

12.己知函数—X,则下列结论正确的有（）

A.当。=1时，方程/（幻=。存在实数根

B.当aWO时，函数/⑴在R上单调递减

C.当。＞0时，函数/a）有最小值，且最小值在尤=lna处取得

3

D.当a＞0时，不等式〃x）＞21na+5恒成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.若（x?—2x+2）一=%）++a,x?++,则%=•

3兀

14.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为耳，侧面积分别为S甲和S乙，体积

分别为％和吟.若*=2,则察=.

15.如图，“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形生成的.将等边三角形每条边三等分，

以每条边三等分的中间部分为边向外作正三角形，再将每条边的中间部分去掉,这称为“一次分形”；

再用同样的方法将所得图形中的每条线段重复上述操作，这称为“二次分形”；L.依次进行“九次

分形"（〃eN*）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若将边长为1的正

三角形“〃次分形”后所得分形图的长度不小于120,则〃的最小值是.（参考数据：

lg2ao.3010,lg3«0.4771）

16.已知椭圆C：三+丁=1的左、右焦点分别为耳，F,,M是C上异于顶点的一点，。为坐标原

4-.

点，E为线段班的中点，N耳加用的平分线与直线E0交于点尸，当四边形孙尸耳的面积为2&

时，sinZMF26=

2024届高三“8+4+4”小题期末冲刺练(7)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合M=<—<-1>,N={x“nx<l},则()

X1

A.(0,1]B.(l,e)C.(0,e)D.(-oo,e)

【答案】C

i

【解析】一<-l,即=x^<0,所以0<x<l,即M=(O,l),

x—1x—1

由lnx<l,得0<x<e,所以N=(0,e),

所以MuN=(O,e).

故选：C.

2.已知复数z满足z(l+i)=2—2i(i是虚数单位)，则三的虚部为()

A.2B.-2iC.-2D.2i

【答案】A

【解析】因为z(l+i)=2—2i,

2-2i2。-i)。-。

所以z

1+i(l+i)(j)

则z=2i，所以z的虚部为2.

故选：A.

3.已知双曲线C:-A=1（。＞0,匕＞0）的一条渐近线方程为＞=—好X,则曲线C的离心率为（）

A.小

【答案】C

【解析】双曲线的一条渐近线方程为y=-@x，且焦点在x轴上,

2

所以2=逝，所以e=£a2+b23

a22

故选：C

4.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行.秉持杭州亚

运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适

度.在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能从

甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）

【答案】B

【解析】当第一棒为丙时，排列方案有C；团=12种；

当第一棒为甲或乙时，排列方案有A；A；=12种；

故不同的传递方案有12+12=24种.

故选：B

5.设向量a=（—1,2）力=（2九,一1）,若a=则（）

【答案】B

【解析】因为向量a=（-L,2）石=（2苍一1）,a=双＞，所以:/a，

所以4x—1=0,解得％=工.

故选：B.

6.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底8在同一平面内的两个观测点C与〃

现测得NCDfi=37。，ZBCD=68°,CD=37.6米，在点。处测得塔顶/的仰角为64。，则该铁

塔的高度约为（）.（参考数据：V2«1.4-V6«2.4,tan64°=2.0,cos37°«0.8）

Bn

A.42米B.47米C.38米D.52米

【答案】B

【解析】在△CAB中，由题意可得NCBD=75°,

贝IsinZCBD=sin75。=sin（45。+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，

sinZCDB=sin37°=Jl-cos?37。工0.6，

工十行CDBCr/曰CD-sinZC£

由正弦定理--------=---------可得BC=----------------

sinZCBDsinZCDBsinNCBD

CDsinNCDB•tanNACB37.6x0.6x2.0

AB=BC-tanZACB=一r~r—处47

在RtZXABC中，可得sinZCBD-y6+A/2

4

所以该铁塔的高度约为47米.

故选：B.

7.已知函数/(%)=111(4^+q+2,正实数Q*满足了(2Q)+/S—2)=4,则［+(的最小值为

()

Q

A.5B.-C.4D.9

2

【答案】B

【解析】因为/(尤)=111(4^+%|+2,

所以/(x)+/(-x)=ln(J_x2+l+x)+2+ln(Jx2+1—九)+2=4,

故函数了(%)关于(0,2)对称；

又的定义域为R,/(%)=111(6+1+目+2,

所以由复合函数的单调性可判断了(%)在R上单调递增；

又/•(2°)+/3-2)=4,所以2。+/?—2=0,即2。+。=2,

c,c,,21If2I*-2b2a9

又〃>0,Z?>0,故一+—=——+—（2〃+/?）=—5+—+—>—5+2

ab2\abj2vab22

当且仅当上=三，即。=人=—时，等号成立.

ab3

21Q

所以一+一的最小值为2.

ab2

故选：B.

8.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何

体外接球与内切球的研究.其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向.已知正四棱锥

则四=(

P-A5CD的外接球半径为此内切球半径为r,且两球球心重合,

r

A.2B.1+72C.2+72D.2夜

【答案】B

设底面正方形ABCD的对角线长为2a,高为h,,正方形的中心为0,外接球的球心为。，

72_2

则有r=。—R即H=/z—r,在Rt..OO'£>中,r2=R2-a2=（h-rY-a2,:.r=------①，

V72h

R=rJ+a一②,

2h

以。为原点，建立空间直角坐标系如上图,

则有O（0,0,r）,P（0,0,/i）,C（a,0,0）,£>（0,a,0）,CD=（-tz,a,0）,PC=（a,0,-h）,

P0=（0,0,-/z）,

./、m-CD=0-ax+ay=0

设平面•力的一个法向量为加=(x,y,z),则有＜

mPC=0ax-hz=0

令z=〃,贝===,

m・P0a

设向量PO与平面尸切的夹角为。,则sin6=

y12h2+a-

a

球心6到平面PCD的距离r=POsin0=R.a=(h—r)

V2/22+a2A/2/Z2+a2

眩—1

2221

ahahh-aha___丁

r=-----7,;，由①得------即2h③，

a+72hr+a'a+yj2弟+a?2h1+样+1

故设”，，则③可整理成『+1=(r—1)J2/+1

，两边平方得d—2d—1=0,.12=0+i,

,R/厂+a~厂+1[―

由①②得一=F~T=--=V2+1；

rh2-a2r_]

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示,

贝U()

30.社会若黄上零|1总・同比

201IS

A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%

B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为6.55%

C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总殷同比增速的40%分位数为5.05%

D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%

【答案】ABD

【解析】我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为

2.5%,3.1%,4.6%,5.5%,7.6%,10.6%,12.7%,18.4%.

我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%,A正确.

我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为空巴胆=6.55%,B正确.

2

8x40%=3.2,我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的40%分位数为5.5%,C

错误.

我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速平均值为

-x(2.5%+3.1%+4.6%+5.5%+7.6%+10.6%+12.7%+18.4%)=8.125%,D正确.

8

故选：ABD

10.已知函数/(£)=Asin(0x+e)[A〉O,0〉O,|d<m的部分图象如图所示.贝ij()

A./W的图象关于[一五,0)中心对称

5兀

B.Ax)在区间—,2TI上单调递增

C.函数八％)的图象向右平移E个单位长度可以得到函数g(x)=2sin2x的图象

17T

D.将函数Ax)图象所有点的横坐标缩小为原来的得到函数/z(x)=2sin(4x+—)的图象

/6

【答案】ABD

TSJiJi12冗

【解析】由图象可知A=2,-=---=-x—,解得丁=兀,0=2,

41264ft)

又所以2sin[]+0]=2,即]+夕=曰+2E,左eZ,结合同c],可知左=0,夕=巳,

所以函数/(%)的表达式为/(x)=2sin〔2x+£],

71IJIJI]I71]

对于A,由于72sinl=,即，(九)的图象关于[一五，。J中心对称，故A正确;

12

5兀一八兀7兀25兀7兀9兀

对于B,当—,2TI时,t—2xH—G—,由复合函数单调性可知在

62~6~T,T

区间y,27T上单调递增，故B正确；

对于C,函数/(%)的图象向右平移个单位长度可以得到函数

g(x)=2sin2,—£=2sin[2x—£),故C错误；

对于D,将函数/(x)的图象所有点的横坐标缩小为原来的：，得到函数h(x)=2sin(4x+-)的图象,

/6

故D正确.

故选：ABD.

11.已知A3(%2，%)是圆。：d+y2=i上两点，则下列结论正确的是()

A.若点。到直线AB的距离为则|AB|=G

B.若的面积为且，则NAO3=C

43

C.若玉々+%%=；，则点。到直线A3的距离为日

D.|玉+%-1|的最大值为&+1，最小值为0—1

【答案】AC

【解析】对于A：易知圆。：必+/=1的半径r=1,

因为点。到直线A5的距离4=工，

2

所以|A3|=2y/r2-d2=2^J=73,

即选项A正确；

对于B：因为JL05的面积为且，

4

所以:|QA||03|sinNA05=^，

即-sinZAOB=—,解得sinZAOB=—，

242

因为0VNAO5VTI,

jr27r

所以NAO3=—或NAQB二」，

33

即选项B错误；

1.1

对于C：因为芯%2+%%=5，所以0A,03=5，

B|1|OA|-|OB|cosZA(9B=1,即cosNAO3=g,

jr

因0<4405<兀，所以NAO3=—,

3

即JL03是边长为1的等边三角形，

所以点。到直线A3的距离为且，

2

即选项C正确；

对于D：由题意设玉=cos6,%=sin。，且0<8<2兀，

则Xy+yy-l|=|cos^+sin^-l|=|^2sinf+j-1

TT7TQir

因为0<夕<2兀，所以一<e+—K—,

444

则—l«sin(e+3〈l,-V2<V2sin(^+-)<V2,

44

-V2-l<V2sW+-)-l<V2-l,

4

所以0W|五sin（6+2）-1区夜+1,

4

即00%+%-1区0+1,

即选项D错误.

故选：AC.

12.已知函数—x,则下列结论正确的有（）

A.当。=1时，方程/（彳）=0存在实数根

B.当aWO时，函数/⑺在R上单调递减

C.当。>0时，函数/a）有最小值，且最小值在x=lna处取得

3

D.当a>0时，不等式/（x）>21no+3恒成立

【答案】BD

【解析】对于A,因为。=1,所以方程/（元）=。即/+1-工=0，

设/z(x)=e*+1—x,则=e*—1,令"(x)=e*—1=0,得x=0,

当x<0时，"(x)=e*—1<0,/z(x)=e'+1—x单调递减，当x>0时，//(x)=e*—1>0,

7/(x)=e*+1—x单调递增，

所以/z(x)=e*+l—%>为(0)=2>0,所以方程/。)=。不存在实数根，所以A错误.

对于B,因为〃x)=a(e*+a)-x,定义域为R,所以/'(x)=ae*T,

当aWO时，由于e*>0，则ae'WO，故/'(无)=ae*-1<0恒成立，

所以/(x)在R上单调递减，所以B正确.

对于C,由上知，当a>0时，令/''(x)=ae*-l=0,解得x=-lna.

当％<—Ina时，f\x)<0,则/(无)在(—8,—Ina)上单调递减；

当x>—Ina时，/(光)>0,则/⑺在(—Ina,+8)上单调递增.

综上，当a>0时，/(x)在(-8,—Ina)上单调递减，在(—Ina,+co)上单调递增.

所以函数/*)有最小值，即最小值在x=-Ina处取得，所以C错误.

对于D,由上知=/(-ln«)=o(e-lna+a)+lna=1+/+lna,

331

要证f>2Intz+—,即证1+a?+Ina>21na+5,即证。?———lna>0恒成_\£,

i1G21

令g(a)=〃------lna(a>0),则g'(a)=2a—=---------.

2aa

令g'(a)<0,则o<q<也；令g'(a)>0,则克.

所以g(a)在0,上单调递减，在上单调递增,

所以g(a)min=g---In—=lnV2>lnl=0,则g(a)>0恒成立,

22

3

所以当a>0时，/(x)>21na+5恒成立，D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.右(x?—2x+2J=UQ+tZjX+tz9,则生

【答案】-592

【解析】(/-2x+2)s表示5个因数(炉一2九+2)的乘积.而％为展开式中V的系数，设这5个因

数(必一2%+2)中分别取产、—2%、2这三项分别取仃，左个，所以，•+/+Z=5,若要得到含的

项，则由计数原理知，，/，上的取值情况如下表:

X2—lx2

i个/个上个

050

131

212

1

由上表可知出=C(-2)5+C：C：(-2)3.2一+C；-C；(-2)-23T=_32+(-320)+(-240)=-592.

故答案为：-592.

371

14.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为耳，侧面积分别为S甲和S乙，体积

分另11为%和彩.若工=2,贝.

【答案】芷##。君

55

【解析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为彳，乙圆锥底面圆半径为弓，

则_1^=巴弓=工=2,所以(=2q,

又生+出=型，则巨、，所以勺11

112141

所以甲圆锥的高4=，/2一；尸=与,

乙圆锥的高久=J/—4/2=^1,

所以b=如2=上士=述

彩卜也3呵