2023年高考模拟考数学试卷3（解析版）

2023年高考数学模拟考试卷3(理)

第I卷

一、选择题

1.若霄(αeR)是纯虚数，贝IIa=()

A.-1B.IC.-9D.9

K答案》A

α+3i_(α+3i)(3-i)_3a+3(9-。).

工解析U3+i-(3+i)(3-i)-10+10'

3〃+3„

--------=O

因为害是纯虚数,10

故，得α=—1,

(9一〃)

ʌ——^≠0

10

故选：A.

2.已知集合M={引丫=3一,,%>1},N={y∣y=log3X,O<x<l},则MCN=()

A.{引O<y<g}B.{γ∣O<y<l}C.{yg<y<l}D.0

R答案UD

K解析DM={y∣y=3τ,x>l}=(yO<y<g,,TV={y∣γ=IogXO

39<%<D={y∣yv。},

则McN=0.

故选：D

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

π

B.C.πD.2π

2

K答案』C

K解析》由三视图还原几何体，如图，

该几何体是由两个四分之一圆（半径为r=l）组成的图形作为底面，高为〃=2的柱体,

所以该几何体体积为V=S∕ι=2x,b2∕7=Lτtxl2χ2=π∙

42

4.如图，正方形A8C3的边长为2,圆A半径为1,点P在圆A上运动，则BPBD的取值

A.[2,6]B.[2√2,6√6]C.[4-2√2,4+2√2]D.[2,2√Σ]

K答案HC

K解析D设AP与Bo的夹角为。，则0≤6≤τr,

BPBD=(BA+AP)∙BD=BA∙BD+AP∙BD

=2×2√2cos45°+l×2√2cos6>

=4+2∖∣2cosθ>

因为-I≠fcos01,

所以4-2&≤BP∙BO≤4+2四，

故选：C

5.已知16COS2——3cos2/9=3,则CoSg=().

2

A.-亚B.--C.ID.更

3333

K答案2B

nnι,CCqn

K解析』由16cos2g-3cos2M=3,将cos??=,cos26=2cos26-1代入化简

222

得8(l+cos6>)-3(2cos2j-l)=3,

2

即3cos?8-4COSe-4=0,解得COSe=2(舍去)或COSe=—

故选；B.

6.已知函数"x)=W+si∏2χ,设储，χ2∈R,则"x,)>∕6)成立的一个必要不充分

条件是()

A.Xl>X2B.X2>X1

C.xl+x2>0D.∣xlI>x2

K答案DD

K解析》函数/(X)的定义域为R,

则函数f(-x)=∣-X∣+Sin2(-x)=∣Λ∣+sin2x=f{x),

所以函数/(x)是偶函数，

当x>0时，/(x)=x+sin2X,

f'(x)=1+2sinxcosx=(sinx+cosx)2≥0,

所以/(ɪ)在(0,xo)上单调递增，所以/(x)在(-∞,0)上单调递减.

若/(%)>f(∕),则∣%∣>∣W∣,即∙√>X2:

A：若为=1，超=-2,满足再>/，但/⑴</(-2)=/(2),反之也不成立，故选项A错

误；

B：若占=4,Λ2=5,满足声>王，则f(4)<∕(5),反之，若/(xl)>/、(%),不一定

W>X，故选项B错误；

C：由χ∣+%>0可得%>-々，但不一定有/(%)>/(々)，所以充分性不成立，故选项C

错误；

D：由㈤>%可得可(％)>f(x2),但由Fa)>f(j⅛)不一定能推出|引>声,故D正确.

故选：D.

7.小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩(北京冬奥会吉祥物)随机放入3个不同袋子

中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是()

3C2-9-4

A.—B.—C.—D.一

427169

R答案2D

K解析U小明将4个大小相同颜色不同的冰墩墩随机放入3个不同袋子中，有34=81种

不同的放法，

若每个袋子至少放入一个冰墩墩，则分2步进行分析：

①将4个冰墩墩分为3组，有C；=6种分组方法，②将分好的3组放入3个不同的袋子

中，有A；=6种情况，则有6x6=36种方法，所以所求的概率为郎=，

故选：D

8.设函数〃£)=COS(Or+*)(是常数，ω>0,0<φ<^),若f(x)在区间［点上

具有单调性，且一点)=一/(1)=一/(答)则函数是f(x)的最小正周期是()

Tr3

A.-B.πC.-7iD.2兀

22

K答案HB

K解析》若/(X)在区间［-泰工上具有单调性,则;寺宅+5∙∙.O≤6,

则“X)的图象关于点(Iq对称,∙∙J。)的图象关于直线X=I对称,

兀兀7T尸X

/.coX(P=kτ1t+ɪ,κ∈Z(X),

兀

且ox.+e=〃兀,攵∈z,②

两式相减,可得3=4(〃-Z)-2,又因为O<G≤6,故0=2或。=6.

当勿=2时,则结合O<0<］和①式可得/=5，/(x)=cos^2x+^.

TT

当。=6时,则结合O<0<,和②可得。不存在，

综上〃X)=COS(2x+1)

故它的最小正周期为W=兀，

2

故选：B.

9.已知”=∙∣,6=/，C=In5-ln4,则α,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

K答案》C

K解析U设/(x)=e'-x-l,

则((x)=e，一1,

当x>0时，/,x)>O,当x<O时，/'(x)<0,

所以f(x)在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)单调递减，

所以"*ta"(°)=°,

所以■/(x)≥:。oeΛ.-x-l≥0=>eΛ.Nx+1,在R上恒成立，

N32

所以b=e5≥---F1=—=<7,

55

设g(x)=lnx-x+l,

则/(x)=^-l，

当x〉I时，g'(x)<O,当O<x<l时，g'(χ)>o,

所以g(χ)在(l,+∞)上单调递减，在(0,1)单调递增，

所以g(x)max=g(l)=lnl-l+l=O,

所以g(x)≤。=>lnx-x+l≤。=>lnx≤x-l,在(0,+8)上恒成立，

5512

所以C=ln5—In4=In—<—1=—<—=a,

4445

从而有人α>c,

故选：C.

10.已知数列｛%｝满足all+l=a：-a,,+l(w∈N'),且q=2023,若存在正偶数m使得

22n,

(-l)'tzl+(-l)^++(-l)⅛+^=2022αla24”成立，则皿=()

A.2016B.2018C.2020D.2022

K答案XD

a—1

K解析》由题意，屋=4用故4=3-r,

an-[

...2022«,α2,•勺=2022•”1•曰∙Ufl=

β1->a2-∖am-∖

m1flfl

,∙'为正偶数，，(-Ip⅛.ι+(-I)™⅛=-(m+m-ι-1)+(⅛÷∣+¾,-l)=‰-¾,-ι

wl=aa+m

，左边=(4-4)+(%一生)+…+(q”+l—α,z)+m+∖~∖，

此时，‰-^+w=¾,÷>

m=al-∖=2022.

故选：D.

22

11.已知两点A,M在双曲C5∙-g=l(">O,A>O)的右支上，点A与点B关于原点对称,

BM交y轴于点N,若A8_L4W，且ON2+8OA∙ON=0,则双曲线C的离心率为()

A.√5B.ʌ/ðC.√7D.2正

K答案XD

K解析11如图，不妨设A在第一象限，取BM的中点。，连接OQ,

因为。为AB的中点，故OQHAM,

3(x∣,y)α<0,M<0),M(x2,y2),Q(xv,y∆,xl≠x2,

i

222

y,

2一-12O

B,M在双曲线上，则‹fcA,两式相减可得，32-=

。

⅛2

即X+必2⊂Λ=C而空=骁=

2x+x2x

X,+x2X1-x2al20

=,

故ktiM'^OQ~2即"aw-~^2~^)

又因为A3,AM，则08LOQ,即心屋心。=々，

所以=即&=一2，所以％之，

网⅞Jo玉a-χx

又ON?+80A∙ON=0，则I。NF=-81OAllON∣cosNAoN,

即IoNI=一810AlcosZAON=8∣yl∣,故N(0,8y∣),

i

所以ABN=犯一左=_41,而MJM=ZaV，⅛-^Γ=--,

xx

-ι∖axλxλ

故4=7,则双曲线C的离心率为e=、匹五=.hZ⅛=2√2,

a^VaVa~

根据双曲线的对称性可知，当A在第四象限时，同理可求得e=2a，

当A在双曲线的顶点时，由于此时AM与双曲线相切，不合题意，

故双曲线C的离心率为e=2√5，

故选：D.

12.己知函数/⑴的定义域为R,g(x)=(x-l)∕(x),若/(2-x)是奇函数，/(l-χ)是偶

5()

函数，且g(ll)=20,则Zg(k)=()

Jl=I

A.-46B.-47C.-48D.-49

K答案HC

K解析D解:因为“1-X)是偶函数，所以"l-χ)=y(l+χ),即f(2-x)y(x),

故f(χ)的图象关于直线χ=l对称.

因为f(2-x)是奇函数,所以f(2-x)+f(2+x)=0,g∣J∕(2-x)=-∕(2+x),

故"x)的图象关于点(2,0)对称，

所以/(2+x)=-∕(x),/(4+x)=-∕(x+2)=∕(x),

所以，f(x)是周期为4的周期函数，

对于f(lτ)=∕(l+x),令X=L得〃0)="2),

对于/(2-x)+∕(2+x)=0,令X=0,得/(2)=0

又〃M是周期为4的周期函数，

所以/(O)=∕(4),所以/(2)=∕(4),

所以，/(2)=/(4)==∕(5O)=O

所以g(2)=g(4)==g(50)=0.

因为g(l1)=10〃II)=IO/(3)=TO/(1)=20,

所以/(l)=-2,

对于"2—x)+∕(2+x)=0,令χ=l,W/(1)+/(3)=0,即/(3)=∙√⑴，

所以/(3)=-/(1)=2

所以g(l)+g⑶=0+2/(3)=2/(3)=4,

g(5)+g⑺=4∕(5)+647)=4∕(l)+643)=2∕(3)=4,

，•••，

g(45)+g(47)=44/(45)+46/(47)=44/(1)+46/(3)=2/⑶=4,

5()

所以Zg(&)=(g(2)+g(4)++g(50))+U(I)+g(3))+(g(5)+g(7))+

2=1

+(g(45)+g(47))+g(49)=4xl2+48"l)=T8∙

故选：C.

第∏卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5-3x+2y)"展开式中不含y的项的系数和为64,则展开式中的常数项为

K答案H15625

R解析》(5-3x+2y)"展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0,即(5-3x)"的展

开式，再令x=l,得(5-3》+2»展开式中不含、的项的系数和为(5-3)"=64,，〃=6,

求(5-3x+2y)6展开式中的常数项,由(5-3x+2y)fi=[5-(3x-2y)]6,

所以展开式中的常数项为C;X56=15625.

故R答案H为：15625

14.已知点A(6,0),点尸在抛物线V=16x上运动，点2在曲线(x-4p+y2=ι上运动,

则售的最小值是.

∖PB∖

K答案H2√41-6

K解析》抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),设尸点坐标(χ,y),则IPFI=X+4

IPAF=(X-6)2+y?=(》_6尸+16X=∕+4X+36,

由题意当IPBl=IPFI+l=χ+5时，⅜=∙r+4x+36

IPBlX+5

人U∏,UPA(-5)2+4(7—5)+36∕2-6∕+4141/

令x+5=f,则lX=f-5,∖~L——————乙——=--------=/+——6,

IPBlttt

41.—

由基本不等式知r+亍≥2"i,当且仅当t=α时等号成立

故牛4■的最小值为2d-6∙

∖PB∖

故K答案H为：24T-6

15.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,(S,,≠0),7；,为数列｛S,,｝的前n项积，满足Sn+Tn=Sn-Tn

(“为正整数)，其中Z=4,给出下列四个结论：①4=2；②4=”(2：_1)；③｛Z,｝为等

差数列；④5“=四.其中所有正确结论的序号是.

n

K答案FΦ©④

R解析员因为S,,+<=S,,Z(〃WN*),

所以当”=1时，51+7]=S∣∙[=2q="；，解得4=2或4=0,

又S,,≠0,所以4H0,故4=2,故①正确；

S

因为s,,+Z,=s,,Z,易得s,*ι,所以T=T

S

当“22时，7Lτ=s],

所以Z-=力—χS'i-1,则5“=二—.S,IT

T„.tSl,-∖S„.,S,,-lS„_,

≡⅛⅛=⅛^='÷⅛则,

V------=-------=1

S1-Ia1-l

所以是以占=1为首项，1为公差的等差数列,

所以/^7=ι+("-ι)χi=",则S,=5∙,

3“Tn

n-U1

经检验，5=4=2满足上式，所以S,,=q,故④正确；

n

H+1

所以(=』=京L=〃+l，则7；-7；T=5+l)-〃=l∕≥2,

3〃T〃十I_]

n

所以｛4｝为等差数列，故③正确;

M+1nn2-l-n21

当〃≥2时，q=S〃-Sl

nn-∖〃一1)∕ι(n-l)

又4=2不符合上式,

2,n=∖

所以为=,1_…故②错误.

-1i∖,n~2

nyn-∖j

故K答案H为：①③④.

16.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次

4π

比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为石，托盘由边长

为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.有下列四个结论：

F

B

ττ

①经过三个顶点A,B,。的球的截面圆的面积为一

②异面直线AD与CF所成的角的余弦值为V

8

TT

③直线AD与平面DEF所成的角为§

④球离球托底面OEF的最小距离为6+逅-1

3

其中正确的命题是.（请将正确命题的序号都填上）

K答案H②③④

K解析D取r>E,EF中点N,M,连接AB,BC,AC,BM,MN,AN,如图,

Crz-------

因ABEF为正三角形，则防，而平面应尸，平面OEE,平面8"I平面

DFE=EF,u平面啊，

于是得BM上平面DFE,同理AN工平面OFE,即//AV,BM=AN=A

因此，四边形ABMN是平行四边形，有ABiiNMIIDF,同理AC〃E£8C//Z）E,

1同

AB=AC=BC=MN=-DF=1,AfiC外接圆半径r=上，

23

经过三个顶点A,B,C的球的截面圆是ABC的外接圆，其面积为。，①不正确；

连接DM,AM,因AC〃M£AC=MF=1,则四边形ACRW是平行四边形，AMHCF,

即有NMAD是异面直线4。与C尸所成的角或其补角，AM=CF=I,加〃）中，

AD=2,DM=瓜

由余弦定理得：cosZMADɪΛD→AM--DM-=5②正确；

2ADAM8

TT

因4V1平面。匹E,则NADE是直线AZ)与平面QEF所成的角，而NADE=§,③正

确：

4五4ττo4τr

体积为——的球半径R，由——H'=-得R=I,由①知，球心到平面ABC的距离

333

d=√F≡7=在，

3

由①，同理可得点C到平面OEE的距离为石，即平面ABC与平面OFE的距离为石，

所以球面上的点到球托底面OEF的最小距离为BM-(R-4)=百+半-1,④正确，

所以正确的命题是②③④.

故K答案H为：②③④

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第∣7~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.在「A8C中，内角A,8,C的对边分别为α,4c,且

βsinA=c(sinC-2sinB)+6(sinC+sinB).

(1)求角A；

(2)若ABC为锐角三角形，求途S-C)的取值范围.

2a

解：(1)因为QSinA=C(SinC-2Sin8)+/?(SinC+sinB),所以由正弦定理得

a2^c(c-2b)+b(c+b),整理得//+C?-/=9,，由余弦定理得CoSAJ2+；;片=3.因

TT

为0<A<π,所以A=一.

3

(2)由正弦定理得

6伍一。)√3sinB-sinC....(2π∖.(π›

--------------------------=sɪnB-smC-sinB-SinBβ=sιnB——.

2a2SinA(3)\3)

0<B<巴，

2

因为ASC为锐角三角形，所以《C

解得一<8V―,所以一

62636

所以一;<sin(B-∙∣]<g,

故且出©的取值范围为

2a<22；

18.某网络"P在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活

动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机

会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，己知甲、乙、丙三人都参加

了该项活动.

(1)若甲第一关通过的概率为=,第二关通过的概率为9,求甲可以进入第三关的概率；

(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500

名参加者中得分前400名发放奖励，

①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，己知甲的得分为270分，问甲

能否获得奖励，请说明理由；

②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上

共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.

附：若随机变量Z~N(〃,"),贝∣JP(〃一b≤X≤"+b)kO.6827;

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973.

解：(1)设4：第i次通过第一关，Bi:第i次通过第二关,

甲可以进入第三关的概率为P,

由题意知P=P(A4)+尸伍A∕J+P(A瓦巴)+网•4瓦名)

=P(A)P(耳)+P(%)P(4)P(BJ+P(A)P(瓦)P(4)+P(4)P(4)P(瓦)尸(修)

25

36

(2)设此次闯关活动的分数记为XN出吟.

①由题意可知〃=171,

因为ɪ=0.0228,且P(X>〃+2b)=IT匕2h≤X≤竺2b)=>09545Bθθ228,

250022

所以〃+2b=351,则Cr=-------=90；

2

400，/,、l-P(u-σ≤X≤μ+σ]1-0,6827

而----=0.16,S,P(X>u+σ)=---------------_L=---------≈0.1587<0.16,

25001户,22

所以前400名参赛者的最低得分高于〃+b=261,

而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；

②假设乙所说为真，则〃=201,

/、I-P(u-2σ<X≤u+2σ)1-0.9545

尸(X≥M+2b)=——二--------------L=；≈0.0228,

H57…CC,,351-201ru

而----=0.0228,所cr以<τ=--------=75,

25∞2

从而〃+3b=201+3x75=426<430,

k/、l-P(u-3σ≤X<μ+3σ)1-0.9973

而尸(X≥〃+3σ)=----止--------------L=——-——≈0.0013<0.∞5,

所以X≥"+3b为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其不可能发

生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假.

19.如图①，已知V48'C是边长为2的等边三角形，。是A3'的中点，DH工B'C,如图

②，将一BT）“沿边。“翻折至△比归.

图①图②

（1）在线段BC上是否存在点F,使得A尸〃平面以双？若存在，求三的值；若不存

FC

在，请说明理由；

（2）若平面3"C与平面BD4所成的二面角的余弦值为:，求三棱锥3-OC”的体积.

解：（1）存在点尸满足题意，且B黑F=］1，理由如下：

在图①中，取B'C的中点连接A",则

在图②中，AMHDH,AVz平面比归，，归U平面瓦），，

所以A"〃平面E）”,且网='；

MC2

在线段BC上取点尸使B芸F=；1,

rC2

连接"F,E4,则同理可得MF〃平面8。”,

图①

又因为MRCAM=M,MEAJWu平面AW尸，所以平面AME〃平面BE归,

又因为AFU平面AM尸，所以A尸〃平面B。/7.

(2)在图②中，DHLHC,DH：LHB,HCcHB=H,HC,HBu平面BHC,所以£)4,平

面3HC,

法一：以“为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

,θ[θ,半θj,

设/8HC=6e(0,π),则COSe,O,；sin。)，

1<31.1「0〕

DrιBo=—ConSa-----,—sinΘDA=2'T'°J

\222

设平面BA4的法向量为％=(χ,y,z),

X√3Z

m∙DB=-cosθ-y+-sin0=O

2-2~6(1+COS8)

则〈令y=1,则X=-ʌ/ɜ,Z=即

n4I√3Sine

m∙DA=-x-∖-y--=0

22

ɪ同1+cos。)、

易知平面3HC的一个法向量〃=(OJO),

1

--ZZ-1

若平面MC与平面曲所成的二面角的余弦值转，则不2

1+cos。i3

Sine

化简整理得：匕B”,5

Sme

,θ/3.√15

所fic以μtan—=J-,sin。n=---,cos。=-,所以8

2\544o

则三棱锥8-。CH的高为巫，.

8

又因为底面积Sdcii=-×-×^-=^^-,

DCH2228

所以三棱锥B-Z)CH的体积为匕J=Lx迈X巫=亚

B-DcH38864

法二：延长4λC”相交于点N,事实上点N即为点8',

则平面8,CC平面BDA=BN,

过H作〃TLBN,垂足为T,连接。T,

因为£归，平面5HC,BNU平面BHC,所以DHLBN,

又HTCDH=H,HT,DHuBNL平面DTH,所以平面。7H，

OTU平面077/，则8NLE>T,所以/D77/即为平面BHC与平面BD4所成的二面角的

平面角,

即CoSN7)7H=g,所以tan/。"7=2啦，

B/7

即,/nʃwDHT即7"=2,

tan^DTH=--=^^=2√2«

THTH

又BH=NH=I所以BN=2NT=巫

24

在△aV”中，设点B到M7的距离为万，由等面积法可得力∙M7=BN∙47,解得

h=叵

8

即三棱锥5-ZX?，的高〃=姮，又。”的面积为迈,

88

所以三棱锥3-r>CH的体积为K=L巫X地=迈

38864

20.P为圆A:(x+2)?+y2=36上一动点，点B的坐标为(2,0),线段PB的垂直平分线交直

线”于点Q∙

(1)求点。的轨迹方程C；

(2)在(1)中曲线C与X轴的两个交点分别为A和4,M、N为曲线C上异于4、A2

的两点，直线MN不过坐标原点，且不与坐标轴平行.点M关于原点。的对称点为S,若

直线AS与直线A?N相交于点t，直线。T与直线MN相交于点R,证明：在曲线C上存在

定点E,使得.∣∕3E的面积为定值，并求该定值.

(I)解：•直线BP的垂直平分线交直线AP于点。

.∙.忸QI=IPa,.∙∙kα+忸Ql=IAa+∣PQ∣=6>4=∣AB∣,

由椭圆的定义可知，点。的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且2“=6,2c=4

."=3、c=2f则/=，储一/=石,

ɔ2

.•・点。的轨迹方程为5+11=i∙

(2)证明：设“(5,》］)、N(X2，必)，直线MN的方程为X=切+〃(加工0,〃W0),

X=my+n

与椭圆方程联立，得_,W(5∕722+9)γ2+1Qmny+5n2-45=0,

~9+~5~

则A=l80(5m2"+9)>。由根与系数的关系得立=第，…-畀

由⑴知A(—3,0),4(3,0),设7(%为),

由T、S、Al三点共线得工、=一1,由丁、N、4三点共线得工∖=-¾

x0+3x1-3x()-3X2-3

m∣∣2/=∙yo+3+/-3_'-3+Z-3

J%%%%%

=螫3+殁2+7=2i-3)(LL=2,"+("3)A⅛

Jl%ʃl%乂%

2ιnn6m

=2m-(n-3)-----=-------.

n2-9/2+3

所以b的斜率％=&=宇，则直线。7的方程为y=fχ,

⅞3m3/72

〃+3

联立直线OT与直线MN的方程，可得，3m,解得X=-3,

X=my+n

因此R在定直线/”=-3上，使得，/3E的面积为定值的点E一定为过点8且与直线/平行

的直线x=2与椭圆C的交点，

x=2x=2X=2

5,此时E的坐标为(2,|)或(2,-5|

由y2,解得<5或‹

—+—=1)'=一3

95、、

1525

所以二碎的面积53=丁白5=一.

21.已知函数/(x)=(x+l)InX-ZeI,其中&为常数.

(1)若&=2,求曲线y=f(x)在点(IJ⑴)处的切线方程：

(2)若函数g(x)="?”的极大值点是％,且函数/S)的一个零点大于1,求证:

e

x1

(2¾+l)Inx0-∕ce°~>0.

(Dft?:当％=2时，则/(x)=(x+l)IrU—2e'T,∕,(Ar)=l∏Λ+l-2e'-1+1

所以/(l)=21nl-2e**=-2,∕,(l)=lnl+l-2eo+l=O,

即切点坐标为(1,-2),切线斜率为左=0,

所以曲线y="χ)在点(IJ(I))处的切线方程为y-(-2)=0,B∣Jy=-2.

⑵证明：.•3)=钟则g，(X)=S也产1,

构建a(x)=—%2InX+x+l,则=—2JdnX-X+1,

构建函数，(X)=-2XlnX-x÷l,则/(x)=-2lnx-3,

令f'(x)>O,得o<χ<∕;令MX)<。,得χ>∕;

因此函数f(x)=-2XInr-X+1在(θ,e［上单调递增，在［/,+s］上单调递减,

构建函数X(X)=Inλ=x+l,则/(x)=B-1，

令M(X)>0,得0<χ<l,令J(X)<0,得x>l,

因此函数"(x)=InX-%+1在(0,1)上单调递增，在(l,+∞)上单调递减，

则〃(X)≤〃⑴=O,即lnx-(x-l)≤0,

因为％>0,所以一x<0,所以一x[lnx-(I)]≥o,

Bjf⅜-xlnx>-x(x-1),则f(x)=-2xlnx-x+1≥-2χ2+χ+ι=-2]χ-j+',

故当Xe0,e^时，(耳>_2(工_；)+∣>0

/3、

又因为函数，力=-2XInXr+1在e2,+∞上单调递减，且f(l)=。，

\/

所以当Xe(0,1)时,r(x)>O,当x∈(l,+∞)时,J(X)C0,

即当Xe(0,1)时，