2023-2024学年重庆外国语高一数学上学期12月考试卷附答案

2023-2024学年重庆外国语高一数学上学期12月考试卷

（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.12

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

M=[x\ex-'>1）N=[X\X2-2X-?><0]、

1.已知集合III,II>,则（）

A.（°」）B.（1，2）C.（L3）D.（T+8）

2.下列四个数中最大的是（）

A.-B.lg&C.（坨2）D.3（笆2）

3.己知。=3=6=22,c=log32>贝崎，b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cc.c<a<bD.c<b<a

户

y=—

4.函数4.x的图象可能是（）

5.设函数"x）=l°g〃（x+"（a>0,且awl）的图象过点（°，°）,其反函数的图象过点。乂）），则a+b等

于（）

A.6B.5C.4D.3

6.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生

物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于

°1％.经测定，刚下课时，空气中含有°?%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为1%,且

t

V随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数，=005+加「（XeR）描述，则该教室内的二氧化碳浓度

达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：M3句.1）（）

A.10分钟B.14分钟C.15分钟D.20分钟

12

----1----

7.已知正实数羽丫满足尤+2y=i,则x+i>+1的最小值为（）

'加2±立934

A.2B.2c.4D.15

1

8.已知实数。，8a+b=l,M=2"+2"，则M的整数部分是（）

A.1B.2c.3D.4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应位置.

9.若幕函数＞二丘"的定义域为R且为奇函数，则。可能的值为（）

2j_

A.3B.1C.2D.3

10.下列说法正确的是（）

A.函数y=2-i,是增函数，零点为（°，°）

B,已知实数则函数〃"）=“"+“一"的零点所在的区间是（一1'°）

C.函数y=2'-/的零点个数为3个

D.函数/（力=2、一1一。在（f』上存在零点，则正实数。的取值范围是（°』

这上也＜0（i

11.已知函数〃尤）对VxeR,都有/（Tr）=/（x+2）,且任取巧赴目-1,收），尤2-玉',

以下结论中正确的是（）

A./（0）＞/（-3）B.VXSR,/（X）＜/（-1）

C/（a2-«+l）^/（O）口.若/（⑹＜〃2）,贝IT＜m＜2

12.已知函数"x）=e'+x-2的零点为环函数g（x）=l1n+x-2的零点为以则下列选项中成立的是（）

A.a+b=2B.e"+lnZ?=2

C.与g（x）的图象关于y=x对称D.ab＜\

第n卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

x-3,x＞10

13.设函数*“,小+4））相1。，则〃8）=.

logj=y

14.已知2*=3,3,则x+2y的值为

15,若函数/a""*，'-十，则不等式/（2x+l）+〃x-2）＞0的解集为

_£

16.已知函数小）=如4'+1）+爪优€1＜）是偶函数，若函数〃尤）的图象与直线'一没有交点，求

a的取值范围

2

四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中，17题10分，18,19,20,21,22各12分.解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

17.已知y=是定义域为尺的奇函数，当xe[°，r）时，/W=X2-2%

（1）写出函数'=/（力的解析式；

⑵若方程恰3有个不同的解，求。的取值范围.

18.若〃H=炉-x+b,且/（logz。”仇log2〃a）=2（aul）.

⑴求’（log2”的最小值及对应的X的值；

（2）当X取何值时，，（1呜元）>"1）,且log2〃X）

19.已知定义在R上的偶函数/（尤）和奇函数8⑴满足/（x）+ga）=e",

⑴求人无）的最小值.

（2）若对任意的x«l，2],2/（x）-e“一〃栏0恒成立，则实数机的取值范围.

■、-2x+b

f（x）=———

20.已知函数29+”是定义域为R的奇函数.

（1）求。,°的值；

（2）若对任意的不等式/92-。+/（2,-力<0恒成立，求实数左的取值范围.

21,函数〃x）=log2（2*+l）

（1）求证：/（X）在尺上是增函数.

⑵若函数g（x）=l°gz（2'_D（x>°）是关于-的方程g（x）=、+八龙）在口，2]有解，求加的取值范围

/（%）=xlog2--------+2xlog。---+log,-——3>0

22.已知定义在R上的函数a~a+l-4矿恒成立，

⑴求。的取值范围

（2）判断关于x方程/（/（"））="在+8）上是否有实根？并证明你的结论.

3

1.D

【分析】对集合M，N化简，然后求出"uN即可.

【详解】因为bbl,解得"1,

因为父—2%-3<0,解得-1<X<3,

所以A/={x|e"T>1}={x|x>1}N={x|x?_2x_3<0}={x|_］<x<3}

所以MUN=（T，+C0）,

故选：D.

2.A

【解析】根据对数函数的性质可得°<坨2<1,贝1」3（吆2）<°,结合作差法可得答案.

【详解】因为°=lgl<lg2<lgl°=l

所以呢2）<。，

lg2-lg>/2=1lg2>0

lg2-（lg2）2=lg2（l-lg2）>0

所以四个数中最大的是怆2,

故选：A.

【点睛】本题主要考查对数函数的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题.

3.D

【解析】根据幕函数、对数函数的单调性判断三个数大小.

［详解］•/a=y=9%,力=2,=8^,9^>8^>8°=1/.a>b>\

c=log32<log33=\:.a>b>\>c

故选：D

【点睛】本题考查利用幕函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.

4.C

【分析】由函数的奇偶性可排除B；由“1），/（3）可排除选项A、D.

【详解】设4》，定义域为{划尤*0},4x，所以/（X）为奇函数，

e3

/（1）=-<1/（3）=—e>1

故排除选项B；又4,排除选项A；12,排除选项D.

故选：C

4

【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊

点的函数值入手，是一道容易题.

5.C

riogfl（o+6）=o

【分析】根据题意，结合反函数的性质，得出方程组U°ga（2+加=1,即可求解.

【详解】由题意，函数"x）=l°g〃（x+"的图象过点（°，°）,其反函数的图象过点（L2）,

Jloga（0+8）=。f/?=1fa=3

可得［bg°（2+»=l,即（2+6=4,解得%=1,则a+A=4.

故选C.

【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及反函数的应用，其中解答中熟记反函数的性质，列出方程

组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6.B

t

【分析】由仁°时，>=°2,代入y=0・05+4e小eR）求得x,再由"0.1求解.

【详解】解：由题意得：当，=°时，、=°2,

即0.05+4e°=0.2,解得2=0.15,

t

所以y=0.05+0.15e12

__t_

由题意得0.05+0.15e、V0.1,

--L1t,_

e12<±------------<—ln3

即-3,两边取对数得12,

所以后121n3al3.2,

所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟，

故选：B

7.C

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.

【详解】由题可得，％+2尸1,则a+i）+2（y+i）=4,

12

-1-------

所以x+1y+1

1-2(y+l)J(x+1)>1zl2(y+l)2U+1)9

4|_x+1y+14[Y九+iy+i4

2(y+l)_2(x+l)1

i-1x=y=—

当且仅当x+1>+l,即,3时,取得等号,

故选:C.

5

8.B

M=2"+2"=2"Ht=1a,y=t—veF2A/231

【分析】由。+6=i得至ij2。，令t,由对勾函数性质可知，，L7Q),所

以求得整数部分为2.

2

M=2"+2〃=2"+2〜=2a+一

【详解】2",

因为贝ijl<2"<2,

令'一2'"'+7在O'匈上单调递减，在("2)上单调递增

?+!>2^/.1=272

(当且仅当f=0时取等号)

当好1或仁2时，y=3所以”[2"3),所以整数部分为2,

故选：B.

9.BD

【分析】根据题意，结合累函数的性质依次分析选项中函数的定义域和奇偶性，即可得出结论.

【详解】根据事函数定义可知％=1,

_2

则丫=2="，易知其定义域为R,

对于A,若3

令〃x)="，则=而彳=G=〃x),则其为偶函数，不符合题意;

对于B,当。=1时，y=x、x,定义域为R,且为奇函数，符合题意；

对于c,当"5时，则y="=4,定义域为[°，+°°),不符合题意；

对于D,当。=3时，则定义域为R,且为奇函数，符合题意；

故选：BD

10.BCD

【分析】对于A,根据指数函数的性质及零点的定义即可判定；对于B,根据零点存在性定理判定即可;

对于C,利用函数图象即可判定；对于D,根据题意建立不等式组，解出即可.

【详解】根据指数函数的性质知，

y=2-l是R上的增函数，令y=2、-l=0,得x=°,则函数得零点为0,故A错误；

因为函数/(、卜优+“一人，

易得函数为R上的增函数，又/(-1)=>-1-然。,/(0)=1-叫。,

故函数“力=。》一6的零点所在的区间是(T，°),故B正确；

6

函数＞=2、的零点个数，为函数＞=2'与y=*的图象交点个数,

如图所示，

两个函数图象有三个交点，故函数＞=2'一尤2有三个零点，则C正确；

因为函数"在（-8』上存在零点，则有0＜2*="+a〈2,解得0＜a＜l,

故D正确，

故选：BCD.

11.AB

【分析】先根据题设条件得出函数的对称性和单调性，再利用这两个函数性质进行函数值比较以及解抽象

不等式.

【详解】根据题意,函数A*对v”R,都有/（T-x）=/（x+2）,

A、Xi，尤2w［—l,+oo）,/（—）/（占）＜0（元］.元,）

则函数八町的图象关于直线x=T对称，又任取马一%,

则在区间［一L2°）上为减函数，在（Y°，T］上为增函数.

对于A,"一3）=〃1）,则有〃。）＞〃1）=〃-3）,人正确；

对于B,在区间［T—）上为减函数，在（f，T］上为增函数，故在尸-1时取得最大值，

即对立€尺/（%）＜/（-1）,8正确；

（］丫33

对于C,“X）在区间［Tx°）上为减函数，又（2）44,

贝“（"一"+1）＜〃°）,©错误；

对于D,若〃"?）＜〃2）=/（T）,因函数的图象关于直线x=-1对称，且〃x）在-1］上为增函数,

［m＜-1{m＞—1

在区间［-LE）上为减函数，则有或1〃＞2,解得加＜T或m＞2,D错误.

故选：AB.

12.ABD

7

【分析】由函数y=e*与y=hu互为反函数，根据y=2-X与y=x垂直与反函数的性质结合对称性可得.

【详解】由，(x)=0,g(x)=°得e'2-x,lnx=2-x,

即可得e"=2-a,lnb=2-b,即有e"+lnb=4—(a+b),

〃0)=T,而(T°)不在8⑴的图象上，故A")的图象与且⑴的图象不关于对称.

因为函数＞=d与y=lnx互为反函数，关于y=x对称，

又因＞=2—》与、=*垂直，

在同一坐标系中分别作出函数＞=^,y='=2-x的图象，如图所示,

则A(a,e)地』必，

人＜([+〃)2]

由反函数性质知48关于(U)对称，则4+6=2,e"+ln6=2,。＜4-'

故选：ABD

13.7

【分析】根据分段函数求函数值的方法结合已知解析式计算得出答案.

卜-3,转10

F、半板、｝粕⑴-]/'(〃x+4)),x＜10

【详解】.函数I''〃，

.•./(8)=/(/(12))=/(12-3)=/(9)=/(/(13))=/(13-3)=/(10)=10-3=7；

故答案为：7.

14.3

【分析】根据指对运算化简*T°g23,再根据对数运算法则计算x+2y的值.

【详解】2=30.1加3,广1吗|='吗|「+211%3+噫|=*3司=1叫8=3.

故答案为：3

【点睛】本题考查指对数运算，重点考查计算能力，属于基础题型.

A、

(§，+8)

15.

8

【分析】根据题意，求得用勾＞°,得到函数/⑺为递增函数，再由x）=-〃X）,得到函数“X）为

奇函数，把不等式转化为〃2X+1）＞/（2-X）,得到2x+l＞2-x,即可求解.

【详解】由函数/（"）="+/-:可得/'（x）=l+e"+ef＞0,

所以函数/（"）为R上的单调递增函数，

又由〃f）=T+eT_e*=_（x+e「eT）=一〃x）,所以〃无）为奇函数，

则不等式“2X+1）+/（X-2）＞0,即为〃2X+1）＞-〃X-2）=〃2T）,

x＞-（-,+00）

可得2x+l＞2-x,解得3,所以不等式的解集为3.

（-»+00）

故答案为：3.

16.S，。］

【分析】由奇偶性求得参数%,问题转化为方程无实数解，再变形转化为新函数g（x）=l°g4（4*+l）-x的图

象与直线y=°无交点，从而只要求得函数g（x）的值域即可得.

【详解】〃f）=/（r）,即腕4（47+1）*=1呜（4，+1）+质对于任意xeR恒成立.

2丘=l°g4s+1)一=('+1)=1吗0...2kx=-

"k=~2,由题意知方程1吗（4叫一万"=万"+"即方程"T°g4（4工+1）T无解.

令g（x）=log4（4，+l）-x,则函数＞=g（x）的图象与直线y=a无交点.

g（x）=log,（4"+1）-X=log4=log4［1+

%1

0<4<4*2-^―>—^―8（再）-8（工2）=1陶>0

任取再、9£R,且玉<%,贝•4/4巧

1+*>1,，g(X)=log411+总>。

，g（x）在（—，+°°）上是单调减函数.

二。的取值范围是（―0'。］.故答案为：（―刀］.

x2-2x,x>0

〃x)=

—x2—2x,x<0⑵

17.(1)

9

【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设无则有T＞0,利用/（一无）可求得“幻，然后写出完整

的函数式；

（2）作出函数"力的图象，确定了a）的极值和单调性，由图象与直线y="有三个交点可得。的范围.

【详解】解：⑴当xe（F，。）时，

/（同是奇函数，二小）=一/（一同=_［（一疗_2（-川=*_2工

x2-2x,x>0

，/(尤)=<

-x2-2x,x<0

⑵当山0收）时，〃到=入2=（1）2-1,最小值为一i；

22

当xe（-oo,0）,/（X）=-%-2X=1-（X+1）；最大值为I

据此可作出函数的图象，如图所示，

根据图象得，若方程/（力="恰有3个不同的解，则。的取值范围是（T/）.

【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系.在求函数零点个数（或方程解的个数）时,

可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线,

由动直线的运动可得参数取值范围.

7

18.⑴当x=0时，最小值为了⑵。＜了＜1

【分析】（1）代入利用对数的运算性质即可得出进而利用二次函数与对数函数的单调性即可得出.

2

（log2x）-log2x+2＞2

（2）由题意知：bg?（尤Jx+2）＜2,利用一元二次不等式的解法、对数函数的单调性即可得出.

2

【详解］(1)f(x)=x-x+b,:.f(log2a)=(log2ay-log2a+b

由已知得°og2々J—l°g2^+b=b,.\log2a(log2a-1)=0.awl,log2a=l,.,.a=2

22

ylog2/(^)-2,/.f(a)-4./.a-a+b=4,.\b=4-a+a=2

10

2

x-17

/(log2尤)=(log2x)2-log2x+2=+—.

Q(x)=f—x+24

当“及"一万，即x=夜时，〃l°g2X)有最小值心

2

(log2x)-log2x+2>21冗>2或0<%<1

⑵由题意得ibgz'-》+2)<2l-1<x<2

所以0<x<l.

19.(1)1(2)»i^e-2.

【分析】(1)根据奇偶性，联立方程求出函数了(无)的解析式，即可判断最小值；

(2)恒成立问题，分离参数后构造新函数，求出新函数的最小值即可求得实数机的取值范围.

【详解】⑴函数满足〃x)+g(x)=e'①，所以〃-x)+g(-x)=eT,

由函数的奇偶性可得，“力―g(x)=e-'②，

由①+②得，22,

当且仅当e'=er,即x=0时等号成立，所以函数“尤)的最小值为1.

(2)因为对任意的"W1，2］,e*-机2°恒成立,

即对任意的xe1,4,姓2/(x)-e，=恒成立，

令'(x)=e,则函数M》)=e-'在［1,2］上为减函数，所以/x)1rfLM2)=｝，所以帆一.

,1

忆《-----

20.(1)。=2,b=l.(2)12.

【分析】(1)由奇函数的性质可得八°)=°、/(T)=-4x),代入即可得解；

f(无)=---1---------

(2)由22,+1可判断函数单调递减，结合奇函数的性质可得k<3产t恒成立，即可得解.

—2*+b—1+b—2X+1

f(x)=--：-----/(0)=--------=0/(x)=——：------

【详解】⑴因为函数为奇函数，故2+a,贝岫=1,所以2川+。

f(_尤)=-2-'+1=-1+2*=_f(x\2，-1

又T^+a~2+a.T~八丁一2㈤+.恒成立,所以a二2；

、-2X+111

f(x)——------------1--------

(2)因为2^+222,+1,函数单调递减，

11

又/(r一)+/(2厂/<0恒成立，所以/(厂一)<f(-2厂+。恒成立,

k<3r-t=3(t-^-1

所以产->-2产+左恒成立，即I6)12恒成立,

k<___

所以12.

【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求参数，考查了利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，属于中

档题.

,1,3

/悔］log*

21.(1)见解析；(2)

【分析】(1)根据函数单调性的定义即可证明函数f(X)在(-co,+oo)内单调递增；

(2)将方程g(x)=m+f(x)转化为m=g(x)-f(x),然后求出函数g(x)-f(x)的表达式，即可

求出m的取值范围.

F(%)-”%2)=(2*+1)-/%(2巧+1)=log2

【详解】1)(1)任设xl<x2,