2022-2023学年河北省邯郸市高一年级下册册5月月考数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年河北省邯郸市高一下册5月月考数学模拟试题

（含解析）

一、单选题

1.复数l-2i的虚部为（）

A.1B.-2iC.2iD.-2

【正确答案】D

【分析】依据复数虚部的定义即可求得复数l-2i的虚部

【详解】••♦。+历伍力€1＜）的虚部为6,，1一21的虚部为一2.

故选：D.

2.用斜二测法画边长是4的正方形直观图，则所得直观图的面积是（）

A.4√2B.8C.8√2D.16

【正确答案】A

【分析】根据斜二测画法的规则画出图形，

【详解】根据斜二测画法的规则可知道正方形直观图为平行四边形，

S=2S0∕u=2×∣×4×2×sin450=4√2.

故选：A.

3.下列结论中，正确的是（）

A.零向量只有大小，没有方向B.若刘〃函，^ABH~EF,则

CDHEF

C.对任一向量7,忖＞0总是成立的

【正确答案】D

【分析】对于A,根据零向量的定义可判断；对于B,根据向量平行的传递性可判断；对于

C,举反例W=0,即可判断；D,根据IN司=卜瓦彳即可判断.

【详解】对于A,零向量的方向是任意方向的，A错误；

对于B,当布=。时，而与旃可以不平行，B错误；

对于C,同=0,C错误；

对于D,I万I=卜而I=|而I,D正确.

故选：D

4.在平行四边形/8C。中，M是CO边上中点，则2彳而=（）

A.AC-2ABB.AC+2ABC.2AC-ABD.

2AC+AB

【正确答案】C

【分析】利用平面向量的线性运算进行求解.

——1—.

【详解】因为M是平行四边形NBCO的C。边上中点，所以CM=--AB,

2

所以丽=就+屈=就一，万，

2

所以2而=2%-万.

故选：C.

5.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）

A.k√2B.JLlC.2:1D.

Ir2√2

【正确答案】A

【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面

积公式求解.

【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，

设圆锥的底面圆半径为，•，高为,母线长为/.

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有2rcos45°=/,所以∕=J5r∙

Tir2Tlr2_1

该圆锥的底面积与侧面积比值为一r=

πrlπr∙y∣2rV∑

故选：A.

6.已知互不重合的直线m,n,互不重合的平面α,β,下列命题正确的是（）

A.若"Ua,m∕∕n,则m〃aB.若〃Ua,机L?,则La

C.若。〃3，m∕∕a,则加〃BD.若机J_p,m⊂a>则a_Lβ

【正确答案】D

【分析】可通过分别对线在面内和面外两种情况结合直线与平面平行以及垂直的性质分别进

行分析判断即可.

【详解】对于A选项，w⊂a,m∕∕n,则机〃a或Ua,故A错误；

对于B选项，nca,m∑n,则"?_La或加Ua或机〃a或加，a相交，故B错误；

对于C选项，a∕∕β,m∕∕a,则机〃。或wuβ,故C错误；

对于D选项，机J_p,m（∑a,则必有a_LB，故D正确，

故选：D.

7.在C中，a=χ,b=6,B=60°,若三角形有两解，则X的取值范围是（）

A.2<x<2Λ∕2B∙V∑<x<2

C.√3<X<2D.2<X<2>∕3

【正确答案】C

【分析】过C作COLZB于3,根据BC,CD,NC的长度大小关系判断三角形个数，即可

确定参数范围.

【详解】由题设，过。作于。，如下图示，

CT）=XSin60。<ʌ/jr.

则Vr-，可得百<X<2时，三角形有两解.

x>√3

当XSin60°>√J，即x>2时，三角形不存在；

当X=G或2时，△4BC分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；

当x<λΛ时，在射线8。方向上有一个A∕BC,而在射线08方向上不存在，故此时仅有

一个三角形：

8.已知直三棱柱/8C-4吕G存在内切球，若AB=3,BC=4,AB上BC,则该三棱柱外

接球的表面积为（）

A.26πB.27πC.28πD.29π

【正确答案】D

【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积.

【详解】因为=3,BC=4,/8LBC,故ZC=5,

故RtΔ^SC的内切圆的半径为"B+BC-"C=L

2

因为直三棱柱ZBC-44G存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.

而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1,

故直三棱柱的高为2.

将宜三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线,

故外接球的半径为）,22+3?+42=L晒,

22

故外接球的的表面积为29兀.

故选：D.

二、多选题

9.下列抽样方法是简单随机抽样的是（）

A.某工厂从老年、中年、青年职工中按2：5:3的比例选取职工代表

B.用抽签的方法产生随机数

C.福利用摇奖机摇奖

D.规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖

【正确答案】BC

【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.

【详解】对于A,此为分层抽样；对于B,此为随机数表法；对于C,此为简单随机抽样;

对于D,此为系统抽样.

故选：BC.

10.下列命题中正确的是（）

A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

B.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥

D.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥

【正确答案】BC

【分析】依据棱柱定义判断选项A、B；一个〃棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之

和60%<360°可以判断C正确；根据正棱锥定义即可判断D错误.

【详解】

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何

体是棱柱.

而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误；

由棱柱定义可知棱柱的面中，至少有两个面互相平行，故B正确；

一个〃棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和60°〃<360°，即〃<6,故C正确；

一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥,故

D错误.

故选：BC.

11.在复数范围内关于X的实系数一元二次方程/+川+2=0的两根为％,Z,其中

XI=I+i,贝!]()

A.P=2B.x2=l-iC.x1∙x2=-2iD.土=i

X2

【正确答案】BD

【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出巧判断B，再由韦达定理判断A,根

据复数的乘法及共辗复数判断C,再由复数除法判断D.

【详解】因为Xl=I+i且实系数一元二次方程f+pχ+2=0的两根为士,々，

22

所以％1%2=2,可得工2=--：―r=lT,故B正确；

x11+1

又%+%=l+i+l-i=2=-p,所以夕=-2,故A错误；

由兀=l+i,所以x∣∙jf2=(l+i)2=2i≠-2i,故C错误；

X1+i(l+i)22i.U&

—=-7=--------=一=1,故D正确.

x21-122

故选：BD

12.用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（）

A.锐角三角形B.直角梯形

C.正五边形D.六边形

【正确答案】BC

【分析】根据正方体的截面特点，对四个选项一一判断.

【详解】对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角

三角形.

如图所示的截面三角形Z6C.

222

,设DA=a,DB=b,DC=c,所以NC?=/+/,j4β~=a+b^>BC-b~+c-

2122

∕~nAB+AC-BC2an

所以由余弦定理得：CoSNc48=——=-r=^r==>Q,

2ABAC2√02+⅛2√a2+c2

所以/C/8为锐角.同理可求：/NC6为锐角，/CA4为锐角.所以为锐角三角形.

故A正确.

对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，

可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.

B选

对于C：当截面为五边形时，不可能出现正五边形.

对于D,当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形.

故选：BC.

三、填空题

13.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的

两倍，高二学生人数比高一学生人数多300,现在按一L的比例分配分层随机抽样的方法抽

100

取样本，则应抽取高一学生数为.

【正确答案】8

【分析】设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根

据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解得高一人数，用人数乘以抽取的比例，得

到结果.

【详解】若设高一学生人数为X,则高二学生人数为x+300,高三学生人数为2x,所以有X

+x+300+2x=3500,解得x=800.故高一学生人数为800,因此应抽取高一学生人数为

1

800×—=8.

100

故8

14.在三棱锥P—NBC中，PA=PB=CA=CB=T0,AB=PC=12.若三棱锥的四个

顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为.

【正确答案】172π

【分析】将三棱锥尸-/8C放入下图的长方体中，求出长方体的长、宽、高，可得

2R=yJa2+b2+c2＞代入即可求出球。的表面积.

【详解】将三棱锥尸-ZBC放入下图的长方体中，设长方体的长、宽、高分别为α,b,c,

a2+h2=IO2

所以+C?=122,

cΓ+c2=IO2

222222

三式相加可得：2(a+6+c)=344,即：a+b+c，

三棱锥尸-/8C的外接球即长方体的外接球，

所以2尺=，。2+万+°2,即以=∙+f+c-=手=43,

44

球。的表面积为S=4兀&=172兀.

故答案为.172π

15.已知向量£=(1,0),6=(√3,1),则B在Z方向上的投影向量坐标为

【正确答案】(、万,0)

【分析】根据投影向量公式可得.

【详解】因同=1,Z为单位向量，

/-7ei`b√3

c°s(叫∖=丽=3,

所以B在W方向上的投影向量为WCoSG=Ji(1,0)=(6,0),

故答案为.(√3,θ)

16.已知正方体/8CZ)-/'8'CZ)'的棱长为1,点尸在该正方体的表面H8'CZ)'上运动,

且P4=√5则点P的轨迹长度是.

π

【正确答案】一

2

【分析】根据圆的定义可知点P的轨迹是在面8CC%',CDDC'./'"CD'三个面内以

Tl

1为半径，圆心角为一的三段弧，即可由圆的周长公式求解.

2

【详解】当ZP=&时，如图，点尸的轨迹是在面BCC'B'-CDDC,A'B'C'D'三个面

TT

内以1为半径，圆心角为5的三段弧，所以此时点尸点尸在该正方体的表面4A上运

TT

动的轨迹的长度为一，

2

,,π

故_

2

四、解答题

17.已知m∣=4,∣B∣=5,分别求下列条件下M与5的数量积.

（1）a∕∕b-.

（2）alb：

（3）G与B的夹角为60°；

（4）G与B的夹角为150°.

【正确答案】（1）±20

（2）0

（3）10

（4）-10√3

【分析】根据题意，运用数量积的计算公式逐问求解即可.

【小问1详解】

当B时，伍B）=O或兀，则小B=同WCOSk,5）=±20；

【小问2详解】

当。」5时，a∙b=0i

【小问3详解】

a∙b=∣α∣∣6∣cos60°=4×5×-^-=10；

【小问4详解】

a∙b=∣5∣∣6∣cosl50°=4×5×---—卜一1。6

18.如图，在直角梯形ZBCZ）中，ABHCD,ABLBC,AB=2CD=2,/0=3,

以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.

（1）求该几何体的表面积；

（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A,求蚂蚁爬行

的最短距离.

【正确答案】（1）14π

⑵6√3

【分析】（1）旋转后所得几何体为圆台，由圆台表面积公式进行计算即可;

（2）将圆台侧面沿母线展开求解即可.

【小问1详解】

I

如图所示，满足题意的直角梯形Z6C。，以BC边所在的直线为轴，其余三边旋转一周,

形成一个上底面半径为八=CD=1,下底面半径々=48=2,母线长/=3的圆台，

其表面积为S=π(1+]+//+/")=兀(F+2)+Ix3+2x3)=14兀.

【小问2详解】

O

将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，

•.•圆台上下底面半径的关系为々=24，；.然=2瓦瓦，二。4=2。。1，

,

又∙.∙AsDl=3,..OAx=6,ODl=3,

Z—、2兀

设∕404=ɑ,则44的弧长∕=α∙O4=6a=πr2=4兀，.∙,α=7,

连接44,取线段44中点〃，连接。河，则。

Cf7ΓTl\

在Rt中，ΛAOM=—=—,AOAM=—,OM=—OA=3=

x23y621

蚂蚊从点A绕着圆台的侧面爬行一周回到点A的最短路径即为线段A1A2,

22

A1A2=2ΛlM=2X√6-3=6√3.

蚂蚁爬行的最短距离为6√3.

19.求解下列问题：

2

(1)在A48C中，若a=4,b=3,sin/=—,求角8.

3

(2)在AZ8C中，若/=105。，C=30°,/,=2√2-求边以

【正确答案】（1）8=30。

（2）c=2

【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案.

（2）利用正弦定理、三角形的内角和定理求得正确答案.

【小问1详解】

ab43.ɪ

由正弦定理得sin/Sin8'2sinB,2>

3

由于b<α,所以8为锐角，所以8=30°.

【小问2详解】

6=180。—/—C=45。，

,2y∣2_C

由正弦定理得--F=r，解得c=2.

sin5SinC——

22

20.如图，在直三棱柱/3C—C中，AC=4,BC=3,AB—5.

(1)求证：ACɪBCi；

（2）设4G与底面/8C所成角的大小为60°,求三棱锥C-Z8C∣的体积.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵8√3

【分析】（1）由=/台2证出∕ci8c,再由线面垂直的性质得出CGLZC,

然后根据线面垂直的判定定理即可得证；

（2）由NGZC为ZG与底面/8C所成角求出棱柱的高，再由等体积法求体积即可•

【小问1详解】

∖∙AC=4,BC=3,AB=5,

：.AC2+BC2=AB1.

.∙.AC1BC,

又直三棱柱ABC-AlBlCi中，CG_L平面ABC,

•.•/Cu平面Z6C,...CG■LZC，

又CClCBC=C,Ce],8Cu平面BCcl,

VBaU平面BCC1B1,：.AC1BC1.

【小问2详解】

∙.∙CC1_L平面Z8C,

.∙.ACλ在平面ABC上的射影为AC,即NGAC为AC1与底面ABC所成角,

o

.∙.ZCiAC=60,/.CC1=ACtan60°=4√3,

Vc.lic-Vc.lic——CC,∙Sλ,bc——CC,--AC-BC——×4-∖∣3×T4×3=86.

C-/IwCICJ-/1∕JC3IZΔ∕1θC3123,2

21.如图，在AZ8C中，内角4民C的对边分别为。，b,c,过点A作ZOINB,交线

段BC于点。，且ZO=OC=3,bsinC=αs∖nA-bsinB-csinC.

(1)求/3/C；

（2）求―8。的面积.

【正确答案】（1）ABAC=-Tt

3

⑵s~警

【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可求出结果;

π

(2)根据NZ)=Z)C,ADlAB,推出NZMC=NC=DB=—,再根据NZ)=Z)C=3,

6

求出6=，=36，再根据三角形面积公式可求出结果.

【小问1详解】

由6sinC=QSirL4-6si∏β—CSinC,

222222

根据正弦定理可得A=a-b-c^即b+c-a=-be，

旬.A叱丽田-r，且b2+c2-a2-be1

根据余弦定理可得cosNBAC=--------------=------=——，

2bc2bc2

因为N64C∈(0,兀)，所以/"C=］兀；

【小问2详解】

TlTl

因为/。工/8,且ZD=DC,所以NBZD=—，则NDZC=/C=—,

26

ππ

所以,所以/8=—.

36

所以48=ZC,