2023年安徽省合肥市包河区中考一模数学试卷（含答案与解析）

2023年安徽省合肥市包河区中考一模试卷

数学

注意事项：

1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。

3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。

4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个

选项，其中只有一个是符合题目要求的.

I.在一3,2,0,2这四个数中，比一2小的数是（）

A.-3B.--C.0D.2

2

2.新的课程标准规定，学生在初中阶段课外阅读总量不少于260万字，每年阅读两、三篇名著.数据260

万用科学记数法表示为（)

A.2.6×102B.2.6×IO5C.2.6×IO6D.0.26×IO7

3.下列计算正确是（)

22

A.2a÷a=2B.2a-2a=2a2C.3a—a=2D.(2a)=26z

4.如图，该几何体的俯视图是（）

Ar

5.已知I,ADBE,AB=BC,ZDAC=40°,NCBE=I5°,则NS4C=()

用

A65oB.60oC.45oD.55o

6.随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每片4元下降到每片b元,

已知第一次下降了10%,第二次下降了20%,则。与6满足的数量关系是()

A.8="(l-10%—20%)B.Z7=a(l-10%)(l-20%)

C,α=Nl+10%+20%)D,Λ=∕>(1+10%)(1+20%)

7.如图，在矩形ABCQ中，AB=10,BC=12,点E是Co中点，连接AE，作8尸_LAE于凡则

R7的长为()

8.如图，一个圆盘被平均分成A,B,C,。四个区域，向圆盘随机投掷飞镖，飞镖落在四个区域的机会均

等，飞镖落在圆盘外的不计，连续两次投掷，落在同一区域的概率是()

9.己知实数α,匕满足：aaab=c，ab+b2=c+5,则下列结论不正确的是()

A.2c+5≥0B./-z√为定值c.a≠±hD.->1

a

10.如图，已知线段AB=6，点P为线段AB上一动点，以PB为边作等边^PBC,以PC为直角边，ZCPE

为直角，在,PBC同侧构造PCE,点M为EC中点，连接A"，则AM的最小值为()

A/

A.1B.2√3C.3D.6

二、填空题(本大题共4小题)

11.化简痫的结果是.

12.如图，点4是双曲线y=?(x>0)上的动点，过点A作X轴的平行线交双曲线》=一于点8,作

XX

ACJ_%轴于点C,连接8C,若四边形。钻。为平行四边形，则攵的值是.

13.如图，点A,B,C是。。的上点，NAOB=108°,OA//BC,若。。的半径为5,则AC的长是

14.已知抛物线y=χ2-2CZX+α2+2α(α>0).

(1)若a=l,抛物线的顶点坐标为一；

(2)直线X=机与直线y=2x—2交于点P,与抛物线y=/—20x+α2+2α交于点Q.若当加<3时,

尸Q的长度随，"的增大而减小，则”的取值范围是—.

三、解答题(本大题共9小题)

/1

15.计算：卜3|+--√8×√2.

\2√

16.如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的ABC和过

点A的直线/.

(I)画出&A3C关于直线/对称的VADE,使点B与O,C与E为对称点.

(2)以。为旋转中心，将VAr)E顺时针旋转90。得到CGFD,使点E与F,A与G为对称点，画出

GFD，写出由CABC通过一种变换得到.GEe)的方法.

17.安徽省加快“县城通高速”步伐，实现了高速公路“县县通”，有力促进县域经济的发展.仅去年一

年就通过新建或扩建开通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的长度是扩建的2倍少45公里，求去

年新建和扩建高速公路各多少公里？

18.观察以下等式：

第1个等式：=1,

22

14+41

第2个等式：Ix-=

233

第3个等式：葭9+61,

-----------=1,

344

116+81,

第4个等式：一X

455

125+101,

第5个等式：一X

566

按照以上规律.解决下列问题：

(1)写出第6个等式：；

(2)写出你猜想的第〃个等式(用含"的式子表示)，并证明.

19.数学测绘社团欲测算平台。8上旗杆的拉绳AC的长.从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好

与斜坡CO的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角NACN=53°,已知斜坡CO的高

DN=4米，坡比为1:2.5(即ON:CN=1:2.5),DB=6米，求拉绳AC的长.(结果保留1位小数,

参考数据：sin53o≈0.80,cos53o≈0.60,tan53o≈1.33)

A

20.如图，AB是：O的直径，C。是（。的一条弦，43,8于点用，连接。。.

（1）若NO/）B=54。，求/BAC的度数；

（2）AC,08的延长线相交于点F，CE是0。的切线，交BF于点E,若CELDF,求证:

AC^CD.

21.某校为了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查

了部分学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表和条形统计图：

组别“劳动时间”〃分钟频数频率组内学生的平均“劳动时间”1分钟

Ar<6040.150

B60≤z<90ab75

04

C90<f<120c105

DZ≥12014d150

根据上述信息，解答下列问题:

（I）C=,d=,并补全条形统计图；

（2）被调查学生的“劳动时间”的中位数落在组，并求出这些学生的平均“劳动时间”；

（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数.

22.某快餐店给顾客提供A,8两种套餐.套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，

每天能卖70份.若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高1元，每天少卖出2

份.（注：两种套餐的成本不变）

（1）若每份套餐价格提高了X元，求销售套餐A，B每天的总利润必元，4元与X之间的函数关系式；

（2）物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐4提高多少元时，这两种套餐每天利润之

和最大？

23.如图1,AB^AC=2CD,DC//AB,将.ACD绕点。逆时针旋转得到△人?£,使点。落在

AC的点E处，AB与C尸相交于点。，AB与EE相交于点G,连接jβF∙

(2)求证：AC//FB-.

若点。，E，厂在同一条直线上，如图2,求理的值.（温馨提示：请用简洁的方式表示角）

(3)

BC

参考答案

一、选择题（本大题共10小题）

ɪ

1.在一3,2,0,2这四个数中，比一2小的数是（）

A.-3B.——C.0D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】先根据有理数的大小比较法则比较大小，再选出即可.

详解】解：-3<-2<-5<O<2，

.∙.比—2小的数是—3,

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力，注意：正数都大于0,负数都

小于0,正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小.

2.新的课程标准规定，学生在初中阶段课外阅读总量不少于260万字，每年阅读两、三篇名著.数据260

万用科学记数法表示为（）

A.2.6×102B.2.6×105C.2.6×IO6D.0.26×lO7

【答案】C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为αX10"的形式，其中1≤忖<10,n为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，〃是正

数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【详解】解：260万用科学记数法表示为2.6x106,

故选：C.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为αχ10〃的形式，其中

1≤忖<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.下列计算正确的是（）

A.1a÷a—2B.2a∙2a=2a2C.3a—a—2D.（20）'—2cΓ

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案.

【详解】A、24÷a=2,故此选项正确.

B、2α∙20=4/,故此选项错误.

C、3a-a=2a,故此选项错误.

D、（2α）2=4/,故此选项错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

4.如图，该几何体的俯视图是（）

ZE方优

A.

【答案】C

【解析】

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

【详解】解：观察图形可知，该几何体的俯视图是：

故选：C.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

5.已知，ADBE,AB=BC,ZDAC=40°,NCBE=I5°,则NBAC=()

A.65oB.60oC.45oD.55°

【答案】D

【解析】

【分析】过点C作CF〃AD,则A由平行线的性质可知，NZXC=NAb=40°,

NCBE=NBCF=I50,进而可得NAeB=55°,根据等边对等角可得NACB=NR4C=55°.

【详解】解：过点C作CF〃AD，则A户，

VADAC=AOo,/CBE=15°,AD//BE//CF,

：.ZDAC=NAcF=40。，NCBE=NBCF=15°,

则ZACB=ZACF+NBCF=55o，

又,：AB=BC,

.∙∙ZACB=ZBAC=55°,

故选：D.

【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，过点。作CF〃AD是解决问题的关键.

6.随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每片α元下降到每片6元，

已知第一次下降了10%,第二次下降了20%,则α与6满足的数量关系是()

A.8="(l-10%—20%)B.Zj=α(l-10%)(l-20%)

C.a=Z?(l+10%+20%)D,。=可1+10%)。+20%)

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意用含“的代数式表示出第一次降价后的价格和第二次降价后的价格，令第二次降价后的

价格为人，进而可得答案.

【详解】解：由题意知，第一次降价后的价格为α(l-10%),第二次降价后的价格为

α(l-10%)(l-20%),

.∙.b=α(l-10%)(l-20%),

故答案为：B.

【点睛】本题考查了列代数式.解题的关键在于表示降价后的价格.

7.如图，在矩形ABC。中，AB=10,BC=I2,点£是8中点，连接AE,作即J_AE于凡则

BF的长为()

D

【答案】D

【解析】

【详解】解：如图，连接BE∙

四边形ABC。是矩形，

ΛAB=CD=W,BC=AD=∖2,ID90?,

：点E是CO中点，

.∙.DE=-CD=5,

2

在RtAADE中，AE=∖∣AD2+DE2=√122+52=13>

*,^ΔABE2S矩形AECO2X1°X122A^iBF60,

.OΓ.120

13

故选：D.

【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常考题型.

8.如图，一个圆盘被平均分成A,B,C,。四个区域，向圆盘随机投掷飞镖，飞镖落在四个区域的机会均

等，飞镖落在圆盘外的不计，连续两次投掷，落在同一区域的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列表格，然后进行求解即可.

【详解】解：由题意列表格如下：

ABCD

A(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)

B(8,A)(8,B)(B,C)(8,D)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(£>,A)(D,B)(D,C)(D,D)

由表格可知，连续投掷两次共有16种等可能的结果，其中两次投掷，落在同一区域共有4种等可能的结

果，

41

两次投掷，落在同一区域的概率为

164

故选：C.

【点睛】本题考查了列表法求概率.解题的关键在于根据题意正确的列表格.

9.已知实数α,b满足：a1+ab-c‹ah+b2=c+5>则下列结论不正确的是()

A.2c+5>0B.Y-"为定值c.a≠±bD.->1

a

【答案】D

【解析】

22

【分析】由4+皿=c,肪+/=0+5,两式相加可得2c+5=(。+4≥0,两式相减可得a-b=-5^

由此变形判断即可.

【详解】解：∙.∙/°,ab+b1=c+5»

.*.c+c+5=c∕+ah+ah+b1=(α+h)",

即：2c+5=(α+力120,故A正确；

(/+ab)-(ah+人2)—c-(C+5)=-5,

22

BIJ：a-h=-5f故B正确；

贝∣j(α+O)(Q—。)二一5,

ʌa+b≠O,a-b≠O,

:,a≠-b,aλb,即：0≠±b,故C正确；

・・・。2一〃2二一5<0，

∙>∙a2<h2

当。=。时，bλ=5，

当“≠0时，1<耳，即：W>1,则2〉1或2<—1,故D不正确；

a∖a）aa

故选：D.

【点睛】本题考查完全完全平方公式和平方差公式，牢记完全完全平方公式和平方差公式是解决问题的关

键.还考查了不等式的基本性质.

10.如图，已知线段AB=6,点P为线段AB上一动点，以心为边作等边LPBC,以PC为直角边，乙CPE

为直角，在.PBC同侧构造RjPCE,点M为EC的中点，连接AΛ∕,则AM的最小值为（）

A.1B.2√3C.3D.6

【答案】C

【解析】

【分析】取CP中点N,连接MN,BN,由中位线和等边三角形的性质可知M,N,B在同一直线

上，过点A作AELBN,交于点尸，连接E例，由点与直线上所连线段，垂线段最短可求得AM的最

小值为3.

【详解】解：取CP中点N,连接的V,BN,

：点M为EC的中点，点N为CP的中点，

C.MN//EP,

•/NCPE=90。，

.∙.ZMNC=ZCPE=90°,

又YPBC为等边三角形，点N为CP的中点，

ZABC=60°,BNLCP,BN平分/ABC,

则ZMNC=ZBNC=90o,NPBN=-ZABC=30°,

2

∙,.M,N,B在同一直线上，

即：点M在直线BN,

过点A作AR_LRV,交于点/，连接RW，

贝IJAF=ΛB∙sinZABN=AB-sin300=3,

由点与直线上所连线段，垂线段最短可得：AM≥AF=3,

即：A/W的最小值为3；

故选：C.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，中位线的性质，解直角三角形，添加辅助线得到M,N,B在同

一直线上是解决问题的关键.

二、填空题(本大题共4小题)

11.化简痫的结果是.

【答案】4

【解析】

【分析】根据立方根的性质计算即可.

【详解】解：√64=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，O的立方根为0,熟记

立方根的性质是解题的关键.

6k

12.如图，点4是双曲线y=-(x>0)上的动点，过点A作X轴的平行线交双曲线y=一于点8,作

XX

4。_1》轴于点。，连接8C,若四边形Q45C为平行四边形，则k的值是.

【答案】12

【解析】

【分析】延长AB交y轴于点过B作BELX轴，结合反比例函数我的几何意义即可得到答案;

【详解】解：延长AB交y轴于点。，过B作BELLx轴，

点A是双曲线y=—(x>0),AclJ-X轴，

∙"∙Soac=5=3'S四边形0ZMC=6，

Y四边形Q48C为平行四边形，

∙,∙SACB=3，

VBE.LxBELLX轴，ABX轴，

∙'∙S四边形ACE8=2Sacb-6,

；点8在y=&上，

X

∙"∙S四边形ACEB=6=S四边形”!BE-S四边形ODAC=k-6,

解得：攵=12,

故答案12；

【点睛】本题考查反比函数%的几何意义，解题的关键是根据平行四边形对角线将四边形分成两个全等的

三角形得到面积.

13.如图，点A,B,C是©0的上点，NAQB=IO8°,OA//BC,若。。的半径为5,则AC的长是

【答案】2兀

【解析】

【分析】由题意可得NA=NO84=36°,由O4〃BC,可得NA=NABC=36°,ZAOC=NOCB,进

而可得NOBC=NOBA+NABC=72。，NoCB=NoBC=72°,NAoC=NoCB=72。，再结合弧长

公式即可求解.

【详解】解：：NAOB=108°,OA=OB,

1

ZA=ZOBA—×(180。-NAoB)=36。

2

,/OA//BC,

ΛZA=ZABC=36o,ZAOC=ZOCB

ZOBC=ZOBA+ZABC=72°,

∙.∙OC=OB,

：./OCB=/OBC=TT,

：.ZAoC=NoC3=72。，

72

；•AC1的长为：'一■乃x5=2万，

180

故答案为：2〃.

【点睛】本题考查求弧长，平行线的性质及利用等边对等角求角度，熟练掌握相关性质是解决问题的关

键.

14.已知抛物线y=X2-Zczx+/+2α(α>0).

(1)若a=l,抛物线的顶点坐标为一；

(2)直线x=m与直线y=2x—2交于点P,与抛物线y=V—2仪+〃+2〃交于点。.若当机<3时，

PQ的长度随m的增大而减小，则a的取值范围是—.

【答案】①.(1,2)(2).a≥2

【解析】

【分析】(1)将解析式转化成顶点式即可求解；

(2)将x=，"代入解析式，求得点P,点。的坐标，求得y.=(α-加+1『+1>0,可知点Q恒在点

P上方，可得PQ=为—％=[，/—(〃+1甘+1,由当加<3时，尸。的长度随m的增大而减小，可知α+l≥3,

即可求得”的取值范围.

【详解】解：(1)y-X2-2ax+a^+2a-^x-ay+2a,

当α=l时，y=(%-l)2+2,

.∙.顶点坐标为：(1,2)；

(2)当X=，”时，yp=2m-2,则点尸的坐标为(加,2加一2),

22

yQ=m-2am+CT+Ia,则点Q的坐标为(利,加？-2am+a+2。),

22

yQ—yP-m-2am+a+20-(2m—2)=(α-m)^+2(α-机)+2=(〃-m+∖y÷1>0,

・・・点。恒在点尸上方，

,

∙∙PQ=yQ-yP=[w-(α+ι)]^+1

可得：当m<α+l时，PQ长度的随着加增大而减小，

•；当相<3时，PQ的长度随机的增大而减小，

a+l≥3,

解得:Q≥2;

故答案为：（1,2）；a≥2.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，求出点P,点。的坐标，表示出PQ长度将其转化为顶点式是解决

问题的关键.

三、解答题（本大题共9小题）

15.计算：|-3|+0-√8×λ^.

【答案】O

【解析】

【分析】根据绝对值的意义、零指数幕、根式的化简直接运算即可得到答案

【详解】卜3|+!-√8×√2

=3+l-√Iβ

=4-4

=O

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

16.如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的.ABC和过

（1）画出“LBC关于直线/对称的VAr>E,使点B与。，C与E为对称点.

（2）以。为旋转中心，将VAZ）E顺时针旋转90。得到UGFD,使点E与F,A与G为对称点，画出

_GFD,写出由CABC通过一种变换得到LGFD的方法.

【答案】（1）作图见解析

（2）作图见解析，将ABC向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，即可得到-GFD

【解析】

【分析】（1）利用网格特点，分别作出点5、C关于直线/对称点再连接即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、E的对应点G、F再连接即可，通过观察点的位置变化，结合

平移变换的规律即可确定变换方法∙

【小问1详解】

解：如图所示，VAZ)E即为所求；

如图所示，GFD即为所求，

将，ABC向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，即可得到LGH>.

【点睛】本题考查了基本作图：轴对称，旋转以及平移变换.熟练掌握轴对称、旋转和平移的性质是解题

的关键.

17.安徽省加快“县城通高速”步伐，实现了高速公路“县县通”，有力促进县域经济的发展.仅去年一

年就通过新建或扩建开通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的长度是扩建的2倍少45公里，求去

年新建和扩建高速公路各多少公里？

【答案】去年新建高速公路331公里，扩建高速公路188公里

【解析】

【分析】设扩建高速公路为X公里，则新建的高速公路为(2x-45)公里，由题意得，

x+(2x-45)=519,求解X的值，进而可得结果.

【详解】解：设扩建高速公路为X公里，则新建的高速公路为(2x-45)公里，

由题意得，x+(2x-45)=519,

解得X=I88,

V519-188=331,

二去年新建高速公路331公里，扩建高速公路188公里.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用.解题的关键在于根据题意正确的列方程.

18.观察以下等式：

第1个等式：lχt2-'=l,

22

14+41

第2个等式：上XHr—上=1,

233

19+6

第3个等式:—X----------

344

第4个等式:

5

第5个等式:

566

按照以上规律.解决下列问题:

(1)写出第6个等式:

(2)写出你猜想的第〃个等式(用含“的式子表示)，并证明.

1

答z

(-×36+1211

⅛]∖6-------------=1

77

In2+2〃1

(2)第〃个等式："十"———=1；证明见解析

nπ+ln+1

【解析】

【分析】(1)根据题意推导即可；

(2)根据题意推导出一般性规律即可.

小问1详解】

解：由题意知，第6个等式：∙LχH12-∙L=ι,

677

4√r依田ʌuɪ36+121

故答案为：-×----------=11；

677

【小问2详解】

解・第〃个等式・+2”ɪ—1.χiPH∣li∏T∙

nZi+1H+1

2

第1个等式：lχt2-'=l,RΠ,1+1X21,

R∏1ʌV-_---_---_----_---_---_----_---_---_----_---_------一J,

221+11+1

14+41Hl22+2X21,

第2个等式：一X----------=1,即rl一X--------------------=1,

23322+12+1

ʌ∣,19÷61132+3×21

第λλ3个等zw式vi：一X----------=1,aπ1

34433+13+1

116+81142+4×21,

忠笛4Δ小I寺笺队忧：.—^V_______—1,即ππ一X-------------------=1

45544+14÷1

"U人占一125÷101.152+5×21,

第5个等式：一X—：-----=1,即hπ一X-------------------=1

56655+15+1

1n2+2/7I

.∙.可推导一般性规律为：第〃个等式：±2—_i-ɪi,

nn+∖〃+1

..11+2〃11n(n+2]1n+21n+1

・——X....................................———X-----------------------------zz---------------------=---------=ɪ,

n〃+1〃+1nn+∖〃+1n+∖n+∖n+∖

∖n2+2n1

.∙.第〃个等式：乙！十竺一_L=].

nn+∖〃+1

【点睛】本题考查了规律探究.解题的关键在于根据题意推导出一般性规律.

19.数学测绘社团欲测算平台。B上旗杆的拉绳AC的长.从旗杆AB的顶端A拉直绳子，绳子末端正好

与斜坡CO的底部C重合，此时拉绳AC与水平线CN所成的夹角NACN=53°,已知斜坡C。的高

Z)N=4米，坡比为1:2.5(即DN:CN=1:2.5),08=6米，求拉绳AC的长.(结果保留1位小数,

参考数据：sin53o≈0.80,cos53o≈0.60,tan53o≈1.33)

【答案】千米

3

【解析】

【分析】延长A3交CN于点F,根据ON=4,坡比为1:2.5求出CN,结合NACN余玄直接求解即可

得到答案；

【详解】解：延长AB交CN于点凡如图所示，

YDN=4,坡比为1:2.5,

.,.OV=4x2.5=10,

,."DB=6，

.∙.CF=CN+NF=CN+BD=2+6=16,

•：ZAC7V=53°,

CF_16_80

•∙AC———,

COS53°0.603

答：拉绳的长度为：丝米；

3

【点睛】本题考查解直角三角形应用及坡比问题，解题的关键是根据坡比求出CN.

20.如图，AB是<，。的直径，CD是O。的一条弦，46,CD于点M,连接。Q.

(1)若NODB=54。,求/54C的度数；

(2)AC,DB的延长线相交于点凡CE是O的切线，交BF于点E,若CE上DF,求证：

AC=CD.

【答案】(1)ZfiAC=36°

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)连接。C,由题意可得NoDB=NO8。=54。，则ZBOD=72°,由垂径定理可知BC=80，

可得NBoC=ZBOD=72°,再由圆周角定理可得ABAC=-NBOC=36°；

2

(2)由的切线性质可知，OCJ_CE,可得OC〃。尸，可知NOCr>=NS5,由题意可得

N08=N0r)C,ZOAC=ZOCA,根据圆周角定理可得NC43=NCD3,证得

ZOCD=ZODC=ZOAC=ZOCA,即可证得AAOC会AOOC(AAS),可得AC=CO.

【小问1详解】

解：连接0C，

户

C

VZODB=54o,OB=OD,

：.NODB=ZOBD=54°,则ZBOD=72°,

,.∙ABlCD,

∙^∙BC=BD，

：.ΛBOC=ABOD=IT,

由圆周角定理可得：ZBAC=-ZBOC=36°；

2

【小问2详解】

证明：YCE是（O的切线，

.∙.OCLCE,

又YCEYDF,

.∙.OC//DF,

/.ZOCD=ZCDB,

'."OC=OD-OA,

：.NOCD=NODC,ZOAC=ZOCA,

由圆周角定理可得：ZCAB=ZCDB,

∙∙./LOCD=ZODC=ZOAC=ZOCA,

VOAC=ZODC

在^AOC与/∖D0C中，,ZOCA=ZOCD,

OA=OD

：.AAOCdDOC（AAS）,

∙,∙AC=CD.

【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定

理是解决问题的关键.

21.某校为了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查

了部分学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表和条形统计图：

组别“劳动时间”〃分钟频数频率组内学生的平均“劳动时间”1分钟

Ar<6040.150

B60≤∕<90ab75

C90≤z<120c0.4105

DZ>12014d150

M*

«-

根据上述信息，解答下列问题：

(1)C=,d=,并补全条形统计图；

(2)被调查学生的“劳动时间”的中位数落在_____组，并求出这些学生的平均“劳动时间”；

(3)若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数.

【答案】(1)16,0.35；补图见解析

(2)中位数落在C组，学生的平均“劳动时间”为110.75分钟

(3)900人

【解析】

【分析】(I)根据样本容量=普及其变形，求解样本容量、频率d、频数C,作差求α,然后补全条形

频率

统计图即可;

(2)根据中位数的定义判断可得中位数的位置，然后计算平均数即可；

(3)根据总人数乘以“劳动时间”不少于90分钟的人数的频率求解即可.

【小问1详解】

4

解：由统计表和条形统计图可得：样本容量=—=40,

0.1

,14

c=40×0.4=16»d=—=0.35,

40

.,.4/=40—4—16—14=6,

故答案为：16,0.35；

补全条形统计图如下：

【小问2详解】

解：由题意知，中位数为第20和第21位数的平均值,

∙.∙4+6=10<20<4+6+16=26,

中位数落在C组，

4×50+6×75+16×105+14×1504430

.∙.学生的平均“劳动时间”为:=三Y=IlO.75分钟,

4040

中位数落在C组，学生的平均“劳动时间”为110.75分钟；

【小问3详解】

解：估算“劳动时间”不少于90分钟的人数为1200X巫巴=900人，

40

估算“劳动时间”不少于90分钟的人数为900人.

【点睛】本题考查了样本容量，条形统计图，中位数，平均数，用样本估计总体等知识.解题的关键在于

从图表中获取正确的信息.

22.某快餐店给顾客提供A,B两种套餐.套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，

每天能卖70份.若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高1元，每天少卖出2

份.(注：两种套餐的成本不变)

(1)若每份套餐价格提高了X元，求销售套餐A，8每天的总利润明元，/元与X之间的函数关系式；

(2)物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之

和最大？

【答案】(1)WA=~4χ2+58x+720,WB=-2x2+5()X+700

(2)套餐A提高4元时，这两种套餐每天利润之和最大

【解析】

【分析】(1)由题意可知，每份套餐价格提高了X元，套餐A每天卖出(90—4x)份，套餐B每天卖出

(70-2x)份，根据利润=每份利润X份数即可求得函数关系式；

(2)设套餐A每份提高了。元，则套餐B每份提高了(10-α),结合两个函数关系可得两种套餐每天利润

之和W-WA+WK=-6(α-4)一+1816(0≤Λ≤10),即可求得结果.

【小问1详解】

解：由题意可得：套餐A每份提高了X元，则每天卖出(90—4x)份，

套餐B每份提高了X元，则每天卖出(70-2x)份，

则：套餐A每天的总利润吗=(8+x)(90-4x)=TX2+58χ+72(),

套餐B每天的总利润WB=(10+X)(70-2X)=-2Λ2+50Λ+700；

【小问2详解】

设套餐A每份提高了。元，则套餐B每份提高了(10-。)，

2

.∙.W=-4/+58。+72(),wβ=-2(10-tz)+50(10-α)+7∞

则两种套餐每天利润之和为：