2023-2024学年河南省濮阳市濮阳高一年级下册册期中数学模拟试题

2023-2024学年河南省濮阳市濮阳高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.设(a—i)i=Z>+2i(4/eR),贝Ij()

A.a=2,b=lB.a=2,b--1

C.a=-2,b=-lD.。=-2,b=∖

【正确答案】A

【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.

【详解】由(α-i)i=力+2i(4,h∈R)得：l+αi=8+2i,.∙.α=2,b=∖.

故选：A.

2.已知ABC中，内角A8,C所对的边分别”,"c,若α=1,b=2,SinA=则sin8=()

O

A.42B.-15C.-D.ɪ1

3362

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理可直接求得结果.

【详解】在_ABC中，由正弦定理三=二得..丁RAsinA2×6ɪ

sɪnAsinBsin“=---------=---=-

a13

故选：B.

3.工人师傅在检测椅子的四个“脚''是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是

否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是()

A.两条相交直线确定一个平面

B.两条平行直线确定一个平面

C.四点确定一个平面

D.直线及直线外一点确定一个平面

【正确答案】A

【分析】利用平面的基本性质求解.

【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，

所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.

故选：A

4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是()

C.4+8√2D.4+4√2

【正确答案】A

【分析】根据斜二测画法分析运算.

【详解】在直观图中，＜7A=2,OB=JFS=20，

可得原图形是平行四边形，其底边长2,高为2x2夜=4五，

则另一边长为J22+(4√Σ)2=6,所以原图形的周长为2X(2+6)=16.

故选：A.

5.在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别为b,c,若SinA:sinB:SinC=5:7:9,贝IJCoSC=()

ʌ--⅛BTc∙4d∙-⅛

【正确答案】D

【分析】根据条件SinA:sin8:SinC=5:7:9,由正弦定理得。:。:。二5:7:9,可令

a=5t,h=7t9c=9(>0),再利用余弦定理求解.

ah

【详解】由正弦定理:J=2R

sinAsinBsinC

得α=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC

又因为SinA:sin5:SinC=5:7:9,所以α:":c=5:7:9

令a=5"b=1t,c=9t(t>0)

/+/d_25r+49/-81产__j

所以COSC=

2ab2×5r×7r10

故选：D.

6.已知平面α∕/,且。uα,bu0,则直线m8的关系为()

A.一定平行B.一定异面

C.不可能相交D.相交、平行或异面都有可能

【正确答案】C

【分析】根据空间线面间的位置关系判断.

【详解】由平面C〃/?,且αuα,匕U尸可知直线“，b没有公共点，故它们一定不相交，即可能是

平行或异面.

故选：C.

7.已知P是ABC所在平面内一点，^CB+λPB=λPA+CP^其中4∈R,则点P一定在()

A.AC边所在直线上B.AB边所在直线上

C.BC边所在直线上D./U5C的内部

【正确答案】B

【分析】根据CB+∕IP8=2PA+CP,利用平面向量的线性运算转化为PB=∕IBA,再利用平面向量共

线定理求解.

【详解】因为CB+∕IPB=;IPA+CP，

所以CB-CP=；I(PA-PB),

所以PB=/184，

所以点P在AB边所在直线上.

故选：B

本题主要考查平面向量共线定理，属于基础题.

8.有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6.若该石料最多可打磨成四个半径为g的石

球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为()

A.216-4√3πB.216-16√^π

C.270-16√3πD.270-4石π

【正确答案】B

【分析】求出柱形石料的高，利用柱体体积减去四个球体体积可得结果.

【详解】设底面是边长为6的等边三角形的内切圆的半径为"，

由等面积法可得1χ3x6r=且χ6?,解得r=6,

24

若可以将该石料打磨成四个半径为g的石球，则该柱形石料的高至少为8√L

因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为3χ6^χ86-4x9兀X(G)'=216-166兀.

故选：B.

二、多选题

9.下列命题错误的是（）

A.∣2-i∣=√5B.i202>=i

C.若a>b,则α+i>6+iD.若ZeC,则z?3O

【正确答案】CD

【分析】根据复数的运算，逐一分析即可.

【详解】解：∣2-i∣=722+（-l）2=√5,故A对，因为广=1,故i?⑶=i,故B对，

虚数不能比较大小，故C错，设2=2-1,22=（2-1）2=3-41仍为虚数，不能与O比较大小，故D错.

故选：CD.

10.下列说法不正确的是（）

A.若直线α,6不共面，则”,人为异面直线

B.若直线“〃平面α,则。与α内任何直线都平行

C.若直线H/平面α,平面ɑ//平面£,则

D.如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等

【正确答案】BCD

【分析】由空间中线线，线面，面面间的位置关系对各选项进行判断即可.

【详解】A.直线4,6不共面，即不平行，不相交，则”，人为异面直线，故正确；

B.直线。〃平面α,则α与。内的直线平行或异面，故错误；

C.直线α〃平面α,平面。〃平面夕，则ɑ//α或αu分，故错误；

D.空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误；

故选：BCD

11.在，ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,有如下判断，其中正确的判断是（）

A.若A>B,则SinA>sin8

B.若"cosA=6cos3,则一.ABC是等腰三角形

C.若为锐角三角形，则SinA>cosB

D.若CoS,A+cos?8-CoS°C>1,则_ASC是钝角三角形

【正确答案】ACD

【分析】A：由大角对大边，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判断B；根据正弦函数的

性质及诱导公式判断C；根据余弦定理判断D；

【详解】解：对于A：在..ABC中，若A>B,则”>〃，

则2RsinA>2Rsin8,则SinA>sin8,故正确;

对于B：JaCOSA=bcos8,.∙.sinΛcosA=sinBcosB,

.∙.sin2A=sin28,.∙.A=B,或24+25=180。即A+B=90°,

:45C为等腰或直角三角形，故不正确.

对于C：当ABC为锐角三角形时，Λ+B>p∣>A>y-B>O,

兀

.*.sinA>sin(B)=cosB,可得SinA>cos3成立，故C正确.

2

对于D：若cos?A+cos2B-cos2C>l,则I-Sin?A+l—sin2β-l+sin2C>l,

即sin?C>sin?8+sir?A,即c?〉。?+”？，即/+/)>。所以COSC<0,

即C为钝角，故MC是钝角三角形,故D正确;

故选：ACD.

12.如图所示，在正方体ABCD-A河CA中，点E、尸、例、N分别为所在棱上的中点，下列判断

A.直线AD〃平面MNEB.直线FG〃平面MNE

C.平面ABe〃平面MNED.平面ABR//平面MNE

【正确答案】ABC

【分析】作出过点M、N、E的截面,由FG、AB、AD与截交可判断ABe选项，利用面面平行

的判定定理可判断D选项.

【详解】过点〃、N、E的截面如图所示（H、/、■/均为中点）,

所以直线An与截面MNE交于点H点，故A项错误;

直线FG与直线IJ在平面BCCg必定相交，故B项错误;

直线AB与直线E/相交，故平面ABC与平面MNE不平行，C项错误;

因为E、/分别为A8、8B∣的中点，则AB"E∕,

因为ABla平面MNE,£7U平面MNE则ABl〃平面MNE,

同理可证4。"平面MNE,

因为ABlBQt=BI,ABlyBQU平面ABa,故平面反冷〃平面MNE,D对.

故选：ABC.

三、填空题

13.在一ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,3,c.若A=&,8=],α=20,则。=__________

43

【正确答案】2后

【分析】根据正弦定理即可求解.

,.„2√2×-

【详解】因为号=」；；，所以人=*-=—∕=^-=2√3.

SinAsmBSinA√2

~τ

故答案为.2月

14.已知平面向量4,6满足"=2,W=G,且(a+b)_L6,则向量〃与加的夹角为.

【正确答案】150°

【分析】根据向量垂直数量积等于0,结合已知条件求出“/的值，利用向量夹角公式即可求解.

【详解】由(2+?_1爪得(G+B”=0,即。%+广=0,

因为W=2，W=K,所以α∕=-3,

所以c°=i¾=Ξ⅛=与又o∙≤α㈤≤180∙,

所以向量α与加的夹角为150°.

故150°

15.一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其

尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要__________立方米混凝土（钢筋体积略去不

计）.

【正确答案】324

【分析】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，可求得截面

的面积，由柱体的体积公式即可求得预制件的体积.

【详解】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.

所以S底面=6xll-gx（5+3）χ3=54（平方米），

设该预制件的高为儿则该预制件的体积V=S）Oj»=54x6=324（立方米）.

故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土.

故324.

16.已知正方体ABCO-A耳GR的棱长为6,E、尸分别是A9、AA的中点，则平面CEF截正方体

所得的截面的周长为

【正确答案】6√13+3√2

【分析】延长EF交D4的延长线于N,连接CN交AB于点G,连接FG；延长FE交。口的延长线于

点M,连接CM交GR点H,连接E”；则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG则EF+FG+GC

+CH+"E为平面CEF截正方体所得的截面的周长，根据几何关系即可求解.

【详解】延长EF交D4的延长线于M连接CN交AB于点G,连接FG；延长在交。R的延长线于

点M,连接CM交Ca点连接E”；

则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG.

F分别是AQ、AA的中点，则易知AN=AE=；A。，

.'.AN=-ND,ΛAG=-CD=2,

33

∙^∙EF=3√2>FG=岳,CG=2√13；

同理，DiH=^CD=2,£/7=713,CH=2√13；

.∙.平面CE/截正方体所得截面的周长为：

EF+FG+GC+CH+HE=3√2+√13+2√13+2√B+√13=6√13+3√2.

故答案为.6g+3√Σ

四、解答题

17.已知i是虚数单位，复数z=（病-5根+6）+（疗一2崂,m∈R.

(1)当复数Z为实数时，求加的值；

(2)当复数Z为纯虚数时，求加的值；

【正确答案】(1)加=0或，〃=2

(2)m=3

【分析】根据实数和纯虚数定义可直接构造方程求得结果.

【详解】(I)Z为实数，.∙.AM2-2Zn=0,解得：6=0或%=2.

**2-

/??"—5777+6=0

(2)Z为纯虚数，.••2C八，解得∙"=3

m^-2m≠0

18.已知α=(-l,3),⅛=(2,-4),m=a-kb,n={k-i)a-2b.当/为何值时:

(1)w∕∕n

(2)mLn

【正确答案】(I)A=T或2

【分析】(1)根据根〃〃，利用共线向量定理求解；

(2)根据机_L〃，利用数量积运算求解.

【详解】(1)解：因为“=(—1,3),6=(2,—4),In=a—kb，〃=(k-l)a-2b,

所以加=(-1,3)-4(2,-4)=(-2无一1,4后+3),

n~(Jc-∖)(—1,3)—2(2,—4)=(—k—3,3k+5)∙

因为m//〃，所以(一2&-1)(3&+5)=Jk-3)(4氏+3),

整理为公乂-2=0,

解得左=T或2；

(2)因为机_L〃，

所以(-2Λ-l)(-⅛-3)+(4k+3)(32+5)=0,

整理为7公+1弘+9=0,

解得.％=-9±30

7

19.已知..45C的内角A,B,C的对边分别是。，b,c,ABC的面积为S,且满足

4S+⅛c∙tan(B+C)=O.

(1)求角A的大小；

(2)若a=4,求.ABC周长的最大值.

【正确答案】⑴A=

⑵12

【分析】(1)由4S+bc∙tan(B+C)=0结合三角形面积公式可化简得到CoSA=；,即可求得答案；

(2)利用余弦定理得到〃2+c2-[6=bc,进而化为(8+C)2=16+3A,结合基本不等式求得b+c≤8,

即可得一43C周长的最大值.

【详解】(1)A+B+C=π,

.,.45=-Z7ctan(B+C)=-⅛ctan(π-A)=⅛tanA,

,ʌ,..sinA

则rιl2∕?CSlnA4=be------,

cosA

A∈(O,π),.,.sinΛ≠O,.,.cosA=ɪ,

2

又Ae(O,π),.1A=/；

7Γ

(2)a=4,A=-,

二•由余弦定理得COSA="一"=1，

Ibc2

BP⅛2+c2-16=⅛c,(⅛+c)2=16+3>c,

所以(6+C)2-16=3Z>C≤3X^^-

(当且仅当6=c=4时取“=”),

故;S+c『W16,6+c≤8,

.∙.h+c∙的最大值为8,α+/?+C•的最大值为12,

.∙.ASC周长的最大值为12.

20.在正方体ABCO-AMGA中，S是42的中点，E,F,G分别是BC,DC,SC的中点，求证:

(I)EG//平面RAC；

(2)平面EGC//平面ARF

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)连AC,2。交于点。，连SB,D1O,证明GE〃R。，利用线面平行的判定定理证明即

可；

(2)证明EG,EC都平行于平面ARF,然后利用面面平行的判定定理证明即可.

【详解】(1)证明：连AC,BO交于点0,连SB,D1O,

G,E分别是SC,Be的中点，.∙.GE"S8,

又D∖SUBO,D1S=BO,则四边形RSBO为平行四边形，

SB//Di0,:.GE//DtO,

GEa平面AAC,AoU平面。IAC,

.∙.EG//平面D1AC-

(2)由题连接OF,AiF,

OF是4E>3C的中位线，∙∙∙0尸〃8C〃AA〃A。，

;。BA，A四点共面,

由(1)可知，EG//DiO,OoU平面AR尸，EG(Z平面AR尸，

则EG〃平面A。F

又EC〃AA,AAu平面AAF,ECa平面A。/，

则召C//平面AQ/,又EGCEC=E,

EGU平面EGC,ECu平面EGC,

平面EGe〃平面AAF.

21.在①CCOSA=GlSinC;②(。一力(SinA+sinB)=(c-√3⅛)sinC；(3)3⅛cosA+acosB=∖βb+c送

三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

问题：在一ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

(1)求角A的大小；

(2)若。为线段CB延长线上的一点，KCB=2BD,Ai>=√3MC=2√3,求一A3C的面积.

【正确答案】(1)条件选择见解析，A=BTT

O

Q)上

【分析】(1)选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.

选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.

选择③：由正弦定理边化角，再由SinC=Sin(8+C)=sin8cosC+sinCcos8展开计算可得结果.

(2)设比>=x,AB=y,ZABD=B,在AABC中，由CoSNABC、CoSe4B列等式①②，在AABQ

中，由COSNAB。列等式③，由①②③解方程可得X,y∙代入三角形面积公式可得结果.

【详解】(1)若选择①，：CeosA=GasinCsinCcosA=Λ∕5sinAsinC,

'."sinC≠0,.∙.cosA=GSinA,

即tanA=—,

3

TT

'.,A∈(O,π).∖A=—；

6

若选择②，V(a-⅛)(sinA+sinB)=(c-ʌ/ɜ/?)sinC,

ʌ(a-b)(a∙vb)=C(C-8b),

8-b~—c2-Λ∕3⅛C

a2=h2+c2->∕3hc，

.2o，

b-÷c--α^√3⅛c√3

cosAx=---------------

2bc2⅛c^^2-

Tt

∙.∙A∈(O,π).∖A=—

6

若选择③，:3⅛cosA+acosB=ʌ/ɜ/?+c,

∙*∙3sinBcosA÷sinAcosB=6sin5+sinC，

.*.3sinBcosA+sinAcosB=ʌ/ɜsinθ+sin(A+B),

∙*∙3sinBCOSA÷sinAcosB=y∕3sinB+sinAcosB+cosAsinB，

∙,∙2sinBcosA=ʌ/ɜsinB,又：BG((),π)./.sinB≠O,

∙*∙cosA=,;A∈(O,π),/.A=y∙

26

(2)设瓦>=x,AB=y9ZABD=6,

在.ABC中，用余弦定理可得AC?=BC2+BA2-2BC∙BA-cosZABC,

即12=4X2÷y2-2×2x)^cos(π-θ)①，

又Y在.ABC中，BC2=AC2+AB2-2AC-AB∙cosZCAB，

BP4x2=12+y2-2×2y∣3ycosZCAB.EP4x2=y2-6y÷12,BPχ2=ʃ~6>?+12②,

在/XABD中，用余弦定理可得AD?=BO?+创2一23。&∙cos/ABD,

EP3=x2+y2-2孙CoSθ③，③x2+①可得6x2+3y2=18,

将②式代入上式可得y=2,X=I,S4βc≈∣ΛB∙AC∙sinA=√3