八年级上册《平方差公式》课件与练习

第十四章

整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.1平方差公式1.经历探索平方差公式的过程．进一步发展学生的符号感和推理能力.2.能运用公式进行简单的运算，进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识，感悟整体思想.3.通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.学习重点：平方差公式得运算法则.学习难点：平方差公式得运算的灵活应用.丽丽同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，丽丽就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”丽丽同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道丽丽同学用的是一个什么样的公式吗？多项式与多项式是如何相乘的？知识点平方差公式学生活动【一起探究】(x

＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn面积变了吗？a米5米5米a米(a–5)米相等吗？①(x

＋1)(x–1)；②(m

＋2)(m–2)；③(2m＋1)(2m–1)；④(5y

＋z)(5y–z).计算下列多项式的积，你能发现什么规律？做一做x2–

12m2–22(2m)2–

12(5y)2–

z2这些计算结果有什么特点？想一想(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.公式变形:1.(a–b)(a+b)=a2–b22.(b+a)(–b+a)=a2–b2平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式可以是两个多项式等．(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2

相同为a

相反为b，–b适当交换合理加括号平方差公式公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项

式或者多项式；2.左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另

一项互为相反数；3.右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.(a+b)(a–

b)=a2–

b2.温馨提示(1+x)(1–x)(–3+a)(–3–a)(0.3x–1)(1+0.3x)(1+a)(–1+a)aba2–b21x–3a12–x2(–3)2–a2a1a2–120.3x1(0.3x)2–12(a–b)(a+b)填一填口答下列各题：

(1)(–a+b)(a+b)=_________.(2)(a–b)(b+a)=__________.(3)(–a–b)(–a+b)=________.(4)(a–b)(–a–b)=_________.a2–b2a2–b2b2–a2b2–a2做一做例1计算：(1)(3x＋2)(3x–2)；(2)(–x+2y)(–x–2y).素养考点1利用平方差公式计算(2)原式=

(–x)2–(2y)2=x2–4y2.解：

(1)原式=(3x)2–22=9x2–4；易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.

利用平方差公式计算：(1)(3x–5)(3x＋5)；(2)(–2a–b)(b–2a)；(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；例2计算:(1)102×98;(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5).素养考点2利用平方差公式简便运算=1002–22解:

(1)102×98=10000–4=(100＋2)(100–2)=9996；=

y2–4–y2–4y+5(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)=

y2–22–(y2+4y–5)=–4y+1.

通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.(1)51×49;(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2)

.解:

(1)原式=(50＋1)(50–1)=502–12=2500–1=2499；(2)原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)=9x2–16–6x2–5x+6=3x2–5x–10.

计算:例3先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.素养考点3利用平方差公式进行化简求值解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)原式＝5×12–5×22＝–15.＝4x2–y2–4y2＋x2＝5x2–5y2.当x＝1，y＝2时，先化简,再求值:(3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)

=9–x2+2(x2–1)

=9–x2+2x2–2

=7+x2当x=2时，原式=7+22=7+4=11例4对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？素养考点4利用平方差公式进行证明即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．解：原式＝9n2–1–(9–n2)＝10n2–10.∵(10n2–10)÷10=n2–1.n为正整数，∴n2–1为整数

对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．归纳总结

如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.证明：(2n+1)2–(2n–1)2

=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]

=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)

=4n×2

=8n

因为8n是8的倍数，所以结论成立.例5王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？素养考点5利用平方差公式解决实际问题∵a2＞a2–16，解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，∴李大妈吃亏了．

解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．归纳总结如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是()A.a2–b2=(a+b)(a–b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a–b)2=a2–2ab+b2D.(a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2ba图1ba图2A1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(–x＋y)(x–y)C．(–x–y)(y–x)D．(x＋y)(–x–y)2.计算(2x+1)(2x–1)等于(

)A．4x2–1B．2x2–1C．4x–1D．4x2+13.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．CA10(1)(a+3b)(a–

3b)；=4a2–9；=4x4–y2.原式=(2a+3)(2a–3)=a2–9b2；=(2a)2–32原式=(–2x2)2–y2原式=(a)2–(3b)2(2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y).4.利用平方差公式计算：解:解:解:5.计算：20152–

2014×2016.20152

–

2014×2016=20152–

(2015–1)(2015+1)=20152–(20152–12)=

20152–

20152+12=16.利用平方差公式计算:(1)(a–2)(a+2)(a2+

4)

解:原式=(a2–4)(a2+4)

=a4–16.(2)(x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)

=(x4–y4)(x4+y4)

=x8–y8.7.先化简，再求值：(x+1)(x–1)+x2(1–x)+x3，其中x＝2.解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3=2x2–1.将x＝2代入上式，原式=2×22–1=7.平方差公式内容注意两个数的与这两个数的，等于这两个数的1.符号表示：2.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.和平方差.差的积(a+b)(a–b)=a2–b2

平方差公式：(

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

⁠.a2－

b2

1.

下列多项式乘法能用平方差公式进行计算的是(

C

)A.

(

x

＋

y

)(－

x

－

y

)B.

(2

x

＋3

y

)(2

x

－3

z

)C.

(－

a

－

b

)(

a

－

b

)D.

(

m

－

n

)(

n

－

m

)C课后作业2.4

x2－3

y2与下面哪个代数式组合才能使用平方差分式(

B

)A.

(－4

x

－3

y

)2B.

－4

x2－3

y2C.

3

y2－4

x2D.

(4

x

＋3

y

)2

C.

1D.

24.

已知

a

＋

b

＝4，

a

－

b

＝3，则

a2－

b2＝

⁠.5.

化简：(

x

＋1)(

x

－1)＋1＝

⁠.6.99×101＝(100－

)×(100＋

)＝

⁠.BB12

x2

1

1

9

999

(1)(－

a

－

b

)(

a

－

b

)；

(2)(2

m

－3

n

)(2

m

＋3

n

)；

解：(1)(－

a

－

b

)(

a

－

b

)＝(－

b

)2－

a2＝

b2－

a2.(2)(2

m

－3

n

)(2

m

＋3

n

)＝(2

m

)2－(3

n

)2＝4

m2－9

n2.7.

计算：(3)(

c2－

d2)(

d2＋

c2).(3)(

c2－

d2)(

d2＋

c2)＝(

c2)2－(

d2)2＝

c4－

d4.第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式《14.2.1平方差公式》同步练习

平方差公式的几何意义1.

如图，在边长为

a

的正方形中，剪去一个边长为

x

的小正方形，将余

下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，

可以得到一个关于

a

，

x

的恒等式是(

C

)A.

a2－

x2＝(2

x

＋2

a

)(

a

－

x

)C.

a2－

x2＝(

x

＋

a

)(

a

－

x

)D.

(

a

－

x

)2＝(

x

＋

a

)(

x

－

a

)C

平方差公式2.

下列各式运算结果为

x2－25

y2的是(

B

)A.

(

x

＋5

y

)(－

x

＋5

y

)B.

(－

x

－5

y

)(－

x

＋5

y

)C.

(

x

－

y

)(

x

＋25

y

)D.

(

x

－5

y

)(5

y

－

x

)【解析】

(－

x

－5

y

)(－

x

＋5

y

)＝(－

x

)2－(5

y

)2＝

x2－25

y2.B3.

若(2

a

＋3

b

)·(

)＝9

b2－4

a2，则括号内应填的代数式是(

D

)A.

－2

a

－3

b

B.

2

a

＋3

b

C.

2

a

－3

b

D.

3

b

－2

a

D

A.

2B.

－2

D5.

下列各式，计算正确的是(

C

)A.

(

a

＋4)(

a

－4)＝

a2－4B.

(2

a

＋3)(2

a

－3)＝2

a2－9C.

(5

ab

＋1)(5

ab

－1)＝25

a2

b2－1D.

(

a

＋2)(

a

－4)＝

a2－8C6.

若

x2－

y2＝20，且

x

＋

y

＝－5，则

x

－

y

值是(

C

)A.

－5B.

4C.

－4D.

5【解析】∵

x2－

y2＝(

x

＋

y

)(

x

－

y

)＝20，

x

＋

y

＝－5，∴

x

－

y

＝－4.C7.

若

k

为任意整数，则(2

k

＋3)2－4

k2的值总能(

B

)A.

被2整除B.

被3整除C.

被5整除D.

被7整除【解析】

(2

k

＋3)2－4

k2＝(2

k

＋3＋2

k

)·(2

k

＋3－2

k

)＝3(4

k

＋3)，∵3(4

k

＋3)能被3整除，∴(2

k

＋3)2－4

k2的值总能被3整除.B8.

我们可以利用图形的面积来解释一些代数恒等式.如图，能够使用其

中阴影部分的面积说明的等式是(

B

)D.

(

a

＋3)2＝

a2＋6

a

＋9B9.

填空：(1)

(2

x

＋1)(2

x

－1)＝

⁠；

(2)(3

x

＋7)(

)＝9

x2－49；

(3)(

x

－3)(

x

＋3)(

x2＋9)＝

⁠.4

x2－1

3

x

－7

x4－81

10.

计算：(1)(4＋3

a

)(－4＋3

a

)；解：原式＝9

a2－16.

(2)

a

(2－

a

)＋(

a

＋1)·(

a

－1)；解：原式＝2

a

－

a2＋

a2－1＝2

a

－1.(3)(

x

＋1)(

x

－2)－(

x

－3)(

x

＋3).解：原式＝

x2－

x

－2－

x2＋9＝－

x

＋7.

运用平方差公式进行简便计算

(2)1

007×993.解：原式＝(1

000＋7)(1

000－7)＝1

000

000－49＝999

951.

12.

如果(

a

－

b

－3)(

a

－

b

＋3)＝40，那么

a

－

b

的值为(

D

)A.

49B.

7C.

－7D.

7或－713.

计算(

x4＋1)(

x2＋1)(

x

＋1)(

x

－1)的结果是(

D

)A.

x8＋1B.

x4＋1C.

(

x

＋1)8D.

x8－1

A.

12B.

10C.

8D.

6DDB15.

【教材第108页例1(2)改编】已知(－

x

＋2

y

)(－

x

－2

y

)＋

y2＝5，求3

－12

y2＋4

x2的值.解：∵(－

x

＋2

y

)(－

x

－2

y

)＋

y2＝5，∴

x2－4

y2＋

y2＝5.∴

x2－3

y2＝

5.∴3－12

y2＋4

x2＝3＋4(

x2－3

y2)＝23.16.

先化简，再求值：2(3

x

＋1)(1－3

x

)＋(

x

－2)(2＋

x

)，其中

x

＝2.解：2(3

x

＋1)(1－3

x

)＋(

x

－2)(2＋

x

)＝2(1＋3

x

)(1－3

x

)＋(

x

－2)(

x

＋

2)＝2(1－9

x2)＋(

x2－4)＝2－18

x2＋

x2－4＝－17

x2－2.当

x

＝2时，原式＝－17×22－2＝－17×4－2＝－70.17.

已知三条线段的长度分别为

a

，

b

，

c

且

a

≠

b

，且

a2－

b2＝

c

(

a

－

b

)，那么这三条线段能组成三角形吗？解：∵

a2－

b2＝

c

(

a

－

b

)，∴(

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

c

·(

a

－

b

).∵

a

≠

b

，∴

a

－

b

≠0.∴

a

＋

b