材料力学：弯曲应力教材

5.1纯弯曲5.2纯弯曲时的正应力5.3横力弯曲时的正应力5.4弯曲切应力5.5关于弯曲理论的基本假设第五章弯曲应力5.6提高弯曲强度的措施5.1纯弯曲FSM内力应力应力=？5.1纯弯曲

纯弯曲

(purebending)━━梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。MeM剪力Fs—切应力τ弯矩M—正应力σ弯曲内力5.1纯弯曲

横力弯曲

(bendingbytransverseforce)━━梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。5.1纯弯曲纯弯曲变形特征5.1纯弯曲横截面变形后仍为平面，只是绕截面内某一轴线转动一个角度，且仍垂直于变形后的梁轴线。1平面假设纵向线aa和bb

变为弧线，横向线mm和nn变形后仍为直线，它们发生相对转动并与纵向线和仍正交。5.1纯弯曲2纵向纤维假设

设想梁是由无数层纵向纤维组成纵向纤维间无正应力凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间必有一层纤维长度不变－中性层中性层与横截面的交线－中性轴梁的弯曲变形实际上是各横截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。5.2纯弯曲时的正应力1变形几何关系取坐标系如图，y轴为对称轴；z轴为中性轴

。x轴过原点的横截面法线。纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。5.2纯弯曲时的正应力2物理关系纵向纤维只受拉或压，在比例极限范围内，由胡克定律:纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。故，正应力沿截面高度呈线性分布。由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。M中性轴的位置？5.2纯弯曲时的正应力

静力关系横截面上的内力系由平衡关系z轴（中性轴）通过截面形心。梁截面的形心连线（轴线）也在中性层内，长度不变。5.2纯弯曲时的正应力即因为y轴是对称轴，上式自然满足。梁的抗弯刚度为梁轴线变形后的曲率，它与梁所承受的弯矩成正比，与梁的抗弯刚度成反比5.2纯弯曲时的正应力变形几何关系物理关系静力学关系按弯曲变形形状判断，凸出一侧受拉，为拉应力；凹入一侧受压，为压应力。弯曲正应力的正负号

纯弯曲梁横截面上的正应力5.2纯弯曲时的正应力

纯弯曲梁横截面上正应力的分布MM与中性轴距离相等的点，正应力大小相等；正应力大小与其到中性轴距离成正比；

中性轴上,正应力等于零反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。抗弯截面系数单位：L35.2纯弯曲时的正应力

由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况。公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。

纯弯曲时正应力公式的适用性5.2纯弯曲时的正应力

常见截面的IZ

和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面5.2纯弯曲时的正应力

纯弯曲时最大正应力计算截面关于中性轴对称截面关于中性轴不对称一些易混淆的概念

对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常数的受力状态

中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的坐标轴

弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力

抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度的影响中性轴与形心轴对称弯曲与纯弯曲截面弯曲刚度与抗弯截面系数5.3横力弯曲时的正应力工程中常见的平面弯曲是横力弯曲横力弯曲时，横截面上有切应力平面假设不成立纵向纤维间无正应力的纵向纤维假设也不成立实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l与横截面高度h的比值l/h>5时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式l/h>5的梁称为细长梁

纯弯曲或细长梁的横力弯曲公式适用范围

横截面惯性积Iyz=0

弹性范围内l/h比值越大，精确程度越高5.3横力弯曲时的正应力

最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。引入符号：则有：

抗弯截面系数

比较拉压:扭转:tWTmaxmax=t5.3横力弯曲时的正应力常用截面的抗弯截面系数

矩形截面

圆形截面

截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:

5.3横力弯曲时的正应力例1如图所示受均布载荷作用的简支梁。xMM1Mmax试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力。（2）此截面上的最大正应力。（3）全梁的最大正应力。（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。解（1）求支反力，画M图并求截面弯矩q=60kN/mAB1mL=3m11FRAFRB12120180mm30mmzy5.3横力弯曲时的正应力q=60kN/mAB1m2m11xMM1Mmax（2）求应力（3）求截面和全梁的最大应力12120180mm30mmzy5.3横力弯曲时的正应力q=60kN/mAB1m2m11xMM1Mmax（4）求截面的曲率半径12120180mm30mmzy5.3横力弯曲时的正应力（1）如横截面为25a工字梁，求梁上的最大正应力（P353)。q=60kN/mAB1mL=3m11FRAFRB例2如图所示受均布载荷作用的简支梁。（2）如已知梁为钢制工字梁，[]=152MPa求该梁的型号。（1）由型钢规格表查得25a号工字钢截面解于是有（2）强度条件要求：由型钢规格表查得28a号工字钢的Wz为5.3横力弯曲时的正应力例3解

T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。（1）求截面形心（2）求截面对中性轴zc的惯性矩zcyzy1y25.3横力弯曲时的正应力（3）作弯矩图（4）强度校核MMB截面5.3横力弯曲时的正应力C截面MM梁满足强度条件将“T”改为“”是否合理？T