2023届新高考数学练习02集合与常用逻辑用语教师版

热点02集合与常用逻辑用语

命题趋势

1、从新高考的考查情况来看，集合是必考内容，设题难度很低，均以集合的基本运算

为主，同时考查不等式的解法。该内容主要以函数、方程、不等式等知识为载体，以集合的

语言和符号为表现形式，考查学生的分类讨论思想和数学运算等核心素养。

2、从新高考的考查情况来看，高考对常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以

其他知识为背景考查命题的充分条件、必要条件的判断或量词，题目难度中等，以选择题和

填空题为主。本节主要以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计、复数

等为载体，结合充分条件和必要条件考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养.

满分技巧

1、与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则

和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的

新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够

应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质.集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合

问题的基础，也是突破口，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关

键之处用好集合运算与性质.

2、充分、必要条件的判断现在主要就3种：

1）定义法：（1）若Pnq,则P是g的充分条件；（2）若q=p,则P是q的必要条件；

（3）若p=g且qnp,则P是g的充要条件；（4）若P=1且q=>p,则P是0的充分不必要条件;

⑸若PAg且gnp,则P是q的必要不充分条件；（6）若p≠⅛且则P是g的既不充

分也不必要条件.

2）利用集合间的包含关系判断：记条件p,q对应的集合分别是/,B,则

（1）若AQB,则P是q的充分条件或q是P的必要条件；

（2）若/下8,则P是q的充分不必要条件，或“是P的必要不充分条件；

（3）若4=8,则P是q的充要条件；

（4）若4生B,且力28,则夕是q的既不充分也不必要条件.

3）等价法：利用P=夕与一>q=~>p,q=p与一>p=「夕，p<=>g与-Iq0—>p的等价关系.

热点解读

近年来不管是新高考还是新课标或自主命题的高考题中集合和常用逻辑用语的考试以基础

题型为主，建议大家重点抓基础，适当注意集合中的具有创新性的新定义问题，充要条件主

要还是主要和其他版块知识的结合。

限时检测

A卷（建议用时60分钟）

一、单选题

1.（2021•北京•高考真题）已知集合∕={x∣T<x<l},8={x∣0≤x≤2},贝∣J∕uB=（）

A.{χ∣-l<χ<2}B.{x∣-l<x≤2}C.{x∣0≤x<1}D.{x∣0<x≤2}

【答案】B

【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】由题意可得：/U8={x∣-l<x≤2}.故选：B.

2.（2021•江苏•高考真题）已知集合M={l,3},N={l-α,3},若MUN={1,2,3},则。的值

是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】根据集合N和并集，分别讨论。的值，再验证即可.

【详解】因为MUN={1,2,3},若1-4=Ina=0,经验证不满足题意；

若l-α=2=>α=T,经验证满足题意.所以α=T.故选：B.

3.（2021•全国•高考真题（理））已知集合S=NS=2"+l∕eZ},7={4=4〃+1,”wz},

则SCT=（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【分析】分析可得T=S,由此可得出结论.

【详解】任取feT，则f=4"+l=2∙（2"）+l,其中〃eZ,所以，feS,故TQS,

2

因此，snr=r.故选：c.

4.(2021•江苏南通•高三期中)设全集U=R,集合Z={x∣l<x<4},集合8={x∣0<x<2},

则集合Zn@B)=()

A.(1,2)B.(1,2]C.(2,4)D∙[2,4)

【答案】D

【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.

【详解】由己知可得药8={x∣x≤0或x≥2},因此，4c48={x∣2≤x<4},故选：D.

5.(2021•江苏•南京师大附中高三期中)设U=&,已知两个非空集合P,。满足(%P)UQ=

R,则()

A.PCQ=RB.P⊂ρC.Q三PD.PUQ=R

【答案】B

【分析】利用韦恩图，结合集合的交并补运算求解.

【详解】如图所示P,Q，满足@P)U0=R,即故选：B

6.（2021•山西大附中高三期中）若全集U={l,2,3,4,5,6},M={∖,4},N={2,3},则集合

（刎）c（uN）等于（）

A.{1,2,3,4}B.{1,4}C.6,6}D.{2,3}

【答案】C

【分析】计算AJM={2,3,5,6},4N={1,4,5,6},再计算交集得到答案.

【详解】AJM={2,3,5,6},QW={l,4,5,6},储Mn（UN）={5,6}.故选：C.

7.（2021•山东高三期中）已知集合∕={x,-5x+6≤θ},8={y∈Z»=3sinx,xe/?},则

∕∏8=（）

A.[2,3]B.（2,3]C.{2,3}D.{3}

【答案】C

【分析】解出集合A、B,然后利用交集的定义可计算出集合/∏8.

【详解】由χ2-5χ+6≤0得2≤x≤3,即4=[2,3],因为一1≤sinx≤1,所以一3≤3sinx≤3,

即3={；^2|歹二35吊几1€尺}={-3,-2,-1,0,1,2,3}所以4八6={2,3}.故选：C.

3

8.（2021•重庆一中高三期中）已知全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合/={xeZ»=产眄},

8={-3,l,2,3},则@Z）c8的子集个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.8个

【答案】C

【分析】求出集合4再根据补集和交集的定义求出（QM）C8,即可得出答案.

【详解】解：N=卜eZ"=}={x∈Z∣2-W≥0}={xeZ∣-2≤x≤2}={-2,-l,0,l,2},

则电/={-3,3},所以（L0c8={-3,3},所以（QM）C8的子集个数是4个.故选：C.

9.（2021•天津•高考真题）已知α∈R,则"”>6”是“<?>36”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.

【详解】由题意，若α>6,则/>36,故充分性成立；若/>36,则a>6或α<-6,推不

出4>6,故必要性不成立；所以“>6”是“力>36”的充分不必要条件.故选：A.

10.（2021•北京•高考真题）已知QX）是定义在上［0,1］的函数,那么“函数/（x）在［0,1］上单调

递增'是“函数/（X）在［0,1］上的最大值为/'⑴”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数I（X）在［0,1］上单调递增,则/（X）在［0,1］上的最大值为/⑴,

若/（x）在［0,1］上的最大值为了⑴，比如/（χ）=（χ-∕J,但y（x）=（x-；J在oɪ为减函

数，在pl为增函数，故/（X）在［0,1］上的最大值为/⑴推不出/（X）在［0,1］上单调递增，

故“函数/（X）在［0,1］上单调递增”是“/（X）在［0,1］匕的最大值为了⑴”的充分不必要条件，

故选：A.

11.（2021•浙江•高考真题）已知非零向量£［A，则是"2=/的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要

条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，====彳一彼与"垂直，

4

∣α-⅛l∙c=O>所以H=或，成立，此时1工很不是G=B的充分条件，

当方=B时,I—B。—b)∙c=0∙c=0,_右.成立，；.q.「是1=彼的必

要条件，

综上，“】£=W是“<；=£’的必要不充分条件。故选：B.

12.(2021•辽宁葫芦岛•高三月考)已知命题pTxe(0,+8),3x>χ3,则「口是()

A.3xe(-∞,θ],3x≤x,B.3x∈(-∞,θ],3x>x3C.Vx∈(-∞,θ],3x≤xi

D.VXe(O,+8),3x4d

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，从而可得出答案.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以Y是：VXe(O,x),3x≤χ3.故选：d.

13.(2021•湖北•高三月考)已知命题：3x∈7?,tan2x=4贝IJ()

A.该命题为假命题，其否定是VXeR,tan2x≠4B.该命题为假命题，其否定是Hr¢7?,

tan2x≠4

C.该命题为真命题，其否定是VxeR,tan2xN4D.该命题为真命题，其否定是玉∈A,

tan2x≠4

【答案】C

【分析】根据正切函数的性质判断命题的正误，再由特称命题的否定：将存在改为任意并否

定结论写出题设命题的否定形式.

【详解】•；函数V=tan2x的值域为R，，玉eR,tan2x=4,故该命题是真命题，

其否定是VXeR,tan2xw4.故选：C.

14.(2021•广东化州•高三月考)下列叙述中正确的是()

A.若VXeN*，WJ(x-l)2>OB.若“x<N,则x?<产，的逆否命题是真命题

C.“χ2>x”是，>1”的必要不充分条件D."Vx>0,都有χ2-χ-3<0"的否定是''3x<0,

使得χ2-χ-32(Γ'

【答案】C

【分析】取特殊值可判断A,根据原命题与逆否命题等价判断B,解不等式后根据集合的包

5

含关系可判断C,由含量词命题的否定判断D.

【详解】X=I时，(χ-ι)2=0,故A错：“若χ<y,则/</”是假命题，故其逆否命题是

假命题，故B错；

∕>χ的解集是{χ∣χ<0或χ>l},由{χ∣χ>l}真包含于{χ∣χ<0或χ>l}可知“一八”是

“x>l”的必要不充分条件,故C对;-Vx>0,都有χ2-χ-3<0”的否定是“女>0,使得

X2-X-3^0",故D错.故选：C

15.(2021•重庆巴蜀中学高三月考)命题p:\ZreRd-tzr+4z>0成立的充分必要条件是

()

A.tz∈[0,4)B.ae(0,4)C.a∈[0,16)D.a∈(0,16)

【答案】D

【分析】求命题p:XZrWKW-⑪+痴〉。成立的等价条件由此可得其成立的充分必要条件.

【详解】*.*VR∈R,/-QX+4。>0=A=a?-16〃<00a∈(0,16),

命题PiXZreRx2—亦+%>0成立的充分必要条件是“e(0,16),故选：D.

二、多选题

16.(2021•山东荷泽•高三期中)已知集合N={x∣∕-2x<θ},B={x∣2'>l},则()

A.∕n¾1,8=0B.A‹JB=AC.AaBD.BeA

【答案】AC

【分析】化简集合A,B,利用集合的基本运算即可知正确选项.

【详解】∙.∙A={X∖X2-2X<Q]=(Q,2),β={x∣2r>l}=(0,+oo),Λ√I∩⅝B=0,

ADB=B、AJB,

故Ae正确，B错误，又集合之间的关系为包含与不包含，所以D错误,故选：AC

17.(2021•全国•高三专题练习)设全集U=R,集合Z={M-χ2+χ+6>o},

β={x∣x2+2x-3<θ},则()

A.4c8={x∣-24X<1}B.4u8={x∣-3<x<3}

C.∕c(δ*)={x∣l<x<3}D.AU(δ*)={x∣x≤-3或x>-2}

【答案】BD

【分析】先通过一元二次不等式的计算可得N=3-2<X<3},δ={x∣-3<x<l},再根据

集合的运算逐项计算即可得解.

【详解】由题知/={小2<x<3},δ={x∣-3<x<l},δ*={x∣x≤-3或x≥l},

所以ZC8={H-2<X<1},故A错误；∕u8={x∣-3<x<3},故B正确；

6

∕c(a8)={x∣l≤x<3},故C错误：∕u(¾f8)={x∣x≤-3或x>-2},故D正确.故选：BD.

18.(2021•江苏省天一中学高三月考)已知集合Z={y∣y=x,χeR},集合

8=3y=MχeR},则下列说法正确的是()

A.(0,O)GBB.A∏B={0,1}C.5=[0,+∞)D.BqA

【答案】CD

【分析】求出函数.产X和函数产Y的值域分别得集合4和集合8,再逐一验证各选项判断

作答.

【详解】依题意，∕=R,5=[0,+∞),对于A,OeS,而(0,0)任8,A不正确；

对于B,Zn8=[0,+8),B不正确；对于C,因3=[O,+8),则C正确；

对于D,因[0,+8)UR,即8α∕,D正确.故选：CD

19.(2021•湖南•高三月考)命题P：3x∈(0,2),χ3>gsx∙命题心每个正三棱锥的三个侧

面都是正三角形.关于这两个命题，下列判断正确的是()

li

A.P是真命题B.~P：VX∈(0,2),x≤COSx

C.9是真命题D.14：每个正三棱锥的三个侧面都不是正

三角形

【答案】AB

【分析】根据全称命题、存在命题的否定形式可判断BD的正误，根据反例可判断A的正

误，根据正三棱锥的定义可判断C的正误.

【详解】P的否定为VXe(0,2),X3≤COSX，故B正确.

因为紧(0,2),图.>cos,，所以夕的否定为假命题，故P是真命题，故A正确.

对B,每个正三棱锥的三个侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故9为假命题，故C

错误，

而Ig为：存在一个正三棱锥，它的三个侧面不都是正三角形，故D错误.故选：AB.

20.(2021•广东肇庆•模拟预测)下列四个命题中，真命题是()

2Λ

A.HxeR,Iog2x>xB.∀χ≤0,χ≥χC.Vx∈∕?,4>0D.3xeR,∣3x-1|<0

【答案】BC

【分析】构造/(X)=X-IogzX,求导得到单调区间，计算函数的最小值得到bg2∙Y<x恒成

立，A错误，再直接判断BCD的正误得到答案.

【详解】/(x)=x-log2x,则/，(X)=I-ILr=萼=，函数在XJO单调递减，在

XIn2XlnzIIn2J

ln

X上单调递增，故/(x)min=/(2)=ɪn2-Iog2(In2)>In2>O,故l0g2X<x恒

7

成立，故A错误；

Vx≤O,X2≥0>X,故B正确；Vx∈7?,4，>0,C正确；Vx∈Λ,∣3x-l∣≥0,故D错误.

故选：BC.

三、填空题

21.(2021•上海•格致中学高三月考)已知集合尸={x∣04x<3,xeZ},Λ/={x∣x2≤4,xeR),

则尸CM=.

【答案】{0,1,2).

【分析】先解出集合尸，M,进而求出交集即可.

【详解】由题意，P=(x∣0≤x<3,xeZ)={0,l,2},M={x∖-2<x<2∖,则尸cΛ∕={0,1,2}.

答案为:{0,1,2}.

22.(2021•福建省大田县第一中学高三期中)某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣

小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人,

同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人,

则同时参加这三个兴趣小组的同学有人.

【答案】5

【分析】以集合A、8、C表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，作出图形，设

同时参加这三个兴趣小组的同学有X人，根据已知条件可得出关于X的方程，解出X的值即

可.

【详解】以集合A、8、C表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：

设同时参加这三个兴趣小组的同学有X人，

由图可得20+(9-X)+(11-X)+(15-X)+X=55-2X=45,解得x=5.故答案为：5.

23.(2021•北京市第三十五中学高三期中)命题“\^€氏，-2<0"的否定是

【答案】3X∈R,X2-2>0

【分析】利用全称命题的否定解答.

8

【详解】因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题，

所以命题“VxeR,χ2-2<0"的否定是FXeR,/"NO”.故答案为：3xeR,x2-2≥0

四、解答题

24.(2021•河南驻马店•高三月考)已知集合Z={x,-3x-10≤θ},5=(x∣w+l≤x≤2m-1}.

(1)若4uB=4,求实数机的取值范围；(2)当XeR时，若4cB=0,求实数机的取值

范围；

【答案】⑴(-∞,3](2)(-∞,2)u(4,+∞)

【分析】(1)计算Z={x∣-2≤x≤5},根据/u8=/得到Bq/,考虑8=0,8≠0两种

情况，解得答案.

[∕n+l≤2/w-1∖m+∖<Im—1

(2)考虑5=0,8≠0两种情况，得到I4或。c，解得答案.

[/?1+1>5[2w-l1<-2

(I)A=^x∖-2≤x≤5]f若AUB=A,则5三4,

当6=0时，"2+1>2加一1,解得加<2,成立；

m+∖≤2〃LL

当8w0时，]加+1>-2,解得2≤∕w≤3.

2w-l≤5

综上，实数〃2的取值范围为(7,3].

(2)∙.∙Arlβ=0,当8=0时，m+l>2m-l,解得机<2；

m+l≤2m-1{m+l≤2m-1

当5x0时,wz+1>5或］2/M—1<—2解得小>4.

综上，实数，〃的取值范围是(-∞,2)u(4,∙κo).

25.(2021•江苏淮安•高三期中)已知集合N={x∣χ2-χ-[2≤θ},

S=∣x∣x2—2x+l-w2≤0,w>θʃ,

(1)若加=2,求∕n(¾i8);(2)xw∕是X€8的条件，若实数”的值存在，

求出“Z的取值范围；若不存在，说明理由.(请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；

中任选一个，补充到空白处)注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)4c(务8)={H-3≤x<-l或3<x≤4}(2)条件选择见解析，答案见解析

【分析】(1)求出集合A、B,利用补集和的交集的定义可求得结果；

(2)求出集合8,根据所选条件可得Hl集合A、B的包含关系，可得出关于实数机的不等

式组，解之即可得出结论.

(I)A?:由不等式--x-12=(x-4)(x+3)≤0,解得-34x≤4,可得/={x∣-3≤x≤4}

9

当a=2时,不等式χ2-2x-3=(x-3)(x+l)≤0,解得T≤x≤3,即8={止1≤x≤3},

可得58={x∣xvT或x>3},所以/C(6R8)={H-3«X<-1或3<x≤4}.

(2)解：由不等式χ2-2x+l—〃/=(x-"z-I)(X+加一1)≤q加〉。，解得1一次≤x≤l+加，

所以8={x∣l-m≤x≤l+〃?,m>θ}.

1一掰≤一3

若选择条件①，则集合A是3的真子集，得<m+l≥4,解得加24.

m>0

当m=4时，β=(x∣-3≤x≤5},AB,合乎题意：

I-m≥-3

若选择条件②，则集合8是A的真子集，得r%+l≤4,解得0<"z≤3∙

m>0

当〃?=3时，5=(x∣-2≤x≤4},则BA,合乎题意；

1-W=-3

若选择条件③，则集合力=8,得,阳+1=4无解，所以不存在满足条件③的实数〃2.

w>O

26.(2021•山东日照•高三月考)已知集合N=HI-F、5=b∣χ2-70x+10fl2<0}'

。∈R.

(1)当α>0时，XeN是xe8的充分条件，求实数。的取值范围；

(2)若Bχ3llA,求实数。的取值范围.

【答案】(1)[*1]⑵α≤]或“22

ɔɔ

【分析】(1)解不等式确定集合A,确定集合B,然后充分条件得集合包含关系，从而可得

参数范围；

(2)求得A的补集，分类讨论确定集合B,根据包含关系可得结论.

y_113-X1

(1)1-:----<—O-------<—<=>∣x-3∣<l<=>-l<x-3<l,2<x<4,4=(2,4),

222211

22

Q〉O时，B=∣x∣x-7ax÷10a<0∣={x∖x(x-2d)(x-5d)<0}=(2a,5df

[2a≤244

x∈%是x∈8的充分条件，即/旦8,所以{解得z≤Q≤l,所以。的取值范围是

[5ɑ≥455

(2)⅝^=(-∞,2]U[4,+∞),BmA,由(1)知Q=O时，8=0满足题意，

2

Q〉0时，B=Qa,5a),则54≤2或2α≥4,a<-^a≥2,

10

22

所以O<α<W或α≥2,α<0时，B=（5a,2a）,2α<0≤2,因此BqaZ,综匕α≤-∏ga≥2.

27.（2021•福建高三月考）已知集合Z=例y=2',x≤l},8={x∣2+α≤x≤1-.,aeR}.求：

（1）若∕∏2=0,求实数。的取值范围.（2）若"x∈⑷'是"xe8”的充分不必要条件，求

实数。的取值范围

【答案】（1）[-p+∞]:（2）（-∞,-2].

【分析】（1）由4（18=0,讨论8=0和8≠0即可；

（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.

[详解]（1）由∕={HN=2*,X≤1}={y∣0<y≤2},β={x∣2+α<x<l-β,aeR!,

当8=0时，∖-a<2+a,得α>-L适合题意;

2

2+o≤l-0,J2+a≤1-a

当8≠0时,则∖-a<0ʌ12+α>2得Q∈0.

综上所述.实数α的取值范围\;,+∞

（2）由题意,“xe/”是“xw8”的充分不必要条件，则ZUB,

zʌ∕]∖2+a≤0

又Z={0<y≤2},8={xl∣2+α≤x≤l-α,α∈R}.所以I[”>？，解得04-2,

实数。的取值范围为（-8,-2].

11

B卷(建议用时90分钟)

一、单选题

1.(2021•云南师大附中高三月考)已知集合

4=[x卜=+1),"ezj∙,8={x*=*-I,”ez),贝∣J()

A.A[∖B=AB.A∏B=0C.ADB=AD.A∖JB=Z

【答案】C

,rtps.ɪ,rι[4(〃-1)+122

【分析】由题意8=JxX=——U—〃以卜+=^，“GZ,再由集合的包

含关系即可求解.

〃总]=几=4(〃一1)+1,

【详解】由于H∈Z

3=ʃ∏3

任取XeB,则X=4("；)+1=2心;2)+1,其中"€2,即方£4,所以8=/,则有工。8=/,

故选：C.

2.(2021•全国•高三月考)己知集合Z={x∣x=∕+l,∕n∈N},B=[y∖y=nA+∖,n&,则

ACB=()

A.0B.AC.BD.N

【答案】C

【分析】判断出314即可.

【详解】y=∕+l=("°)+1>从而8=N,∕c8=5.故选：C

3.(2021•天津市第四十七中学高三期中)设U=R,已知集合Z={x∣x≥l},8={x∣x>α},

且(电∕)u5=R,则实数0的取值范围是()

A.(l,+∞)B.(→o,l]C.[l,+∞)D.(-∞,1)

【答案】D

【分析】由题设可得,Z={x∣x<l},根据已知集合的并集结果即可求。的取值范围.

【详解】由题设，⅞,∕={x∣x<l},又(a4)UB=H,B={x∖x>a∖,.∙.α<L故选:D

12

4.(2021•四川•双流中学高三期末)已知函数/(x)=χ3-3x+l,χeR,集合

N={x/4x≤∕+1},集合8={x∣∣∕'(x)∣≥l},若集合力DB只含有一个元素，则实数f的取值

范围是()

A.[0,√3-l)B.[0,√3-l]C.(0,√3-l]D.(0,√3-l)

【答案】D

【分析】根据解绝对值不等式的方法，结合交集的定义进行求解即可.

【详解】I"x)∣2InX3-3x+l≥l或JC3-3X+1MT,

由/—3x+l21=>x(x+V3)(x--V3)≥O=>X≥百或一百≤x≤O,

由丁—3x+1≤-1=>/―3X+2≤0—x-2(x-1)≤O=>(x—l)~(x+2)≤(=>x=\或IxW—2,

所以8=3|/('论1}=(-0>,-2]口卜亚0卜Ip∖yΓ,+∞),

t>0-

因为集合NPlB只含有一个元素，f+l-f=l,所以{=>0<∕<√r3-l,故选：D

t+l<yJ3

5.(2021•全国•高三专题练习)如图，U是全集，”,RS是。的子集，则阴影部分表示的集

合是()

A.(MnP)CISB.(MnP)USC.(MCP)CeSD.(WnP)u¾S

【答案】C

【分析】利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合.

【详解】解：由图知，阴影部分在集合M中，在集合P中，但不在集合S中，

故阴影部分所表示的集合是("C尸)C,6.故选：C.

6.(2021•全国•高考真题(理))等比数列{"“}的公比为g,前〃项和为5,，设甲：q〉Q,

乙：{S,J是递增数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】当9>O时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当⅛}是递增数列时，必有alι>O

成立即可说明夕>O成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.

13

【详解】由题，当数列为-2,-4,-8,…时，满足g>0,但是｛S.｝不是递增数列,所以甲不是

乙的充分条件.

若｛S,｝是递增数列，则必有%>0成立，若g>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛

盾的，则4>0成立，所以甲是乙的必要条件.故选：B.

【点睛】在不成立的情况下，我们可通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给

予其证明过程.

7.(2021•山东文登•高三期中)设p：关于X的方程4'_2向-。=0有解；q：函数

/(x)=l0g2(x+a-l)在区间(0,+8)上恒为正值，则P是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】B

【分析】先化简p,g,再利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】因为方程4'-2"Ja=O有解,即方程α=(2'Y-22有解，

令，=2*>0,则y=*-2f=(-1)2-1∈[T,+∞),BPfl∈[-l,+∞);

因为函数/(X)=Iog2(x+α-1)在区∣Hj(O,+∞)上恒为正值，

所以X+”1>1在IXM(O,+⑼上恒成立，即a>T+2在区间(0,+8)上恒成立，

解得所以P是0的必要不充分条件，故选：B

二、多选题

8.(2021•重庆•西南大学附中高三月考)已知集合R"=｛α,X2,∙∙∙,X")k,eR∕=l,2,••、〃｝

(M>l),定义J?"上两点4(α∣,。2,…4)，5(许也,…,b“)的距离

d(A,B)=∖ai-bl∖+∖a2-b2∖+L+∖an-bn∖,则下列说法正确的是()

A.若/(-1,0,3),S(2,1,-2),则d(4B)=9

B.设点A,B,CeR2,在ANBC中，ZC=90°,则/(4。)+屋(C,8)=/)

C.设点A,B,CER2,在“3C中，若[(/,B)=4(∕,C),贝IJZS=NC

D.设点A,B,CeR3,则d(4C)+d(B,C)≥"(48)

【答案】AD

【分析】根据定义RJ上两点4®%…8(4也,…也)的距离

d(48)=∣q-4+L+∣¾-ξ∣,结合距离的运算公式和不等式的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由两点/(q,%…4)，8伯也,…也)的距离

d(A,B)=∖al-b]+∖a2-b2∖+L+∖an-bn∖,

14

对于A中,/(-1,0,3),8(2,1,-2),∏T^rf(j,B)=∣-l-2∣+∣0-l∣+∣3-(-2)∣=9,所以A正确;

对于B中，因为NC=90。，可得Mq2+忸Cj2=恒且I

设Z(Xl,必),8(七,必),。的必),则

2

(Xl-X3)+(%-%P+(*2I)]+(%I%)?=(XI-X2H+(凹一%P,

而

"2(4C)+/(C,8)=k-Z「+|乂-%"-X.3「+IΛ-ΛΓ

+2∣(xl-x3)(yl-Ʃ3)∣+2∣(X2-J⅞)(Ʃ2-y3)∖

222

√(^,5)=∣X,-X2∣+∖yl-J^2∣+2∣(xl-x2)(ʃl-ʃ2)∣,

当2∣(x∣-xj(y∣-%)|+2值-X3)(%-%)I=2∣(X1-X2)(Ʃ,-^2)∣不一定成立，所以B错误；

在“BC中,若4(48)=d(∕,C),可得IXl-X2∣+∣y∣-%∣=|须-X』+IyI-W，

而2年一到.|必一为=2I3-再H必一W，所以|/邳=MCl不一定成立,

从而NS=NC不一定成立，所以C不正确；由点A,B,CeR3,设

A(xi,yl,zl),B(x2,y2,z2),C(x3,yj,zi),

可得d(4c)+d(8,c)=∣x∣-覆|+|%-%l+k-Z3∣+∣X2-X3∣+仅2-乃|+卜2-Z3∣

d(A,B)=∖xi-x2∖+∖y,-y2∖+∖zl-z2∖,

χχχχ+zzz

因为W-i∖+∖2-3∣≥∣¾-2∖↑yi-y3∖∖y2-Λ∣≥h-y2∖>∖l~3∖+∖2-¾l≥k.-¾l,

所以d(4C)+d(B,C)≥d(48),所以D正确.故选:AD.

9.(2021•重庆市第七中学校高三月考)己知集合∕={x∣log,x40},集合8={川g≥0},

ʃ-i

集合。={z|3：23，则()

A.ADD=RB.A∏B=0C.QK(AUB)DD.QliDB

【答案】BCD

【分析】先求出集A,B,D,再逐个分析判断即可

【详解】illIog2x≤0,得O<X≤1,所以∕={x∣O<x≤l},

由岩≥0,W(^+l)(y-l)≥0i.ʃ-1≠0,得y≤T或y>1,所以8={y∣y≤T或y>1},

由3=g=3-,得z2-2,所以。={z∣zN-2},

对于A,A<JD={X∖X≥-2∖≠R,所以A错误，对于B,AΓ∖B=0,所以B正确，

对于C,因为Zu8={x∣x≤T或x>0},所以«(438)=卜|一1<工6},所以«(/=8)D,

15

所以C正确，

对于D,因为Q={z∣z≥-2},所以4D={z∣z<-2},因为8={y∣y≤-1或》>1},所以

SRDB,所以D正确，故选：BCD

10.（2021・全国•高三月考）已知集合A,8满足/C8=。，4U5=Q,全集。=R,则下

列说法中可能正确的有（）

A.电/没有最大元素，Q,8有一个最小元素B.A有一个最大元素，B没有最小元素

C.A有一个最大元素，8有一个最小元素D.A没有最大元素，B也没有最小元素

【答案】ABD

【分析】根据新定义，并正确列举集合4和8,然后判断各选项即可.

【详解】对于选项A：若N={xe2∣x≥0},5={x∈ρ∣x<0},V=B,*B=A,则电/没

有最大元素，电5有一个最小元素，故A可能成立；

对于选项B：^A={xeQ∖x≤0},8={xe0x>θ},4有个最大元素，8没有最小元素,

故B可能成立;

对于选项C：/有一个最大元素，8有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不

存在/和8两个集合中，与4和8的并集是所有的有理数矛盾；故C不可能成立.

对于选项D：若∕={x∈0x<√5},3={xeQ∣x≥√∑},则力没有最大元素，2也没有最小

元素，故D可能成立；故选：ABD.

11.（2021•江苏•南京市第十三中学高三月考）设Z={x∣∕-8x+12=θ},8={x∣4x-l=θ},

若∕n8=8,则实数。的值可以是（）

11

A.0B.-C.-D.2

62

【答案】ABC

【分析】根据题意可以得到BqN,进而讨论。=0和α*0两种情况，最后得到答案.

【详解】由题意，4={2,6},因为4∏B=B,所以8=4,若α=0,则5=。，满足题意;

若αwθ,则B=[L],因为22∕,所以∙1=2或，=6,则α=[或a=9.

[aJaa26

综上：“=0或”1或a=!∙故选：ABC.

26

12.（2021•江苏省南菁高级中学高三月考）已知M、N均为实数集A的子集，且

NCG（M=0,则下列结论中正确的是（）

A.MCCRN=0B.MDCRN=RC.CRMUCRN=CRMD.CRMCCRN=CRM

【答案】BD

16

【分析】由题可知NGM,利用包含关系即可判断.

【详解】∙.∙Ncg"=0.∙.N=M,若N是M的真子集，则Λ∕CCRNK0,故A错误；

由NUM可得Λ∕□G（N=R,故B正确；由N=M可得C√√2CRM,故C错误，D正确.

故选：BD.

13.（2021•江苏南京•高三开学考试）设集合S,T,SqN*,TJN：S,T中至少有两个

元素，且S,T满足：①对于任意X,yeS,若"V,都有9eT;②对于任意X,yeS,

若x<∙T,则twS;

X

下列情况中可能出现的有（）

A.S有4个元素，SUT有7个元素B.S有4个元素，SUT必有6个元素

C.S有3个元素，SU7有5个元素D∙S有3个元素，SU7有4个元素

【答案】ACD

【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可.

【详解】取s={l,2,4},JjIlJr={2,4,8},SUT={1,2,4,8},4个元素，所以选项C

可能；

S={2,4,8},则T={8,16,32},SUT={2,4,8,16,32},5个元素，所以选项D可

能；

S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},SUT={2,4,8,16,32,64,128},7

个元素，所以选项A可能，排除选项B.故选：ACD

14.（2021•重庆市清华中学校高三月考）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪•直到

1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴

德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代,

也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机•所谓戴德金分割，是指将有理数集Q

划分为两个非空的子集M与M且满足"DN=Q,MCN=0,〃中的每一个元素都小

于N中的每一个元素，则称（",N）为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割（Λ∕,N）,

下列选项中，可能成立的是（）

A.M没有最大元素，N有一个最小元素B.M没有最大元素，N也没有最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M有一个最大元素，N没有最小元素

【答案】ABD

【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果.

【详解】令M={x∣x<10,xeQ},N={x∣x≥10,xeQ},显然集合A/中没有最大元素，集

合N中有一个最小元素，即选项Aul能；令"={x|x<五,xe。},N={x∖x≥y∕2,xeQ},

显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；假设答案C可能,

即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令M={x∣x≤10,xeQ},

17

N={x∣x>10,x∈Q},显然集合”中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D

可能.故选：ABD.

15.(2021•福建•模拟预测)两个集合A