2023-2024学年四川省绵阳高二年级下册4月月考数学（理）模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省绵阳高二下学期4月月考数学(理)

模拟试题

一、单选题

1.若复数Z满足3z=-g(l+i),则Z的共帆复数的虚部是()

A.—iB.-i

22

C.--D.；

22

【正确答案】C

由复数的除法运算以及共轨复数的定义得出答案.

【详解】由题意，得z=4匕i=-•雪2=4+为，所以Z的共轲复数的虚部是-工

2z2Z2222

故选：C.

本题主要考查了复数的除法以及共施复数的定义，属于基础题.

2.下列说法正确的是()

A.命题F∈R,">O”的否定是“3XGRA>命'

B.命题“已知x,yeR,若x+y*3,则XW2或yr1”的逆否命题是真命题

C.+2χ≥ar在xe[l,2]上恒成立“。“(/+2幻而“≥(αx)mhl在xe[l,2]上恒成立”

D.命题“若”=-l,则函数/(X)=加+2》_1只有一个零点”的逆命题为真命题

【正确答案】B

【分析】根据全称命题的否定为特称命题,即可判断A,根据原命题与逆否命题的真假性一样即可判

断B,根据恒成立问题的求解即可判断C,根据函数/(x)=a√+2χ7只有一个零点则。=_1或。=0,

可判断D.

【详解】A：命题的否定为：3x∈R,e*≤0,故A错误；

B：分析题意可知原命题成立，故其逆否命题成立，故B正确；

C：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个自变量处取到，故C错误；

D：若函数/(X)=ax?+2x-l只有一个零点，则①：a=0,符合题意，②α*0,Δ=4+4«=O=>α=-1,

逆命题是假命题，故D错误.

故选：B

3.命题“任意xw[l,2],Y-α≤O"为真命题的一个充分不必要条件是()

A.a≥4B.a≤4C.a>5D.a<5

【正确答案】C

【分析】求出命题“任意xe[L2],α≤0"为真命题的充要条件，然后可选出答案.

【详解】由/_小0可得“≥Y,

当xe[l,2]时，(χ2)nm=4,所以0≥4,

所以命题“任意Xe[1,2],V-α≤o，，为真命题的充要条件是

所以命题“任意xe[l,2],V-α≤O"为真命题的一个充分不必要条件是C,

故选：C

4.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有()

A.24利IB.16种C.12利1D.10利∣

【正确答案】C

【分析】分析起点和终点的情况，由乘法原理，即可得出结论.

【详解】依题意，起点为4种可能性，终点为3种可能性，

所以行车路线共有4x3=12种.

故选：C

本题考查分步计数原理的应用，注意“不允许回头”条件，属于基础题.

5.函数"x)=gχ2+χinx-3x的极值点一定在区间()

A.(0,1)B,(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【正确答案】B

【分析】由函数的极值点即导函数的零点及零点存在定理可得.

【详解】因为函数的极值点即导函数的零点，∕,ω=x+lnx+l-3=x+lnx-2,所以

∕,(1)=-l<0,Γ(2)=∣∏2>0,由零点存在定理得到/(X)零点在(1,2)上.

故选：B.

6.正方体ABCO-AgCQ的棱长为小AM=^MCi,N为8田的中点，则IMM=()

ʌ√6√150向√15

A.aOβ.ciC-.-----ciLn).-----ci

6663

【正确答案】C

【分析】利用基底向量4?,A4l分别表示出AM,AN,再根据向量减法以及向量的模的计算公式

即可解出.

【详解】因为AM=IMG，所以AM=；AG=；(A8+A。+M)，而N为耳8的中点,

所以AN=A8+3N=AB+∙∣网=A8+g∕L41.

故222

IMNl=WM=IAN-AM=∣Λβ-∣AD+^AΛ1=lia+la+J-a=^H

故选：C.

7.当函数y=x∙2'取极小值时，X的值为

11

A.B.

liτ21∏2C.In2D.-In2

【正确答案】B

【详解】分析：对函数求导，由y'=2'+x∙2'7"2=(l+x∕"2)∙2'=0,即可得出结论.

详解：y=2'+2∙?Mn=2?x∕"2)O=,

B∣J1+xlnl-O,x-———.

Inl

故选B.

点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题

8.若函数/(x)=d-£+3X在区间［ι,4］上单调递减，则实数「的取值范围是()

51

A.［―,+∞)B.(YO,3]C.—∞,一D.[3,∙κo)

O8

【正确答案】A

【分析】由函数/(X)在区间［1,4］上单调递减，得到不等式/(x)≤0在xe［l,4卜恒成立，再根据二次函

数根的分布，求实数，的取值范围.

【详解】因为函数“力=%3-a2+3》在区间［1,4］上单调递减，

所以F(X)=3∕-2a+3≤0在xe[l,4卜恒成立,

,f(D≤O,4-Z≤0,解得∕≥U

所以即

∕,(4)≤0,51-8r≤0,O

本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力

和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点

的函数值正负问题.

9.已知函数/(X)=则y=f(χ)的图像大致为()

In(X+1)-X'

【正确答案】B

【详解】试题分析：设g(x)=ln(l+x)-x,则g，(X)=一卷，.∙.g(χ)在(―1。上为增函数,在(0,+切

上为减函数，∙∙∙g(x)<g(0)=0,/(x)=I<0,得x>0或T<x<0均有f(x)<O排除选项A,C,

而F1中fx'+/1>+0D…。’得—故排除D∙综上，符合的只有选项B.故

又又X)=

选B.

1、函数图象：2、对数函数的性质.

10.已知函数/(x)=χ3-3xT,在区间［-3,2］上的最大值为M,最小值为N,则M—N=()

A.20B.18C.3D.0

【正确答案】A

【分析】求解导函数/'(X),从而判断函数的单调性，得函数”x)的极大值与极小值，再计算

/(-3),/(2)的值，从而得函数/(x)的最大值与最小值，即可得答案.

【详解】∕,(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),令洋(X)=0,

解得X=I或X=-1,当一3<x<-l和l<x<2时，>0；

当-ICX<1时，∕,(x)<0,

所以函数“X)在(-3,-1)和(1,2)上单调递增，在(TI)上单调递减,

所以函数〃x)的极大值为/(-1)=1,极小值为/⑴=-3,

X∕(-3)=(-3)3-3×(-3)-l=-19,/(2)=23-3X2-1=1,

所以M=l,N=—19,.∙.M-N=20.

故选：A

11.如图所示，已知正方体ABCO-AgGD,E,尸分别是正方形AfC。和AD2A的中心，则石尸

和Co所成的角是()

C.30°D.135°

【正确答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】如图建立空间直角坐标系,令正方体的棱长为2,则矶1,1,2),尸(1,0,1),D(0,0,0),C(0,2,0),

所以比=(0,T,T),DC=(0,2,0),

∖EF-DC∖241

设石产和Co所成的角为α,则COSa=

∣EF∣∙∣DC∣^2√2-2

12.已知函数"x)=e%x-l),若关于X的方程∣∕(x)-4+∣∕(x)-a-1∣=1有且仅有两个不同的整数

解，则实数〃的取值范围是()

--l,-ɪ-l23_T二-2,二

A.B.C.D.

ee-~2ee

【正确答案】A

【分析】考虑了(x)与。和4+1的关系，去掉绝对值号后可得"≤/(X)≤。+1,然后再通过导数研究

函数/(X)的图象，结合图象可得所求结果.

【详解】方程∣∕(x)-4+∣∕(x)-α-l∣=l等价于

f(x)≤a∣”∕(x)≤α+l[f(x)>a+∖

"3)-∕(x)+α+l=产[/(x)-"(x)+α+l=产L(X)-α+f(x)-aT=l

/(x)<a[a<f(x)<a+∖[f(x)>a+∖

即

/(ɪ)=a[1=1["x)=α+l

所以"≤∕(x)≤q+l.

V∕(A-)=et(x-l),

.∙.∕,(x)=e'(x-l)+er=xe',

.∙.当x<0时，∕,(x)<0,/(x)单调递减；当x>0时，/^x)>O,/(x)单调递增.

.∙.当x=0时，/(x)取得最小值，且/(x)mta=∕(0)=T∙

画出函数〃x)的图象，如下图所示：

由图象可得，要使关于X的方程∣∕(x)-α∣+∣∕(X)-α-l∣=l有且仅有两个不同的整数解,

即关于X的不等式组"M∕(x)≤α+1有且仅有两个不同的整数解,

23

只需/(T)≤α+l<∕J2),即-j≤α+i<-],

23

解得——∖≤a<---↑

ee~f

.∙.实数”的取值范围是-2-i,-W-i)∙

Lee-)

故选：A.

二、填空题

13.已知复数4=2+3,¾=2-i,若团<㈤，则实数4的取值范围为.

【正确答案】(-1,1)

【分析】先求出两个复数的模，再根据㈤<目|即可得解.

【详解】由Z∣=2+αi,Z2=2-i,

得IZll=J4+〃、㈤=有>

因为IZlICIZ2∣,

所以J4+/解得T<α<l,

所以实数«的取值范围为.

故答案为.(-1,1)

14.三个人踢健子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，键子又被踢

回给甲，则不同的传递方式共有种.

【正确答案】2

【分析】利用列举法求解.

【详解】解：传递方式有：甲乙丙甲，甲丙乙甲，共2种，

故2

γ

15.已知函数/(x)=j,在下列命题中，其中正确命题的序号有.

①曲线y=∕(χ)必存在一条与X轴平行的切线；

②函数y=∕(χ)有且仅有一个极大值，没有极小值；

③若方程/(x)-α=O有两个不同的实根，则实数α的取值范围是(-∞3}

④对任意的xeR,不等式/(x)<g恒成立；

⑤若“40或，则*,∙¾w(0,y),使不等式/(X)Na的解集恰为[X∣,Λ2].

【正确答案】①②④⑤

【分析】对函数求导，令r(χ)=o判断①；利用极大值和极小值的定义求解判断②；作出函数/(χ)

的图象判断③④⑤.

【详解】解：因为函数“X)=/,

所以r(χ)=二，令rα)=o,得X=1,故①正确；

当x<l时，f↑x)>O,/(x)递增；当x>l时，∕,(x)<0,f(x)递减，

所以当X=I时，/(X)取得极大值!，无极小值，故②正确；

作出函数f(χ)的图象如图所示：

由图象知：当时，方程/(x)-α=0有两个不同的实根，故③错误；

对任意的XeR,/(x)≤J<g,故④正确；

e2

当ae(0,马时，肛,x,eR∙,使不等式”x)≥”的解集恰为[玉闯，故⑤正确.

2e

故①②④⑤

16.已知函数4r)="eχ-2x—2α,且“G[l,2],设函数/(x)在区间[O,In2]上的最小值为机，则机

的取值范围是.

【正确答案】[-2,-2ln2J

【分析】先根据兀0是关于4的一次函数，结合一次函数单调性得函数,穴好最小值为M(X)=2(eχ-2)

-2x,再求M(X)的导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定M(X)值域，

即为实数〃?的取值范围.

【详解】g(a)=∙Λx)="(eχ-2)—2X是关于α的一次函数，∙.∙χC[0,In2],Λeχ-2<0,即y=g(α)是减

函数，

Va∈[l,2],

，g(a)min=2(ex—2)—2x,设Λ∕(x)=2(eχ-2)—2x,

则ΛΓ(x)=2eχ一2,Vx∈[O,In2],.,.M'(x)≥0,则M(X)在[0,In2J上为增函数，.∙.M(x)n⅛=M(O)=

—2,Λ∕(x)∣mx=M(ln2)=-21n2,的取值范围是[―2,—21n2J.

利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用r（χ）=o得可疑最值点，如导函数不变号，则根

据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小.

三、解答题

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD,底面ABCf）是边长为2的正方形，PD=DC,

F,G分别是PB,AQ的中点.

⑴求证：GFJL平面PCB；

⑵在4P上是否存在一点M,使得。M与PC所成角为60。？若存在，求出M点的位置，若不存在,

请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵在AP上存在一点M,点M为AP中点，使得。M与PC所成角为60。

【分析】（1）以点。为原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，建立平面PBC的法向量〃，证

得GFHn,即GFL平面PCB;

（2）设AM=2AP（4>O）,求得点M坐标表示，使用空间向量数量积公式，求得/1的值，即得到点

M的坐标.

【详解】（1）以。为原点，DA,DC、OP分别为x、y、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则G(l,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),F(Ll,1),

ΛGF=(0,1,1),PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2),

设平面PCB的法向量为"=(χ,y,z),

∕7∙PB=02x+2y-2z=0

则,即2y-=0'令…，则H,z=l,π=(0,1,1),

n-PC=02z

G尸〃〃，故G尸，平面PC8.

(2)设AM=；IAP(O4/141),则"(2-2∕l,0,2∕l),ΛDM=(2-2A,0,2Λ),

；OM与PC所成角为60。，PC=(0,2,-2),

-".cos60o=ICOS(DΛ∕,PC)∣=X=广［二=----，解得4=：,

1ZI2

∖∖DM∖-∖PC∖λ∕(2-2Λ)+4Γ×2√22

故在AP上存在一点M,点M为AP中点，使得。M与Pe所成角为60。.

18.已知函数/(x)=XlnX

⑴求”x)的单调区间和极值;

⑵若对任意XG(O〃》"='小；上3成立,求实数机的最大值.

【正确答案】(1)单调增区间是(5+/),单调减区间是(().极小值/(J=T,无极大值

(2)4

【分析】(1)求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值;

(2)对任意x∈(0,田］,f(χ)2士笠口成立，即,*≤辿亨*恒成立，构造函数

g(%)=2Xln72+3(χ>0),利用导数求出函数g(x)的最小值即可得解.

【详解】(1)⅛∕(x)=xlnx(x>0),得洋(X)=I+lnx,

令秋χ)>o,得χ>%令r(χ)<0,得0<x<∕,

.∙.”力的单调增区间是*+8),单调减区间是(θ,J),

故/(χ)在χ=g处有极小值无极大值；

(2)由/(χ)≥*+3及〃X)=XlnX,得〃7≤浊字*恒成立，

令g(x)=2xlnx：f+3(x>0),则g,(x)=2x*2—3,

由g'(x)>O=>%>l,由g'(x)vθnθvx<l,

所以g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数，

所以g(x)n⅛=g(l)=4,

因此加44,所以，徵的最大值是4.

19.如图，在四棱锥P-ABeD中，底面ABCD是边长为2石的菱形，NaW=60°,PD，平面A8C。,

PD=2√3,E是棱PQ上的一个点，OE=2叵，F为PC的中点.

3

(1)证明：BF//^ACEi

(2)求直线■与平面ACE所成角的正弦值.

AB

【正确答案】(1)见解析(2)Sine=叵

26

【详解】试题分析：(1)连接8£),取PE的中点G,所以OE//BG,所以BG//平面AEC,尸G〃平

面AEC,所以平面BGF〃平面AEC,所以5尸〃平面AEC；(2)建立空间直角坐标系，求出平面AeE

的法向量，求得线面夹角的正弦值.

试题解析：

(1)证明：连接3£),设BDCAC=O,取PE的中点G,连接8G,OE,尸G,

在ABr)C中，因为。,E分别为BQDG的中点，所以OE//BG,

又3G<Z平面AfC,所以BG〃平面A£C,

同理，在APEC中，FG"CE,FG"平面AEC,

BG,尸GU平面BGF,BGCFG=G

所以平面BGFH平面AEC

因为BFU平面AEC,所以BF〃平面AEC.

(2)以。为坐标原点，分别以03,0C所在的直线为χ,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-wz,

在等边三角形ABD中，因为A3=2√5,所以0A=3,0B=√L

/A、(C3

因此4(0,-3,0),40,3,0),芯-百,0,学7,P(-√3,O,2√3),F-^-,j,√3

且EC=√3,3,-^,OC=(0,3,0),AR=-ɪ,p√3

\/\

设平面ACE的一个法向量为〃=(χ,y,z),

则卜二「U」小⑶一¥二°,取χ=2,得,=(2,0,3),

"=。3尸0

直线AF与平面ACE所成的角为θ,

∣n∙ΛF∣∣-√3÷3√3∣

则2同网

λ^^+7+326

20.设函数/(x)=[0x2-(4z+l)x+4Λ+3]e*.

(1)若曲线y=∕(x)在点(1,/(1))处的切线与X轴平行，求〃；

(2)若f(x)在x=2处取得极小值，求。的取值范围.

【正确答案】(1)1(2)∣+∞

【详解】分析：(1)先求导数，再根据广⑴=。得。；(2)先求导数的零点：ɪ,2；再分类讨论,

根据是否满足f(x)在42处取得极小值，进行取舍，最后可得。的取值范围.

详解：解:(I)因为F(X)=画一(4α+l)x+4α+3]e),

所以厂(无)=\_2ax-(4α+l)]ex+[0r2-(4〃+1)x+44+3]ex(x∈R)

=[αr2-(2a+1)x+2]ex.

/(D=(IY)e.

由题设知/⑴=0,即(l-α)e=0,解得α=l.

此时f(l)=3e∕).

所以”的值为1.

(II)由(I)得广(X)=[αx2-(24+l)x+2]ex=(ax-l)(x-2)ex.

若a>[,则当XG(L2)时，/(x)<0；

2a

当XC(2,+oo)时，f'(x)>0.

所以f(x)<0在Λ-2处取得极小值.

若aS；,则当Xe(0,2)时，JC-2<0,^x-l<yx-l<0,

所以f(x)>0.

所以2不是/(x)的极小值点.

综上可知，”的取值范围是(；，+∞).

点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以

平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而

和导数联系起来求解.

21.(2017新课标全国In理科)如图，四面体ABCD中，AABC是正三角形，AACO是直角三角形，

NABD=NCBD,AB=BD.

(1)证明：平面AC。，平面A8C；

(2)过AC的平面交8。于点E,若平面AEC把四面体ABC。分成体积相等的两部分，求二面角

D-AE-C的余弦值.

【正确答案】(1)见解析；(2)立.

7

【详解】试题分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90。，则可得到面面垂直；

(2)利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角

Q-AE-C的余弦值为9.

试题解析：(1)由题设可得，AAB的ACBD,从而Az)=DC.

又ACo是直角三角形，所以ZAr>C=9()。.

取AC的中点。，连接则DOLAC,DO=AO.

又由于ABC是正三角形，故3。1AC

所以ND。B为二面角D-AC-B的平面角.

在mAO3中，BO2+AO2AB2.

又AB=BD,所以BO?+2=BO2+AO2=AB2=BD1,

故NOOB=90.

所以平面ACQJ_平面ABC.

(2)由题设及(1)知，OAOB,OD两两垂直，以。为坐标原点，04的方向为X轴正方

向，|。Al为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系。-肛z.则

A(l,0,0),β(0,√3,0),C(-l,0,0),D(0,0,l).

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCO的体积的果从而E到平面4BC的距离

为Q到平面ABC的距离的果即E为02的中点，得0°岑』.

/31

故A。=(TO,l),AC=(-2,0,0),AE=.

k>

-x+z=0,

设"=(x,Mz)是平面OAE的法向量，则〃,程U'即√31λ

n∙AE=O,-χ+——y+-z=O.

22

可取〃∏,ι

m`AC-0,同理可取机(

设m是平面AEC的法向量，则,=0,-1,

in∙AE=0,

则c°K"㈤=编=¥

所以二面角ZXAE-C的余弦值为日.

【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二

面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.

(2)设m,n分别为平面ɑ,少的法向量，则二面角，与〈孙”〉互补或相等，故有

ICOSel=ICOSm,"I=编.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

22.已知函数f(x)=(X-2)e*+α(x-1)?有两个零点.

(I)求a的取值范围；

(II)设X1,X2是/(x)的两个零点，证明.x∣+W<2

【正确答案】(I