广东省佛山市南海区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷

佛山市南海区20202021学年第二学期期末考试高一数学试题2021年7月本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．第1卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i是虚数单位，则复数z＝2i（1﹣i）的虚部是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．要得到函数y＝cos（2x+3）的图象，只要将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移3个单位C．向左平移3个单位 D．向右平移个单位3．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到了60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：252833505258596061628286113115140143146170175195202206233236238255260263264265293293294296301302303305305306321323325326328340343346348350352355357357358360370380383385．请你估算这批棉花的第75百分位数是（）A．334 B．327 C．328 D．3294．在四边形中，若．则（）A．四边形是矩形 B．四边形是菱形C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形5若函数的最大值为1．则实数（）A．1 B． C．3 D．6．，为平面向量，，，则，夹角的余法值等于（）A． B． C． D．7．中，，，则（）A． B． C． D．或8．设函数在的图像大致如下图，。则的最小正周期为（）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）．9．某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10%，属于第二档电价的家庭约占40%．属于第三档电价的家庭约占30%，属于第四档电价的家庭约占20%．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图．由此直方图可以做出的合理判断是（）A．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档 B．年均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档 C．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档 D．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数10．已知m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题正确的是（）A．AB与B1D所成的角为30° B．BA1与B1D1所成的角为60° C．A1B与平面A1DC所成的角为30° D．平面A1BD与平面ACC1A1所成的二面角是直二面角12．设有下面4个命题，正确的是（）A．若复数满足，则；B．若复数满足，则；C．若复数，满足，则；D．若复数满足，则．三、填空题（本题共4小题，征小题5分，共20分）13．一个正方体的顶点都在半径为R的球面上，则该正方体的体积为．14．农场种植的甲，乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如表：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲/kg800820800750810820乙/kg790860850750760790那种水稻的产量比较稳定的是（填甲或乙）．15．写出一个最小正周期为π的奇函数f（x）＝．（写一个即可）16．如图，菱形的边长为1，，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．则______，的余弦值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）在条件：①，②③，．且，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：中，内角，，所对边长分别是，，．若，，______。求的面积．（选择多个条件时，按你第一个选择结果给分）18．（本题满分12分）一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开：（I）使直线和平行于截面，在木块表面应该怎样画线（保留作图痕迹，简要说明）．（II）若是的重心，在条件（I）下求锯开的两个多面体的体积之比，19．（本题满分12分）在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组。给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组，小组代表两个打分组）小组：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5小组：甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.9（Ⅰ）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组与小组那个更专业？（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；（Ⅲ）若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）20．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形中（图1）．点是中点，点是中点，将，，分别沿，，折起．使，，三点重合于点（图2）（Ⅰ）求证：（Ⅱ）设是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．21．（本题满分12分）如图，已知直线．垂直于直线，，．点是的中点，是上一动点，作，且使与直线交于，设．（Ⅰ）写出的周长关于角的函数解析式；（Ⅱ）求的最小值．22．（本题满分12分）如图，要测量河对岸的塔高．请设计一个方案，包括：（Ⅰ）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）：（Ⅱ）用文字和公式写出计算的长的步骤．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设i是虚数单位，则复数z＝2i（1﹣i）的虚部是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2解：z＝2i（1﹣i）＝2+2i，其虚部为2，故选：B．2．要得到函数y＝cos（2x+3）的图象，只要将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移3个单位 D．向右平移个单位解：将函数y＝cos2x的图象象左平移个单位，可得函数y＝cos（2x+3）的图象，故选：A．3．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到了60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：252833505258596061628286113115140143146170175195202206233236238255260263264265293293294296301302303305305306321323325326328340343346348350352355357357358360370380383385．请你估算这批棉花的第75百分位数是（）A．334 B．327 C．328 D．329解：因为60×0.75＝45，且第45个数据为328，第46个数据为340，所以第75百分位数为．故选：A．4．在四边形ABCD中，若，则（）A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形解：∵，＝+，∴＝，∴ABDC，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：D．5．若函数的最大值为1，则实数m＝（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3解：＝＝＝+m，当（k∈Z），函数的最大值为2+m＝1，解得m＝﹣1．故选：B．6．平面向量，已知＝（4，3），＝（3，18），则夹角的余弦值等于（）A． B． C． D．解：设＝（x，y），∵a＝（4，3），2a+b＝（3，18），∴∴cosθ＝＝，故选：C．7．△ABC中，，，则cosA＝（）A． B． C． D．﹣或解：∵，又∵C∈（0，π），∴＝，∵sinC＞sinB，∴B必为锐角，即，∴＝，∴cosA＝cos[π﹣（B+C）]＝﹣cos（B+C）＝﹣cosBcosC+sinBsinC＝．故选：A．8．设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A． B． C． D．解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由图象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即为﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若选B，即有ω＝＝，由﹣×+＝2kπ+，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）．9．某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10%，属于第二档电价的家庭约占40%．属于第三档电价的家庭约占30%，属于第四档电价的家庭约占20%．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图．由此直方图可以做出的合理判断是（）A．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档 B．年均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档 C．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档 D．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数解：对于A，年月均用电量不超过80千瓦时的家庭的频率为0.0025×40＝0.1，属于第一档，故选项A正确；对于B，年均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭的频率为0.0040×40+0.0060×40+0.0045×40＝0.58＞0.50，不属于第二档，故选项B错误；对于C，年月均用电量超过240千瓦时的家庭的频率为0.0020×40+0.0010×40×3＝0.20，属于第四档，故选项C正确；对于D，由频率分布直方图可知，该组数据多集中在200以前的小数据，所以中位数应该较小，平均数因受极大值的影响，平均数应该大于中位数，故选项D正确．故选：ACD．10．已知m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β解：对于A，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则由线面平行的性质得m∥n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β或n⊂β，故C正确；对于D，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：BD．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题正确的是（）A．AB与B1D所成的角为30° B．BA1与B1D1所成的角为60° C．A1B与平面A1DC所成的角为30° D．平面A1BD与平面ACC1A1所成的二面角是直二面角解：不妨设，正方体的边长为1，对于A，因为AB∥A1B1，所以AB与B1D所成的角，即A1B1与B1D所成的角，即∠A1B1D，又，故A错误；对于B，因为BD∥B1D1，所以BA1与B1D1所成的角，即BA1与BD所成的角，即∠DBA1，又△BDA1是等边三角形，所以∠DBA1＝60°，故B正确；对于C，因为A1D∥B1C，所以A1，D，B1，C四点共面，连接BC1交CB1于点M，所以BC1⊥CB1，因为A1B1⊥平面BCC1B1且BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，又A1B1，CB1⊂平面BCC1B1且A1B1∩CB1＝B1，所以BC1⊥平面A1DCB1，即BM⊥平面A1DCB1，所以直线BA1与平面A1DC所成的角，即∠BA1M，又A1M⊂平面BCC1B1，所以BM⊥A1M，因为，又∠BA1M为锐角，所以∠BA1M＝30°，故C正确．对于D，因为AA1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，又BD⊥AC，且AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面ACC1A1，又BD⊂平面A1BD，根据面面垂直的判定定理可得平面A1BD⊥平面ACC1A1，故D正确．故选：BCD．12．设有下面4个命题，正确的是（）A．若复数z满足，则z∈R B．若复数z满足z2∈R，则z∈R C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝ D．若复数z满足z∈R，则∈R解：根据题意，依次分析选项：对于A，设z＝a+bi，则＝＝（a﹣bi），若，必有b＝0，则z∈R，A正确；对于B，若z＝i，则z2＝i2＝﹣1∈R，B错误；对于C，若z1＝i，z2＝﹣2i，则z1z2＝2∈R，C错误；对于D，设z＝a+bi，若复数z满足z∈R，则b＝0，则＝a，必有∈R，D正确；故选：AD．三、填空题（本题共4小题，征小题5分，共20分）13．一个正方体的顶点都在半径为R的球面上，则该正方体的体积为．解：设正方体的棱长为a，所以a2+a2+a2＝（2R）2，则，所以，所以．故答案为：．14．农场种植的甲，乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如表：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲/kg800820800750810820乙/kg790860850750760790那种水稻的产量比较稳定的是甲（填甲或乙）．解：由表中的数据，可得甲的平均产量＝，甲的方差•••+（820﹣800）2]≈566.67，乙的平均产量，乙的方差+••••+（790﹣800）2≈1733.33，甲乙的平均产量相等，甲的方差比乙的小，根据方差的定义，甲的产量波动小，甲稳定．故答案为：甲．15．写出一个最小正周期为π的奇函数f（x）＝sin2x．（写一个即可）解：写出一个最小正周期为π的奇函数为f（x）＝sin2x，故答案为：sin2x．16．如图，菱形ABCD的边长为1，∠BAD＝60°，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则＝，∠EMF的余弦值为﹣．解：根据题意，菱形ABCD的边长为1，∠BAD＝60°，则∠ABC＝120°，F是BC边上靠近点B的三等分点，则＝，则＝+＝+，则||2＝2+•+2＝，故||＝，设∠EMF＝θ，即和的夹角为θ，即和的夹角为θ，E是AB的中点，则＝，＝﹣＝﹣，则||2＝|﹣|2＝2﹣•+2＝，则||＝；•＝（﹣）•（+）＝（﹣）•（+）＝×2﹣×2﹣•＝﹣，则cosθ＝＝＝﹣，即∠EMF的余弦值为﹣；故答案为：，﹣．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在条件：①acosC+asinC﹣b﹣c＝0，②（c﹣b）2＝a2﹣bc，③＝（a，b），＝（cosA，sinB），且∥；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：△ABC中，内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若b＝2，c＝，____．求△ABC的面积．解：选择条件①：由正弦定理知，，∵acosC+asinC﹣b﹣c＝0，∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinC＝sinAcosC+cosAsinC，化简得，sinAsinC﹣sinC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴sinA﹣1＝cosA，即2sin（A﹣）＝1，∵A∈（0，π），∴A﹣＝，即A＝，∴sinA＝，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×2××＝．选择条件②：∵（c﹣b）2＝a2﹣bc，∴b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理知，cosA＝＝＝，∵A∈（0，π），∴sinA＝，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×2××＝．选择条件③：∵∥，∴asinB＝bcosA，由正弦定理知，＝，∴sinAsinB＝sinBcosA，∵sinB≠0，∴sinA＝cosA，即tanA＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝，sinA＝，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×2××＝．18．一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开．（Ⅰ）使直线VB和VC平行于截面，在木块表面应该怎样画线（保留作图痕迹，简要说明）．（Ⅱ）若P是△VAC的重心，在条件（Ⅰ）下求锯开的两个多面体的体积之比，解：（Ⅰ）过平面VAC内一点P作直线DE∥VC，交VA于D，交AC于E；过平面VBA内一点D作直线DF∥VB，交AB于F，则DE，DF所确定的截面DEF为所求，如图所示：（Ⅱ）若P是△VAC的重心，则△DEF与△VCB的相似比为，所以三棱锥A﹣DEF与三棱锥A﹣VCB的体积比为＝，所以锯开的两个多面体的体积之比：（1﹣）＝8：19．19．在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组A，小组B代表两个打分组）小组A：甲：7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.5乙：7.07.87.87.88.08.08.38.38.58.5小组B：甲：7.47.57.57.68.08.08.28.99.09.0乙：6.97.57.67.87.88.08.08.59.09.9（Ⅰ）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组A与小组B那个更专业？（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；（Ⅲ）若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）解：（Ⅰ）对于小组A，＝（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5）＝8.1，＝[（7.5﹣8.1）2+（7.5﹣8.1）2+（7.8﹣8.1）2+（7.8﹣8.1）2+（8.0﹣8.1）2+（8.0﹣8.1）2+（8.2﹣8.1）2+（8.3﹣8.1）2+（8.4﹣8.1）2+（9.5﹣8.1）2]＝＝0.302．小组B：＝（7.4+7.5+7.5+7.6+8.0+8.0+8.2+8.9+9.0+9.9）＝8.2，＝[（7.4﹣8.2）2+（7.5﹣8.2）2+（7.5﹣8.2）2+（7.6﹣8.2）2+（8.0﹣8.2）2+（8.0﹣8.2）2+（8.2﹣8.2）2+（8.9﹣8.2）2+（9.0﹣8.2）2+（9.9﹣8.2）2]＝，∵0.302＜0.608，∴小组A是专业评委．（Ⅱ）＝（7.5+7.5+7.8+7.8+8.0+8.0+8.2+8.3+8.4+9.5）＝8.1，＝（7.0+