ch8：矩阵特征值与特征向量计算1

第八章矩阵特征值和特征向量计算

/*CalculationofEigenvalueandEigenvectorofMatrix*/

特征值与特征向量Ax=

x(

C,

x

0)

性质(1)tr(A)=

a11+a22++ann=

1+2++n(2)det(A)=

1

2

n(3)假设B=P-1AP那么A与B具有相同的特征值；x是B的特征向量

Px是A的特征向量.圆盘定理设可是A的特征值，那么盖尔(Gerschgorin)圆盘定理(i=1,2,...,n)即

一定包含在复平面上以

aii

为圆心，为半径的某个圆中。瑞勒商(RayleighQuotient)定理设

A是

n

阶实对称矩阵，其特征值为那么有其中

称为关于

x的

Rayleigh商。乘幂法和反幂法

乘幂法：计算实矩阵按模最大

的特征值假设：(1)|

1|>|

2|…|

n|0(2)

对应的

n个线性无关特征向量为：x1,x2,...,xn。计算过程：任取一个非零向量v，要求满足(x1,v)

0计算v1=Av0,v2=Av1,...,vk+1=Avk,...，直到收敛。

收敛分析当k

充分大时，有又(j=1,2,...,n)vk为

1

的近似特征向量乘幂法的收敛速度取决于的大小。

算法(乘幂法)任取非零向量v0，计算1.vk+1=Avk2.对vk中所有非零分量(vk)j，判断是否近似于某个常数，如果是，则停机；否则转第1步。求矩阵按模最大的特征值。要求自己编写Matlab程序,进行计算并给出结果.乘幂法中存在的问题：改进：标准化表示绝对值最大的分量练习题改进的乘幂法算法任取非零向量v03.计算Pk+1，假设|Pk+1-Pk|，那么输出Pk+1并停机；否那么令k=k+1，转第2步。改进的乘幂法1.求出vk中按模最大的分量，设为Pk2.计算例：用改进的乘幂法求按模最大的特征值和相应的特征向量。要求自己编写Matlab程序,进行计算并给出结果.乘幂法的加速乘幂法的收敛速度取决于的大小。

原点平移法当r接近于1时，乘幂法收敛可能会很慢！如何加速？设B=A–pI，那么B的特征值为：i-p选择适当的p满足：(1)(j=2,...,n)(2)用乘幂法求出矩阵B的按模最大的特征值：

1

-

pRayleigh商加速设

A是

n

阶实对称矩阵，其特征值为对应的特征向量

x1,x2,...,xn

满足：，使用改进的乘幂法计算A的按模最大特征值1时，uk的Rayleigh商给出了1的较好的近似，即证：定理反幂法

设A是n阶非奇异矩阵，其特征值为对应的特征向量为

x1,x2,...,xn；

反幂法适应范围：计算实矩阵按模最小

的特征值则

A-1

的特征值为：对应的特征向量仍然为

x1,x2,...,xn。计算A的按模最小特征值

计算A-1的按模最大特征值

反幂法：对A-1利用乘幂法，计算

A的按模最小特征值

A可对角化反幂法算法任取非零向量v0，令k=03.计算Qk+1，假设|Qk+1-Qk|，那么输出Qk+1并停机；否那么令k=k+1，转第2步。反幂法1.求出vk中按模最大的分量，设为Qk

2.计算注：(1)可通过解方程组

Avk+1=

uk来计算

vk+1=

A-1uk

(2)比值越小，反幂法的收敛速度越快。结合原点平移的反幂法原点平移：设B=A–pI，那么B的特征值为：i-p设p是

i

的一个近似(p

i

但

p

i

)，且满足：(j=1,...,n,j

i)那么可用反幂法求出矩阵A的特征值i及其特征向量。注：对于给定的p，原点平移反幂法得到的是最靠近p的特征值及其特征向量。例：用反幂法计算的最靠近p=-13的特征值和相应的特征向量。Jacobi方法

古典Jacobi方法改进的Jacobi方法Jacobi方法评述