高考数学一轮复习训练第1章第3讲全称量词与存在量词

第一章第3讲[A级基础达标]1．以下四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，eq\f(1,x)>2【答案】B2．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋4≤0，则¬p为()A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0B．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋4>0C．∀x∉R，x2－2x＋4≤0D．∃x0∉R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋4>0【答案】B3．下列命题中为假命题的是()A．∀x∈R，ex>0B．∀x∈N，x2>0C．∃x0∈R，lnx0＜1D．∃x0∈N*，sineq\f(πx0,2)＝1【答案】B4．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，eq\r(x2)＝xD．对数函数在定义域上是单调函数【答案】D5．已知命题p：所有的指数函数都是单调函数，则¬p为()A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数【答案】C6．已知命题“∃x0∈R,4xeq\o\al(2,0)＋(a－2)x0＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0) B．[0,4]C．[4，＋∞) D．(0,4)【答案】D【解析】因为命题“∃x0∈R,4xeq\o\al(2,0)＋(a－2)x0＋eq\f(1,4)≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)·x＋eq\f(1,4)>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×eq\f(1,4)＝a2－4a<0，解得0<a<4.7．下列命题为真命题的是()A．∀x∈R，cosx＜2B．∃x∈Z，log2(3x－1)＜0C．∀x＞0,3x＞3D．∃x∈Q，方程eq\r(2)x－2＝0有解【答案】A【解析】A中，由于函数y＝cosx的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔eq\f(1,3)<xeq\f(2,3)，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，eq\r(2)x－2＝0⇔x＝eq\r(2)∉Q，所以D是假命题．8．下列命题中，真命题是()A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1【答案】D【解析】因为y＝ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为当x＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B不正确；“eq\f(a,b)＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；当a＞1，b＞1时，显然ab＞1，D正确．9．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则k的取值范围是________【答案】(－4,0]【解析】“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，当k＝0时，则有－1＜0，满足题意；当k≠0时，则有k＜0且Δ＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0.综上所述，实数k的取值范围是(－4,010．若“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，m≤tanx＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．【答案】0【解析】由“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，m≤tanx＋1”为真命题，可得－1≤tanx≤1，所以0≤tanx＋1≤2，所以实数m的最大值为0.11．已知命题“∀x∈R，sinx－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________【答案】(－∞，－1]【解析】由题意，对∀x∈R，a≤sinx成立．由于对∀x∈R，－1≤sinx≤1，所以a≤－1.12．已知命题：“∃x0∈[1,2]，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．【答案】[－8，＋∞)【解析】当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，所以a≥－8.[B级能力提升]13．(2020年石家庄质检)命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0【答案】D【解析】根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝014．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5【答案】C【解析】当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,2]．又y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4eq\o(⇒,/)a≥5，a≥5⇒a≥4，所以选项C满足．15．若命题“∃a0∈[1,3]，使a0x2＋(a0－2)x－2＞0”是真命题，则实数x的取值范围为________【答案】(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))【解析】令f(a0)＝a0x2＋(a0－2)x－2＝(x2＋x)a0－2x－2，则f(a0)是关于a0的一次函数，由题意得(x2＋x)－2x－2＞0或(x2＋x)·3－2x－2＞0，解得x＜－1或x＞eq\f(2,3).16．若“∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2xeq\o\al(2,0)－λx0＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________．【答案】(－∞，2eq\r(2)]【解析】若“∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2xeq\o\al(2,0)－λx0＋1<0成立”是假命题，即“∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得λ>2x0＋eq\f(1,x0)成立”是假命题，所以对“∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，λ≤2x＋eq\f(1,x)”为真命题，即λ≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))min，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).因为2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，当2x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(2),2)时等号成立，故λ≤2eq\r(2).[C级创新突破]17．(多选)下列说法正确的是()A．命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)<－1”B．命题“∃x0∈(－3，＋∞)，xeq\o\al(2,0)≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2>9”C．对一切实数x＜0，都有|x|＞xD．“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件【答案】BCD【解析】A．命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)≤－1”，故错误；B．命题“∃x0∈(－3，＋∞)，xeq\o\al(2,0)≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2>9”，正确；C．显然正确；D．关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－4m>0，,m<0))⇔m<0，所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件，正确．18．(一题两空)已知命题p：∀x∈(－∞，2)，eq\f(3,x－2)<1，则¬p为__________，其中为真命题的是______(填“p”或“¬p”)．【答案】∃x0∈(－∞，2)，eq\f(3,x0－2)≥1p【解析】因为全称命题的否定是特称命题，且需改写全称量词为存在量词，所以全称命题p：∀x∈eq\b\lc\(\