高中数学北师大版练习第五章1-1利用函数性质判定方程解的存在性

第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1．1利用函数性质判定方程解的存在性水平11．函数f(x)＝x2的零点是(0，0).()2．函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有唯一一个零点．()3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．()4．若函数y＝f(x)在(a，b)上f(a)·f(b)＞0，则在区间(a，b)内一定没有零点．()5．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0．()【解析】1.提示：×.函数的零点不是点，是一个实数．2．提示：×.在(a，b)内至少有一个零点．3．√4．提示：×.如函数f(x)＝(x－1)2在区间(0，2)上有f(0)·f(2)＞0，但是在区间(0，2)上有零点1.5．提示：×.如函数f(x)＝(x－1)2在区间(0，2)上只有零点1，但是f(0)·f(2)＞0.·题组一求函数零点、判断函数零点所在区间1．函数f(x)＝3x－2的零点为()A．log32 B．3eq\s\up6(\f(1,2))C．2eq\s\up6(\f(1,3)) D．log23【解析】选A.由f(x)＝3x－2＝0，得3x＝2，即x＝log32.2．函数f(x)＝log2x－eq\f(3,x)的零点所在的大致区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【解析】选C.由题意，f(2)＝1－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)<0，f(3)＝log23－1>0，所以f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)＝log2x－eq\f(3,x)的零点所在的大致区间是(2，3).3．函数f(x)＝ln2x－3lnx＋2的零点是()A．(e，0)或(e2，0) B．(1，0)或(e2，0)C．(e2，0) D．e或e2【解析】选D.f(x)＝ln2x－3lnx＋2＝(lnx－1)(lnx－2)，由f(x)＝0得x＝e或x＝e2，而函数零点指的是曲线与坐标横轴交点的横坐标．4．(多选)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点是()A．1 B．－3C．e2 D．3【解析】选BC.当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x>0))的零点为－3和e2.5．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为()A．(0，2) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】选C.令f(x)＝log3x＋x－3，则f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，f(2)＝log32＋2－3＝log3eq\f(2,3)<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，f(4)＝log34＋4－3＝log312>0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2，3).6．函数f(x)＝eq\f(1,2)lnx＋x－2的零点所在的区间是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) B．(1，2)C．(e，3) D．(2，e)【解析】选B.因为函数的定义域为(0，＋∞)，是单调增函数，又f(1)＝0－1<0，f(2)＝eq\f(1,2)ln2>0，故有f(1)·f(2)<0，所以函数零点所在的区间是(1，2).·题组二判断函数零点的个数1．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)－x的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】选B.令f(x)＝0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x－x＝0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x＝x，画出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，y＝x的图象如图所示，由图可知，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，y＝x的图象有一个交点，即f(x)＝0有一个零点．2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】选B.易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝eq\f(1,2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点．3．已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】选B.函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数．画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.4．函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数为()A．4 B．3C．2 D．1【解析】选D.方法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，所以f(x)在(0，2)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．方法二：如图，在同一坐标系中，作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象．由图知，g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．·题组三由函数的零点求参数的取值范围1．若函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是()A．－2 B．0C．1 D．3【解析】选A.f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1，2)上有零点，同理，其他选项不符合．2．若关于x的函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋2m－1在(0，1)内有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是________．【解析】已知函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋2m－1在区间(0，1)内有且仅有一个零点，当Δ＝0时，(m－2)2－4(2m－1)＝0，解得m＝6±2eq\r(7)，若m＝6＋2eq\r(7)，方程的根为x＝eq\f(2－m,2)＝eq\f(2－6－2\r(7),2)＝－2－eq\r(7)∉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，舍去；当m＝6－2eq\r(7)，方程的根为x＝eq\f(2－m,2)＝eq\f(2－6＋2\r(7),2)＝eq\r(7)－2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，符合题意；当Δ>0时，(m－2)2－4(2m－1)>0，解得m<6－2eq\r(7)或m>6＋2eq\r(7)，由题可得f(0)f(1)<0，所以(2m－1)(1＋m－2＋2m－1)<0，解得eq\f(1,2)<m<eq\f(2,3)，又当f(0)＝0时，m＝eq\f(1,2)，此时方程另一根为x＝eq\f(5,2)∉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，舍去；当f(1)＝0时，m＝eq\f(2,3)，此时方程另一根为x＝eq\f(1,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，符合题意，综上所述：实数m的取值范围是eq\f(1,2)<m≤eq\f(2,3)或m＝6－2eq\r(7).答案：eq\f(1,2)<m≤eq\f(2,3)或m＝6－2eq\r(7)3．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【解析】令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知，函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0<b<2.答案：(0，2)易错点一因“望文生义”而致误函数f(x)＝x2－3x＋2的零点是()A．(1，0)B．(2，0)C．(1，0)，(2，0)D．1，2【解析】选D.由f(x)＝x2－3x＋2＝0得，x＝1和2.【易错误区】错误的原因是没有理解零点的概念，“望文生义”，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，既是f(x)＝0成立的实数x，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．易错点二因忽略区间端点而致误已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围是________．【解析】(1)当方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0，1]上有两个相等实根时，Δ＝(m－1)2－8m＝0且0<eq\f(m－1,2)<1，此时无解．(2)当方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实根时，有且只有一根在[0，1]上时，①当只有一个根在[0，1]上时，有f(0)·f(1)<0，即2m(m＋2)<0，解得－2<m<0.②当f(0)＝0时，m＝0，f(x)＝x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，合题意．③当f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，0].答案：[－2，0]【易错误区】错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在[0，1]上有二重根；②终点的函数值可能为0.所以在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化．水平1、2限时30分钟分值60分战报得分______一、选择题(每小题5分，共30分)1．(多选)下列函数中，是奇函数且存在零点的是()A．y＝x3＋x B．y＝log2xC．y＝2x2－3 D．y＝x|x|【解析】选AD.A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符．2．函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】选B.因为函数f(x)＝2x＋log2x－3在定义域上为增函数．又f(1)＝2＋log21－3＝－1<0，f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2>0，所以f(1)·f(2)<0，根据零点存在性定理知，f(x)的零点所在区间为(1，2).3．函数f(x)＝(2x－2)·ln(x－2)的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】选B.函数的定义域为{x|x>2}，令(2x－2)·ln(x－2)＝0，因为2x－2>0，可得ln(x－2)＝0，解得x＝3.所以函数的零点只有1个．【易错警示】本题容易出现忽视定义域的错误，误认为零点个数为2.4．(多选)函数f(x)＝|x2－4x|－m恰好有两个不同零点，则m的值可以是()A．5 B．4 C．2 D．0【解析】选AD.由f(x)＝0可得m＝|x2－4x|，作出y＝|x2－4x|的函数图象如图所示：因为f(x)恰好有两个不同的零点，所以直线y＝m与y＝|x2－4x|的图象有两个不同的交点，所以m＝0或m>4.【变式备选】已知函数f(x)=mx2+2x1有且仅有一个正实数的零点,则实数m的取值范围是__________.

【解析】当m=0时,零点为x=QUOTE,满足题意.当m≠0时,Δ=4+4m≥0,解得m>0或1≤m<0,设x1,x2是函数的两个零点,则x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE.若m=1,函数只有一个零点1,满足题意;若1<m<0,则x1,x2均为正数,不符合题意,舍去;若m>0,则x1,x2一正一负,满足题意.综上,实数m的取值范围是{1}∪[0,+∞).答案:{1}∪[0,+∞)5．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和eq\f(1,6) B．1和－eq\f(1,6)C．eq\f(1,2)和eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)和eq\r(3)【解析】选B.因为函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝6，))所以g(x)＝6x2－5x－1，所以g(x)的零点为1和－eq\f(1,6).6．(多选)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2，x∈（－∞，0）,lnx，x∈（0，1）,－x2＋4x－3，x∈[1，＋∞）))，若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是()A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】选ABC.画出函数f(x)的图象，x∈[1，＋∞)时，f(x)＝－(x－2)2＋1.若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m＝1或m≤0.因此m可以为－1，0，1.二、填空题(每小题5分，共20分)7．函数f(x)＝log2x＋3x－k的零点所在的区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，则k的取值范围是________．【解析】f(1)＝3－k，f(2)＝1＋9－k＝10－k，因为函数f(x)的零点所在的区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，由零点存在定理可知f(1)f(2)＝(3－k)(10－k)<0，解得3<k<10.答案：3<k<108．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________.【解析】画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示：观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.答案：a＜b＜c9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示：由图可知，－a≤1，解得a≥－1答案：[－1，＋∞)作出函数f(x)的图象，如图所示：,y＝f(f(x)＋m)有四个零点，,所以f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有两个根，,所以\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<－2－m≤4，,－1<1－m≤4，)),解得－3≤m<－1.答案：[－3，－1))10．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝________．图(1)图(2)【解析】由题干中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g