高二数学北师大版必修5学案1-2-1第2课时等差数列的性质及应用

第2课时等差数列的性质及应用知识点一等差中项[填一填]如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A就叫作a与b的等差中项，其中A＝eq\f(a＋b,2).[答一答]1．任意两实数都有等差中项吗？提示：有．知识点二等差数列的若干性质[填一填](1)给出等差数列的任意两项an，am，可得d＝eq\f(an－am,n－m)，an－am＝(n－m)d.(2)结合等差中项公式可知，若m，n，p∈N＋，且2p＝m＋n，则2ap＝am＋an.若m，n，p，q∈N＋，且p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.(3)若数列{an}是公差为d的等差数列，①数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．②抽取下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md特殊地，一个等差数列的奇数项、偶数项构成的新数列依然为等差数列．③若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn}(k，m∈N＋)也成等差数列．[答一答]2．怎样判断一个数列是否为等差数列？提示：判断一个数列是否为等差数列的方法：(1)定义法：若an－an－1＝d(d是常数，n≥2，且n∈N＋)，则数列{an}是等差数列．(2)等差中项法：若2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N＋)，则数列{an}是等差数列．(3)若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列．1．证明{an}为等差数列的方法(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列．(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列．(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列．2．三数成等差数列的设法为：a－d，a，a＋d，其中d为公差；四数成等差数列的设法为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其公差为2d.类型一等差中项的应用【例1】已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，求证：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)也成等差数列．【思路探究】解答本题的关键是如何转化为恒等式的证明.eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)，要证结论成立，只要证明eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(2(a＋c),b)即可．【证明】证明：证法一：因为eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．因为eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(c(b＋c)＋a(a＋b),ac)＝eq\f(c2＋a2＋b(a＋c),ac)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq\f(2(a＋c)2,b(a＋c))＝eq\f(2(a＋c),b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列，证法二：因为eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，所以eq\f(a＋b＋c,a)，eq\f(a＋b＋c,b)，eq\f(a＋b＋c,c)成等差数列，即eq\f(b＋c,a)＋1，eq\f(a＋c,b)＋1，eq\f(a＋b,c)＋1成等差数列，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差数列．规律方法证明三个数成等差数列，一般可根据定义或等差中项将问题转化为证明等式成立，根据等差数列各项乘以(或除以)同一个常数(非零整数)或加(或减)同一个常数所得数列仍是等差数列，再结合问题条件亦可证明．已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？解：因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．【例2】求下列各题中两个数的等差中项．(1)20与30；(2)－14与8；(3)1＋eq\r(3)与2－eq\r(3)；(4)a＋b与a－b.【解】(1)20与30的等差中项A＝eq\f(20＋30,2)＝25.(2)－14与8的等差中项A＝eq\f(－14＋8,2)＝－3.(3)1＋eq\r(3)与2－eq\r(3)的等差中项A＝eq\f(1＋\r(3)＋2－\r(3),2)＝eq\f(3,2).(4)a＋b与a－b的等差中项A＝eq\f(a＋b＋a－b,2)＝a.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是3解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6，所以m与n的等差中项为eq\f(m＋n,2)＝eq\f(6,2)＝3.类型二等差数列性质的应用【例3】在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列{a【思路探究】由已知条件可列出两个关于a1，d的方程，联立方程求出a1及d，但解方程的计算量过大，故可考虑利用等差数列的性质求解．【解】∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，解得a4＝∴a2＋a6＝10，且a2a6＝9∴a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两个根，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a6＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,a6＝1.))若a2＝1，a6＝9，则d＝eq\f(a6－a2,6－2)＝2，∴an＝2n－3；若a2＝9，a6＝1，则d＝eq\f(a6－a2,6－2)＝－2，∴an＝13－2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n－3或an＝13－2n.规律方法利用等差数列的性质“若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N＋，则am＋an＝ap＋aq”来求等差数列的某一项，可以简化解题过程，减少计算量．(1)若{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，求a75.(2)若{an}为等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：(1)方法一：由已知条件，得a15＝a1＋14d＝8，①a60＝a1＋59d＝20.②由①②解得a1＝eq\f(64,15)，d＝eq\f(4,15)，故a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.方法二：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．设新的等差数列的公差为d1，则a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20，解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24.(2)∵{an}是等差数列，∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9又∵a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，∴a9＝117，∴a3＋a15＝2a9＝类型三探索性问题的解法【例4】已知等差数列{an}中，a15＝33，a45＝153，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项；若不是，说明理由．【思路探究】这是一个探索性问题，但由于在条件中已知两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义．【解】解法一：由通项公式，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a15＝a1＋14d＝33，,a45＝a1＋44d＝153，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－23，,d＝4.))故an＝－23＋4(n－1)．若217＝－23＋4(n－1)，得n＝61，符合题意，所以217是已知等差数列{an}中的项，且为第61项．解法二：由等差数列性质，得a45－a15＝30d＝153－33，即d＝4.又an＝a15＋(n－15)d＝33＋4(n－15)，若217＝33＋4(n－15)，解得n＝61，符合题意，所以217是已知等差数列{an}中的项，且为第61项．解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图像是一些共线的点．由于P(15,33)，Q(45,153)，R(n,217)在同一条直线上．故有eq\f(153－33,45－15)＝eq\f(217－153,n－45)，解得n＝61，符合题意，所以217是已知等差数列{an}中的项，且为第61项．规律方法本题给出了三种解法，第一种是基本解法，第二种运用性质求解，第三种运用等差数列的几何意义求解，在实际解题过程中我们尽量避免繁琐的运算，采用简单的方法求解．已知等差数列{an}的前三项之和为18，前三项平方和为116，且该数列为递增数列，试判断110是不是等差数列{an}中的项，如果是，是第几项？如果不是，说明理由．解：解法一：因为{an}为递增数列，所以a1<a2<a3.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝18，,a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)＝116，,2a2＝a1＋a3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,a2＝6，,a3＝8，))所以d＝a2－a1＝2，an＝4＋2(n－1)＝2n.令2n＝110⇒n＝55，所以110是等差数列{an}的第55项．解法二：设等差数列前三项为a－d，a，a＋d，于是可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝18，①,(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝116，②))由①得a＝6，代入②得d＝±2.因为该数列是递增的，所以d＝－2，舍去，所以d＝2.所以an＝6－2＋2(n－1)＝2n，以下同解法一．类型四等差数列的实际应用【例5】甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某甲虫1min内的爬行时间与相应的爬行距离：时间/s123……60距离/cm9.819.629.4…49…(1)你能建立一个模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算：甲虫1min能爬多远？爬行49cm需要多长时间？【思路探究】观察上表可知甲虫每秒爬行的距离相等，即可建立等差数列模型，最后将数据代入模型即可求得结果．【解】(1)能．以1,2,3，…，60为数列{an}的序号，9.8,19.6,29.4，…，为数列{an}的对应项，由表可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以可建立等差数列模型．∵a1＝9.8，d＝9.8，∴甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s＝9.8t(t∈N＋，t≤60)．(2)当t＝1min＝60s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm)．当s＝49cm时，t＝eq\f(s,9.8)＝eq\f(49,9.8)＝5(s)．答：甲虫1min能爬588cm，爬行49cm需要5s.规律方法解决实际问题通常需要建立适当的数学模型，本题首先要能抽象出等差数列模型，这需要根据表中数据的规律去分析，其次是要分清求解什么．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费．解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．——多维探究系列——等差数列的性质的灵活运用1．灵活运用等差数列的性质，求等差数列的几个量，可以简化运算，提高解题速度及准确性．2．对于性质：“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq”，在应用时，首先找到(或凑出)项数和相等的条件，然后根据需要把一式用另一式代替．解决此类问题要有整体代换意识．【例6】在等差数列{an}中，(1)已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13【规范解答】(1)解法一：∵a3＋a7＝2a5＝a4＋a6＝a2＋a8∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝∴a2＋a8＝2a5＝解法二：设首项为a1，公差为d.∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝(2)方法一：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±eq\f(3,5).当d＝eq\f(3,5)时，a1＝－eq\f(1,5)，an＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5)；当d＝－eq\f(3,5)时，a1＝eq\f(41,5)，an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).方法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)∴16－25d2＝7，∴d＝±eq\f(3,5).当d＝eq\f(3,5)时，an＝a8＋(n－8)d＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5)；当d＝－eq\f(3,5)时，an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).方法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12∴a8＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a13＝8，,a3a13＝7，))∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝1，,a13＝7))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝7，,a13＝1.))由a3＝1，a13＝7，得d＝eq\f(a13－a3,13－3)＝eq\f(3,5)，∴an＝a3＋(n－3)d＝eq\f(3,5)n－eq\f(4,5).同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－eq\f(3,5)n＋eq\f(44,5).【名师点评】方法一是“基本量”法，是通法；方法二运用了等差数列的性质，过程较简单；方法三是构造方程；运用方程思想求解．在等差数列{an}中：(1)a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝187，求a1和d；(2)a1＋a5＋a9＝39，a2＋a6＋a10＝48，求a7＋a11＋a15的值．解：(1)∵a4＋a5＋a6＋a7＝2(a4＋a7)＝56，∴a4＋a7＝28，又a4·a7＝187，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝11，,a7＝17))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝17，,a7＝11，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝23，,d＝－2.))(2)设bn＝an＋an＋4＋an＋8，则b1＝39，b2＝48，∵{an}是等差数列，∴{bn}是等差数列，公差d′＝b2－b1＝9，∴a7＋a11＋a15＝b7＝b1＋6d′＝39＋54＝93.一、选择题1．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(A)A．3 B．－3C.eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)解析：由等差数列的性质a4＋a5＝a2＋a7，∴a2＝3.2．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a