中考数学一轮复习考点(精讲精练)复习专题38 几何最值之阿氏圆问题(原卷版)_第1页
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专题38专题38几何最值之阿氏圆问题方法技巧方法技巧问题分析:“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”。模型展示:如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.(1)角平分线定理:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,则SKIPIF1<0.证明:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0(2)外角平分线定理:如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则SKIPIF1<0.证明:在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD≌△AED(SAS),CD=ED且AD平分∠BDE,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.接下来开始证明步骤:如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,SKIPIF1<0,故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点;作∠APB外角平分线交直线AB于N点,根据外角平分线定理,SKIPIF1<0,故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点;又∠MPN=90°,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.模型最值技巧:计算SKIPIF1<0的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题:在圆上找一点P使得SKIPIF1<0的值最小,解决步骤具体如下:①如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB②计算出这两条线段的长度比SKIPIF1<0③在OB上取一点C,使得SKIPIF1<0,即构造△POM∽△BOP,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0④则SKIPIF1<0,当A、P、C三点共线时可得最小值题型精讲题型精讲【例1】如图,已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,则SKIPIF1<0的最大值为_______.【例2】如图,菱形SKIPIF1<0的边长为2,锐角大小为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点E,在SKIPIF1<0上任取一点P,则SKIPIF1<0的最小值为___________.【例3】如图,在SKIPIF1<0中,∠C=90°,CA=3,CB=4.SKIPIF1<0的半径为2,点P是SKIPIF1<0上一动点,则SKIPIF1<0的最小值______________SKIPIF1<0的最小值_______提分作业提分作业1.如图,矩形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,以B为圆心,以SKIPIF1<0为半径画圆交边SKIPIF1<0于点E,点P是弧SKIPIF1<0上的一个动点,连结SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值为()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.如图,已知菱形SKIPIF1<0的边长为4,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的半径为2,P为SKIPIF1<0上一动点,则SKIPIF1<0的最小值_______.SKIPIF1<0的最小值_______3.如图,在中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.4.如图,抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点(点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧),与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴下方抛物线上的一个动点,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴,垂足为SKIPIF1<0,交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.(1)求抛物线的解析式;(2)设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,求SKIPIF1<0的值;(3)当直线SKIPIF1<0为抛物线的对称轴时,以点SKIPIF1<0为圆心,SKIPIF1<0为半径作SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的一个动点,求SKIPIF1<0的最小值.5.如图1,抛物线y=ax2﹣6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<8),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.(1)分别求出直线AB和抛物线的函数表达式.(2)设△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,若S1:S2=36:25,求m的值.(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B.①在x轴上找一点Q,使△OQE′∽△OE′A,并求出Q点的坐标.②求BE′+AE′的最小值.6.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,过点C作x轴的平行线交抛物线于点P.连接AC.(1)求点P的坐标及直线AC的解析式;(2)如图2,过点P作x轴的垂线,垂足为E,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF,旋转角为α(0°<α<90°),连接FA、FC.求AF+CF的最小值;7.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x

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