中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题38 几何最值之阿氏圆问题（原卷版）

专题38专题38几何最值之阿氏圆问题方法技巧方法技巧问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。模型展示：如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则SKIPIF1<0．证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，SKIPIF1<0，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，SKIPIF1<0，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．模型最值技巧：计算SKIPIF1<0的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得SKIPIF1<0的值最小，解决步骤具体如下：①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比SKIPIF1<0③在OB上取一点C，使得SKIPIF1<0，即构造△POM∽△BOP，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0④则SKIPIF1<0，当A、P、C三点共线时可得最小值题型精讲题型精讲【例1】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则SKIPIF1<0的最大值为_______．【例2】如图，菱形SKIPIF1<0的边长为2，锐角大小为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点E，在SKIPIF1<0上任取一点P，则SKIPIF1<0的最小值为___________．【例3】如图，在SKIPIF1<0中，∠C=90°，CA=3，CB=4．SKIPIF1<0的半径为2，点P是SKIPIF1<0上一动点，则SKIPIF1<0的最小值______________SKIPIF1<0的最小值_______提分作业提分作业1．如图，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以B为圆心，以SKIPIF1<0为半径画圆交边SKIPIF1<0于点E，点P是弧SKIPIF1<0上的一个动点，连结SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，已知菱形SKIPIF1<0的边长为4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半径为2，P为SKIPIF1<0上一动点，则SKIPIF1<0的最小值_______．SKIPIF1<0的最小值_______3．如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．4．如图，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左侧），与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴下方抛物线上的一个动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴，垂足为SKIPIF1<0，交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（1）求抛物线的解析式；（2）设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值；（3）当直线SKIPIF1<0为抛物线的对称轴时，以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径作SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的一个动点，求SKIPIF1<0的最小值．5．如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．②求BE′+AE′的最小值．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接FA、FC．求AF+CF的最小值；7．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x