广东省广州六中2012-2013学年高一数学下学期期末学业水平测试试题新人教A版

PAGEPAGE4广州市第六中学2012—2013学年第二学期期末学业水平测试高一数学期末考试试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝sin2x＋cos2x是()A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数C．周期为2π的增函数D．周期为2π的减函数2．已知向量a＝(1,3)，b＝(3，x)，若a⊥b，则实数x的值为()A．9B.－9C．1D．－13．已知{an}是等差数列，前n项和为Sn，a1＝120，公差d＝－4，若Sn≤an(n≥2)，则n的最小值为()A．60B．62C．70D．724．设|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°5．若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x>0，))则eq\f(y,x)的取值范围是()A．(0,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)6．已知角θ的终边与单位圆交于点Peq\a\vs4\al\co1()－eq\f(\r(5),5)，eq\f(2\r(5),5)eq\a\vs4\al\co1()，则cos(π－θ)的值为()A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5) C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)7．已知数列{an}是等比数列，且an>0，公比q≠1，则a1＋a8与a4＋a5的大小关系是()A．a1＋a8>a4＋a5B．a1＋a8≥a4＋a5C．a1＋a8<a4＋a5D．a1＋a8≤a4＋a58．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq\a\vs4\al\co1([)0，eq\f(π,2)eq\a\vs4\al\co1(])时，f(x)＝sinx，则feq\a\vs4\al\co1()eq\f(5π,3)eq\a\vs4\al\co1()的值为()A．－eq\f(1,2)B.－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,2)9．若α，β均为锐角，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，则cosβ等于()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),25)C.eq\f(2\r(5),5)或eq\f(2\r(5),25)D．－eq\f(2\r(5),25)10．下列结论中正确的是()A．若ac>bc，则a>bB．若a8>b8，则a>bC．若a>b，c<0，则ac<bcD．若eq\r(a)<eq\r(b)，则a>b二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分)11．已知α∈eq\a\vs4\al\co1()eq\f(π,2)，πeq\a\vs4\al\co1()，且sinα＝eq\f(3,5)，则tanα的值为____________．12．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a的值等于_________．13．不等式(x＋1)2(x－1)<0的解集为__________．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，则a＝________.15．设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0,x－y＋2≥0,x≥0，y≥0))，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\a\vs4\al\co1()A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2)eq\a\vs4\al\co1()的周期为π，其图象上一个最高点为Meq\a\vs4\al\co1()eq\f(π,6)，2eq\a\vs4\al\co1().(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈eq\a\vs4\al\co1([)0，eq\f(π,4)eq\a\vs4\al\co1(])时，求f(x)的最值及相应x的值．17．(本题满分14分)集合D＝{平面向量}，定义在D上的映射f，满足对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R且λ≠0)．(1)若|a|＝|b|，且a与b不共线，试证明：[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)；(2)若A(1,2)，B(3,6)，C(4,8)，且feq\a\vs4\al\co1()eq\o(BC,\s\up8(→))eq\a\vs4\al\co1()＝eq\o(AB,\s\up8(→))，求f(eq\o(AC,\s\up8(→)))·eq\o(AB,\s\up8(→)).18．(本题满分14分)已知向量a＝eq\a\vs4\al\co1()－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al\co1()，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up8(→))＝a＋b，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求向量b；(2)求△AOB的面积．19．(本题满分14分)某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若釆用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可生产产品90千克；若釆用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可生产100千克．若每日预算总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产多少千克产品？20．(本题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn，设an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1＝1，bn＋1＝bn＋2.(1)求an，bn；(2)若数列{bn}的前n项和为Bn，比较eq\f(1,B1)＋eq\f(1,B2)＋…＋eq\f(1,Bn)与2的大小；(3)令Tn＝eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)，是否存在正整数M，使得Tn<M对一切正整数n都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

广州市第六中学2012—2013学年第二学期期末学业水平测试高一数学期末考试参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)ADBCCCACBC二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分)11．【答案】－eq\f(3,4)12．【答案】413．【答案】{x|x<1且x≠－1}14．【答案】eq\r(2)15．【答案】eq\f(25,6)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本题满分12分)(1)∵周期T＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2.又f(x)图象的最高点为Meq\a\vs4\al\co1()eq\f(π,6)，2eq\a\vs4\al\co1()，∴A＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．将点Meq\a\vs4\al\co1()eq\f(π,6)，2eq\a\vs4\al\co1()代入，得sineq\a\vs4\al\co1()eq\f(π,3)＋φeq\a\vs4\al\co1()＝1，∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\a\vs4\al\co1()2x＋eq\f(π,6)eq\a\vs4\al\co1().(2)∵x∈eq\a\vs4\al\co1([)0，eq\f(π,4)eq\a\vs4\al\co1(])，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\a\vs4\al\co1([)eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)eq\a\vs4\al\co1(]).∴当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0时，ymin＝1；当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)时，ymax＝2.17．(本题满分14分)(1)证明：由题意有[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝(λa－λb)(a＋b)＝λ(a2－b2)＝0.∵f(a)－f(b)≠0，a＋b≠0，∴[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)．(2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2,4)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(1,2)，∴f(eq\o(BC,\s\up8(→)))＝λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.又eq\o(AC,\s\up8(→))＝(3,6)，∴f(eq\o(AC,\s\up8(→)))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝2(3,6)·(2,4)＝60.18．(本题满分14分)(1)∵OA＝OB，∴a2＝b2，即|a|＝|b|＝1，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|2b|＝2，∴|a－b|＝|a＋b|＝eq\r(2)，∴a⊥b.设b＝(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,－\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),2)，,y＝－\f(1,2).))∴b＝eq\a\vs4\al\co1()eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)eq\a\vs4\al\co1()或b＝eq\a\vs4\al\co1()－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2)eq\a\vs4\al\co1().(2)S△AOB＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝1.19．(本题满分14分)设工厂每日需用甲原料x吨，乙原料y吨，可生产产品z千克．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1000x＋1500y≤6000，,500x＋400y≤2000，,x≥0，y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤12，,5x＋4y≤20，,x≥0，y≥0，))画出可行域，如图所示．目标函数z＝90x＋100y(千克)．当直线z＝90x＋100y过直线2x＋3y＝12和5x＋4y＝20交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，\f(20,7)))时，z取得最大值，即zmax＝90·eq\f(12,7)＋100·eq\f(20,7)＝440(千克)．工厂每日最多生产440千克产品．20．(本题满分14分)(1)由题意2an＝Sn＋2，∴Sn＝2an－2，Sn＋1＝2an＋1－2，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又2a1＝S1＋2＝a1＋2，∴a1＝2，∴an＝2n.∵b1＝1，bn＋1＝bn＋2，∴bn＝2n－1.(2)Bn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.eq\f(1,B1)＋eq\f(1,B2)＋…＋eq\f(1,Bn)＝eq\f(1,12)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,n2)<1＋eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n－1·n)＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＝2－eq\f(1,n)<2.(3)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋…＋eq\f(2n－1,2n)，∴eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n＋1)，两式相减，得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋2eq\b\l