第22讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式（解析版）

第22讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)=.

(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.

(3)公式T(α±β):tan(α±β)=.

2.两角和与差的正切公式的变形tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=.

(2)公式C2α:cos2α===.

(3)公式T2α:tan2α=.

1.(1)sinαcosβ±cosαsinβ(2)cosαcosβ∓sinαsinβ(3)tanα±tanβ3.(1)2sinαcosα(2)cos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α(3)2tanα分类探究探究点一和、差、倍角公式的简单应用例1(1)已知α为锐角,sin（π3-α）=33,则cosα= (A.66-32 B.6C.66+12 D.6(2)设α,β满足tan（α+3π4）=3,tan（β+π4）=2,则tan(α+β)= (A.-1 B.-1C.17 (3)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα= ()A.53 B.23 C.13 例1[思路点拨](1)根据α的取值范围,求出cos（π3-α）,然后计算cosα=cos[π3-(π3-α)]即可.(2)方法一:使用诱导公式可得tan(α+3π4)=tan(α-π4),然后根据两角和的正切公式进行计算可得结果;方法二:根据条件计算tanα,tanβ,然后根据两角和的正切公式计算即可;方法三:依据tan(α+β)=tan[(α+3π4)+(β+π4)-π],按公式直接计算即可.(3)先利用二倍角公式cos2α=2cos2α-1解得cosα=-23,再利用平方关系求出sinα(1)C(2)A(3)A[解析](1)由题可知α∈(0,π2),所以π3-α∈（-π6,π3）,由sin（π3得cos(π3-α)=63,所以cosα=cos[π3-(π3-α)]=cosπ3cos(π3-α)+sinπ3sin(π3-α)=12×63+3(2)方法一:∵tan(α+3π4)=tan(α-π4∴tan(α+β)=tan[(α-π4)+(β+π4)]=tan(α-π方法二:由tan(α+3π4)=tanα+tan3π41-tanα·tan3π4=tanα-11+tanα=3,解得tanα=-2,由tan(β+π方法三:∵tan(α+β)=tan[(α+3π4)+(β+π4)-π]=tan[(α+3π4)+(β+π4)],∴tan(α+β)=tan(α+3π4(3)∵3cos2α-8cosα=5,∴6cos2α-3-8cosα=5,即3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=-23或cosα=2(舍去),又α∈(0,π),∴sinα=1-cos2α=[总结反思]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角之间互相转换的目的.变式题(1)已知角α的终边在直线y=43x上,则tan(π4-α)= (A.17 B.-17 C.7 (2)已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,则tanθ= (A.-2 B.-1 C.1 D.2(3)若sin(45°+α)=55,则sin2α=变式题(1)B(2)D(3)-35[解析](1)因为角α的终边在直线y=43x上,所以tanα=43,则tan(π4-α)=(2)由2tanθ-tan(θ+π4)=2tanθ-tanθ+11-tanθ=7,得(3)因为sin(45°+α)=55,所以sin45°cosα+cos45°sinα=22cosα+22sinα=55,所以cosα+sinα=105,将该式等号两边平方可得cos2α+sin2α+2cosαsinα=25,所以1+sin2α=探究点二和、差、倍角公式的逆用与变形例2(1)cos42°cos18°-cos72°sin42°=()A.32 B.1C.-12 D.-(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tanA+tanB+3=3tanA·tanB,则△ABC的面积为 ()A.32 B.33C.332 (3)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.

例2[思路点拨](1)利用诱导公式并逆用两角和的余弦公式计算即可;(2)逆用两角和的正切公式可得tan(A+B)=tanA+tanB1-tanA·tanB=-3,可得A+B=2π3,C=π3,由余弦定理求得b的值,代入三角形的面积公式进行运算即可;(3)先将两个条件等式分别平方(1)B(2)C(3)-12[解析](1)cos42°cos18°-cos72°sin42°=cos42°cos18°-sin18°sin42°=cos60°=12.(2)因为tanA+tanB+3=3tanA·tanB,所以tanA+tanB=-3(1-tanA·tanB),即tan(A+B)=tanA+tanB1-tanA·tanB=-3,所以A+B=2π3,C=π3.又因为a=4,b+c=5,所以由余弦定理得(5-b)2=42+b2-2×4b×12,解得b=32,则△ABC的面积S=12absinC=12×4×3(3)将sinα+cosβ=1两边平方,得sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1①,将cosα+sinβ=0两边平方,得cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0②.由①+②,得2(sinαcosβ+cosαsinβ)=-1,即sin(α+β)=-12[总结反思]在利用两角和与差的三角函数公式或二倍角的三角函数公式进行恒等变形时,记住一些常见变形可起到事半功倍的效果.变式题(1)若cosα=-45,α是第三象限角,则1-tanα21+tanαA.2 B.12C.-2 D.-1(2)(1+tan19°)·(1+tan26°)=.

变式题(1)C(2)2[解析](1)由cosα=-45,α是第三象限角,可得sinα=-3∴1-tanα21+tan(cosα2-sin-451-3(2)由于tan45°=tan(19°+26°)=tan19°+tan26°1-tan19°·tan26°=1,所以tan19°+tan26°=1-tan19°·即tan19°+tan26°+tan19°·tan26°=1,所以(1+tan19°)·(1+tan26°)=1+tan19°+tan26°+tan19°·tan26°=2.探究点三角的变换问题例3(1)已知sinα=255,sin(β-α)=-1010,α,β均为锐角,则β= A.5π12 B.π3 C.π4 (2)已知sin(π5-α)=14,则cos(2α+3π5)= A.-78 B.C.18 D.-例3[思路点拨](1)根据角的变换得β=α+(β-α),先求出sinβ的值,再求角β;(2)利用诱导公式,由cos(2α+3π5)=cos[2α+(π-2π5)]=-cos(2α-2π5)=-cos2(α-π5(1)C(2)A[解析](1)因为sinα=255,sin(β-α)=-1010,且α,β均为锐角,所以cosα=55,cos(β-α)=31010,所以sinβ=sin[α+(β-α)]=sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)=255×31010+55×(-10(2)∵sin(π5-α)=14,即sin(α-π5∴cos(2α+3π5)=cos[2α+(π-2π5)]=-cos(2α-2π5)=-cos2(α-π5)=-1+2sin2(α-π5[总结反思]常见的角的变换:π2±2α=2(π4±α),2α=(α+β)+(α-β),α=α+β2+α-β2,π3+α=π2-(π6-α),α=(α+β)-β=(α-β)+β,(变式题(1)若tan(α+β)=3,tanβ=2,则sin(32π-α)sin(π+α)=A.17 B.7 C.-17(2)若sin(α+π4)=35,且α∈(-π4,π4),则cosα的值为A.210 B.C.5210 变式题(1)B(2)D[解析](1)∵tanα=tan[(α+β)-β]=tan(α+β)-tanβ1+tan(α+β)tanβ=1(2)因为α∈(-π4,π4),所以α+π4∈(则cos(α+π4)=45,所以cosα=cos(α+π4-π4)=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4同步作业1.若sinα=-13,α∈(-π2,0),则sin2α= (A.-429 C.89 D.-1.A[解析]因为sinα=-13,α∈(-π2,0),所以cosα=1-sin2α=1-(-13)2.cos70°sin50°-cos200°sin40°的值为 ()A.-32 B.-C.12 D.2.D[解析]cos70°sin50°-cos200°sin40°=sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin60°=323.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,若点P(2,-1)在角α的终边上,则sin(π2-2α)= (A.-45 B.4C.-35 D.3.D[解析]由题知cosα=255,所以sin(π2-2α)=cos2α=2cos2α-1=34.若tanα=3,tan(2α-β)=-1,则tan(α-β)= ()A.2 B.-2 C.3 D.-34.A[解析]由tanα=3,tan(2α-β)=-1,得tan(α-β)=tan[(2α-β)-α]=tan(2α-β)-tanα1+tan(2α-β)tanα=(-1)-31+(-1)×3=2.5.设a=sin18°cos44°+cos18°sin44°,b=2sin29°cos29°,c=cos30°,则有 ()A.c<a<b B.b<c<aC.a<b<c D.b<a<c5.B[解析]a=sin18°cos44°+cos18°sin44°=sin(18°+44°)=sin62°,b=2sin29°cos29°=sin58°,c=cos30°=sin60°,因为y=sinx在(0°,90°)上为增函数,且58°<60°<62°,所以sin58°<sin60°<sin62°,即b<c<a,故选B6.已知θ∈(0,π),cos2θ+cos22θ=1,则θ= ()A.π6,5π6 B.πC.π6,π3,π2 D.π66.D[解析]由cos2θ+cos22θ=1+cos2θ2+cos22θ=1,整理可得2cos22θ+cos2θ-1=0,解得cos2θ=-1或cos2θ=12.∵θ∈(0,π),∴2θ∈(0,2π),由cos2θ=-1,得2θ=π,∴θ=π2;由cos2θ=12,得2θ=π3或5π综上,θ=π6或π2或5π67.1-tan105°7.-3[解析]1-tan105°1+tan105°8.已知sin(α+π2)=-13,则cos2α= (A.-79 B.C.-89 D.8.A[解析]由sin(α+π2)=-13,得cosα=-13,则cos2α=2cos2α-1=29-1=-9.已知α为锐角,且sin(3π8-α)=255,则tan(3π4-2α)的值为A.34 B.-C.-43 D.-34或9.C[解析]由0<α<π2,sin(3π8-α)>0,得3π8-α为锐角,故cos(3π8-α)=55,则sin(3π4-2α)=2sin(3π8-α)cos(3π8-α)=45,cos(3π4-2α)=2cos2(3π8-α)-1=-310.设sin2α-sinα=0,α∈(-π2,0),则tan2α的值是 (A.3 B.-3C.33 D.-10.A[解析]由sin2α-sinα=0,α∈(-π2,0),得2sinαcosα-sinα=sinα(2cosα-1)=0,所以2cosα-1=0,cosα=12,则sinα=-1-cos2α=-32,所以tanα=sinαcosα=-3,所以11.若sin(θ-π6)=2sin(θ+π3),则tanθ= (A.-33 B.8-53C.8+53 D.-8-5311.D[解析]由sin(θ-π6)=2sin(θ+π3),得sin(θ-π6)=2sin[π2+(θ-π6所以tan(θ-π6)=2,则tanθ=tan[(θ-π6)+π6]=2+3312.设α为第二象限角,若tan(α-π4)=2,则sin2α=.12.-35[解析]∵α为第二象限角,∴又∵tan(α-π4)=2=tanα-1则sin2α=2sinαcosαsin2α+cos13.若tanα+tanβ=-tan(α+β)=3,则tanαtanβ=.

13.2[解析]因为tanα+tanβ=-tan(α+β)=3,tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ,所以解得tanαtanβ=2.14.已知sinα=513,α∈(π2,3π2),则tan(π4+α)=,14.717119169[解析]因为sinα=513,α∈(π2,3π2),所以α∈(π2,π),所以tanα=sinαcosα=-512,所以tan(π4+α)=tanπ4+tanα1-tanπ4·tanα=1-515.如图K22-1,已知点A(1,0),P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P(cos(α+β),sin(α+β)).(1)证明:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsin