2023-2024学年天津市西青区高一年级下册第二次适应性测试（期中）数学模拟试题

2023-2024学年天津市西青区高一下册第二次适应性测试（期中）数学

模拟试题

一、单选题

1.已知“为直线，α为平面，若Uα,则加与"的位置关系是（）

A.平行B.相交或异面C.异面D.平行或异面

【正确答案】D

【分析】利用线面平行的定义及直线的位置关系即得.

【详解】因为加〃α,

所以直线"，与平面α没有公共点，又“uα,

所以与〃没有公共点，即m与n的位置关系是平行或异面.

故选：D.

2.在,ABC中，a=√3,b=3,A=f,则此三角形（）

6

A.无解B.一解

C.两解D,解的个数不确定

【正确答案】C

【分析】利用正弦定理求出sin8的值，再根据所求值及a与6的大小关系即可判断作答.

【详解】在AfiC中，«=ʌ/ɜ,b=3,A=f,

6

由正弦定理得MnaJSin4_6而A为锐角，且a＜人，

sinD-----------——T=———＜ɪ

«√32

则B=f或8=寻，

33

所以＜3C有两解.

故选：C

3.已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（）

A.3B.√3C.—D.显

242

【正确答案】C

【分析】依题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则可得结果.

【详解】如图，A'B'C'是边长为2的正“A3C的直观图，则A'9=2,CD1=-CD=-,则高

22

C,E=C,D,sin45=—×-=—,故二A3'C的面积S=LX2x如=@.

224244

故选：C.

A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥

B.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台

C.棱柱的侧面都是平行四边形

D.直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥

【正确答案】C

【分析】根据棱锥、棱台、棱柱、圆锥的定义即可判断.

【详解】对于A,有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形构成的几何体是棱锥,所以选项

A错误；

对于B,用平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，所以选项B错误；

对于C,根据棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，选项C正确；

对于D,直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥，所以选项D错误.

故选：C.

5.在」ABC中，P、。分别是边A3、BC上的点，且=BQ=；BC,若AB=",AC=b，

UUU

则PQ=（）

1.1.11111-1-

A.—a+—bB.——a+-bC.—〃——bD.——a——b

33333333

【正确答案】A

【分析】根据向量的数乘和加减法法则即可求解.

【详解】如图所示：

A

1ɔ1ɔ1111

PQ=BQ-BP=-BC--BA=-IAC-AB}+-AB^-AB+-AC=-a+-b.

333、,33333

故选:A.

二、多选题

6.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论错误的是（）

A.圆柱的侧面积为4πR?B.圆锥的侧面积为√^πR2

C.圆柱的侧面积与球的表面积不相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2

【正确答案】ABD

【分析】分析出圆柱的底面半径、高一级圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公

式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为R,高为2R,圆锥的底面半径为R,高为2R,

对于A选项，圆柱的侧面积为2兀Rx2R=4πR?,A对；

对于B选项，圆锥的母线长为J&+（2R）2=加R,

所以，圆锥的侧面积为兀RxKR=6兀叱，B对；

对于C选项，球的表面积为4兀齐，所以，圆柱的侧面积与球的表面积相等，C错；

12元

对于D选项，圆柱的体积为R2χ2R=2πW,圆锥的体积为；兀R2x2R=k,

π33

球的体积为3户，

因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为2兀*:皿:皿=3:1:2,D对.

33

故选：ABD.

三、单选题

7.《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为"正

广”，非高腰边称为‘‘邪如图所示，邪长为4石，东畔长为2近，在A处测得C,。两点处的俯角

分别为49。和19。，则正广长约为(注：sin41o≈0.66)()

A.6.6B.3.3C.4D.7

【正确答案】A

【分析】由余弦定理即可求解.

【详解】由题意知：NBAC=4由一19°=30°,

在，ACD中，由余弦定理可得：DC2=AC2+AD2-2ACADcos30°.

代入得：28=ΛC2+48-12AC,即(AC—2)(AC—Io)=0,

因为NADC>90",故AC=I0,

故BC=AC∙cos49°=10∙sin41'=6.6∙

故选：A.

8.下列四个命题中真命题的个数是()

①己知非零向量α,b，c,若a，b,b//c>则C

ULl

②已知％,e2是两个互相垂直的单位向量，若向量4+1与3+1的夹角为锐角，则％的取值范围

是(θ,∙HX?)

已知向量4=(2,4),⅛=(-l,2),则向量d在向量b上的投影向量为(g用

④已知耳=(2,-3),e2=(-A,6),e-e2可以作为平面向量的一组基底

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】A

【分析】根据平面向量的共线定理和所成的角，以及投影向量的定义、基底的定义，对选项中的命题

判断真假性即可.

【详解】对于①，非零向量α,h，c,若αb,b//c＞则α=λ∣A,b=λ2c,4，Λ∈R,

所以。4，4ER,所以。〃C,命题①正确；

对于②，q,4是两个互相垂直的单位向量，若向量之+点与e+/的夹角为锐角，

,ιrIiIIirσIrlrir2CUIJ一,丁廿,口

则π(q+4/卜/乌+/)=Aq2+伏2+1鸠•6+攵6=2%>0，目.q+Ae?与攵q+6不共线，

所以Z>0且攵≠±1,所2的取值范围是(0,1)51,e),命题②错误；

对于③，向量α=(2,4),⅛=(-l,2),

ClbI6/「、/612、

则向量&在向量6上的投影向量为曰「人=g(T,2)=(-§，Μ)，命题③错误；

对于④：e∣=(2,-3),e2=(-4,6),则,=-纭,

所以q,线共线，不能作为平面向量的一组基底，故④错误.

所以真命题只有1个，序号为①.

故选：A.

四、填空题

9.已知复数Z满足Z=言，则IZI=.

【正确答案】√io.

【分析】根据复数的除法法则化简为标准的代数形式再求模即可.

4-2i(4-2i)∙(l+i)4+4i-2i-2i

【详解】Z==3+i,

1-i(l-i)∙(l+i)

所以IZl=J3。+r=Vio.

故布

10.已知0,6是平面内两个不共线的向量，AB=ma+2b，BC=3a+mb,若A，B,C三点共线，

则％=.

【正确答案】土瓜

【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求出AC的坐标，把A,B,C三点共线转化

为44,AB，再根据向量相等可得答案.

【详解】由题意可得AC=AB-∖-BC=+2∕?）+3α+Anh=（3+m）〃+（2+m）Z?,

VA,B9C三点共线,：.AC=λ∙AB9

工（3+∕n）4+（2+勿7）Z?=/I^ma+2⅛J=λma+2λb,

m=-∖∣6

jλtn=3+∕nm~

故有鼠小

=2+≡L^∙或I02-√6,

Z=---

2

故土#.

11.已知在,ABC中，SinA:sin8:SinC=4:3:2,则CoS8等于.

【正确答案】ɪɪ

【分析】由正弦定理可得a:b:c=4:3:2,令α=4m,b=3m,c=2a,然后利用余弦定理可求出COSB

【详解】因为在ABC中，SinA:sin3:SinC=4:3:2,

所以正弦定理可得Q:〃：C=4:3:2,则令α=4"?,力=3a,c=2m（m>0）,

由余弦定理得CoSB==161+4^2-9.11/72211

2ac2∙4m・2〃?16m216

故U

16

12.已知正方体ABCrM/B/C/Q的棱长为2,M、N分别为BMAB的中点，则三棱锥AWMD的体

积为____________

【正确答案】ɪ

【分析】利用匕-M町=½v计算即可.

因为正方体A8CC-A∕B/∕D的棱长为2,M、N分别为BB/、AB的中点

2

所以匕.MWDJ=%_刖=∣×ɪ×I×I×=∣

吗

在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.

13.己知正三棱柱ABC-AAG的底面边长为6,三棱柱的高为G，则该三棱柱的外接球的表面积为

【正确答案】5lπ

【分析】根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半径即可求其

表面积.

【详解】

由正三棱柱的底面边长为6,

得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r==2追，

sin602

又由三棱柱的高为白，则球心01到圆。的球心距I=正，

2

根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，

满足勾股定理,我们易得球半径R满足：R2=r2+d2=↑2+^所以4=?

44

所以外接球的表面积S=4τtR2=47tχ4∙=51π

4

故答案为.5E

五、双空题

14.已知平行四边形ABC。的两条对角线相交于点“，网=2,|回=1,ZZMB=60o,其中点尸在

线段上且满足AP∙CP=-g,Pl=______,若点N是线段AB上的动点，则NZZNa的最小值

161I

为.

［正确答案］息ɪu

4256

根据题意，利用余弦定理求出AC=不，根据平面向量的线性运算即可得出

→→f→→ʌ→f→→ʌ→→→2→2osT

AP=-PA=-[PM+MAj,CP=-[PM-M4j,得出APCP=PM-MA=~^即可求出。尸；由

于点N是线段AB上的动点，可设4V=x(0≤x≤2),则AO∖A%,N%=?A%,由平面向量的三

角形加法法则得出NZ)=-148+A。，NP=[4~2)AB+4AD，结合条件且根据向量的数量积运算，

^∕vb∙∕VP=√--^x+l=^-^J+^∣,(0≤x≤2),最后根据二次函数的性质即可求出λ⅛>.赤的

最小值.

【详解】解：在平行四边形ABa)中，AB=2,Ab=1,ZftAB=60°,

则在AABD中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosZDAB,

即BO?=22+f-2χ2χlχg=3,.∙,BD=y∣3,

:.ΛBDA=90o,ZABD=30°,则ZABC=120°,

在..ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC,

B∣JAC2=22+12-2×2×1X^-^=7,：,AC=不,

AP=-PA=-IPM+MA∖,CP=-PC=-IPM+MC∖=-∖PM-MA∖,

→→(T→ʌ/→t、T2τ225

AP∙CP=∖PM+MA∖ΛPM-MA∖=PM-MA

__记，

而MA=LAC=且，即调=且，

222

→2→2→2795→B

.∙.PM-MA=PM——=——,解得：PM=

4164，

Dli=DM-PM=—--=

244

由于点N是线段AB上的动点，

Tɪ-―2--Yf

可设AN=X(O<x≤2),贝IJAN=jAB,NB=2-ABf

.∙.ND=NA+AD=-AN+AD=--AB+AD,

2

TfT2—XT3-*2—XT3,

：.NP=NB+BP=-----AB+-BD=-------AB+-∖AD-AB^,

24241

→(1χ∖→3→

即NP=-------∖AB+-AD9

\__xT3→

NDNP=-∣AB+ADl-AB+-AD

4-24

(∖ιλ→2/17ʌ→→3→2

=∣——x+-√∖AB+∣------X∖ABAD+-AD

(84)<48J4

(ɪ12l“(17)c,,ao3

I84JU8J4

-------X+l,(0≤x≤2)

8

BPΛ⅛>,Λ7>=√--x+l=fx--ʌl+—,(0≤x≤2),

所以当X=?时，N3∙N%取得最小值，最小值为寰•

16256

故乌祟・

4256

关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算和数量积运算的实际应用，解题的关键在于利用二次函数

的性质求最值，考查转化思想和运算能力.

六、解答题

15.已知复数Z=(∕n2-w)+(∕w-l)i(m∈R).

⑴若Z为实数，求加值：

(2)若Z为纯虚数，求，”值；

(3)若复数Z对应的点在第一象限，求，〃的取值范围.

【正确答案】(1)〃?=1；

(2)∕n=0;

(3)∕Z7>1.

【分析】(I)根据复数为实数的性质进行求解即可;

(2)根据纯虚数的定义进行求解即可；

(3)根据第一象限点的坐标特征进行求解即可.

【详解】(1)因为Z为实数，

所以m—1=O=Ht=I；

(2)因为Z为纯虚数，

,tn~-m={)八

所以<八=>帆=0；

m-∖≠O

(3)因为复数Z对应的点在第一象限，

一，机2一机>0,

所以{,Cnm>L

m-∖>O

16.己知向量α=(l,0),b=(-l,2).

⑴若ICI=1,且联〃Q-b),求c；

⑵若8与3a+在互相垂直，求实数，的值.

【正确答案】(DZ=爵-曰睽=爵当

(2)f=-l或f=∣

【分析】(1)设出c=(x,y),根据模长与平行关系得到方程组，求出c:(2)先求出

2ta-b=(2f+l,-2),3α+t=(3-t,2t),根据垂直关系得到方程，求出实数r的值.

【详解】(1)α-b=(2,-2),

X2+J2=1,

因为。〃(α-/?),©=1,设C=(X,y),则,

2y=-2x

√2_72

X-2'-2'

解得：或,

及&

F'

(2)2ta—Z>=(2r+1,—2),3α+tb=(3—/,2/),

因为2rα-b与3α+仍互相垂直，所以⑵+l,-2)∙(3τ,2t)=0,整理得：2t2-t-3=0,

3

解得：t=T或f=:∙

2

17.如图，四棱锥P-ABCo中，ABHCD,AB=2CO,E为依的中点.

⑴求证：C£7/平面PAD.

（2）在线段48上是否存在一点尸，使得平面PAr>//平面CEF?若存在，证明你的结论，若不存在，

请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵存在，证明见解析

【分析】（1）利用构造平行四边形的方法证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行;

（2）点尸为线段AB的中点，再利用面面平行判定定理证明，即可证明平面P4）〃平面CEF.

【详解】（1）证明：如图所示，取A4的中点”，连接EH,DH.

因为E为PB的中点，

所以EH=-AB.

2

又ABIICD,CD=-AB,

2

所以EH//CD,EH=CD.

因此四边形DCEH是平行四边形,

所以CE"DH.

又DHu平面RW,CEN平面PAD,

因此CE〃平面PAO.

（2）解：如图所示，取AB的中点F,连接CF,EF,

所以AF=IAB

2

又CZ）=LA3,所以AF=CO.

2

又A/〃CZ）,所以四边形AFa）为平行四边形，

因此CF//AD.

又CF¢:平面PA。，所以CF〃平面PAO.

由（1）可知CE〃平面PA£>.

因为CEfCF=C,故平面CEF〃平面P4D.

18.已知一ABC中，a,b,C分别为角A,B,C的对边，且（2a-A）cosC=ccosB

（1）求角C

⑵若a=2,b=3,8为角C的平分线，求CD的长；

⑶若acos3+⅛cosA=4,求锐角二ABC面积的取值范围.

TT

【正确答案】（1）§

⑵述

5

'8>∕3rτ

（3）亍，46

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出COSC=g,即可得解;

(2)设CD=X,根据SAe+SBS=SMC及面积公式得到方程，解得即可;

(3)首先利用正弦定理求出c,再由正弦定理得到a=®lsiM，b=晅SinB,再根据S=(absinC

332

转化为关于A的三角函数，根据正弦函数的性质求出面积的取值范围；

【详解】(1)解：由(2α-Z?)COSC=CCoS6及正弦定理得(2SinA-SinB)CoSC=SinGeOS3

所以2sinΛcosC=sin(B+C)=SinA

•∙sinAwO,∙∙COSC=~

2

Tr

vo<c<æ,:.c=一

3

(2)解：设CD=X由Sacd+SBCD=Sabc得

ICllC

一∙3x∙-+一∙2x,1Kx^

222222

解得X=还，即角平分线Co的长度为述

55

(3)解：设ABe外接圆半径为R,由。COSB+AcosA=4

4c

2∕?sinAcosB+2/?sinBcosA=4,即2AsinC=4,即2R=.∙.c=4

sinCsinC'

所以.ABC的面积S=IaAinC=-ɪob

24

ba4-

∙∙τ~^=FT=F・8√r3.8√γ3.D

•SI∏DSirLAx∕3,∙∙Cl=-----SinA，b=------sinZ?

T33

...S=3叵SinASin("一A]

3I3)

=电ISinAfsin—cosA-cos—sinA

3I33

16√3COSA+'sinA

2

12

sinAcosA+—sin^^A

2

sin2A—CoS2AH—

44

痛SinRAW+速

3I6j3

71CC冗,C2%

VO<Λ<-,O<B<—,4+8=—

223

.∙.O∕"π

<5'

π,π

—<A<—

62

TIAATl∖πΛɪ<sin(2A-ɪI≤1,

-<2A——<—

6662I6；,

S∈*

19.从①sin?8-Sin'A+sinP-sirLesinC=。②i>sinA+GaCoSB=Gc,这两个条件中任选一个，补充

在下面问题中，并加以解答(注：若选择多个条件，按第一个解答计分).

在.45C中，c分别是角A8,C的对边，若.

(1)求角A的大小：

(2)若。是BC的中点，AD=C,求-ABC面积的最大值.

(3)若。为..ABC的外接圆圆心，且上匚46+学4。=2,也4。，求实数机的值.

smCSinB

【正确答案】(I)A=II

⑵G

⑶正

2

【分析】(1)选条件①利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得;

选条件②利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得：

(2)依题意可得43=g(AB+AC),根据向量数量积的运算律得到/+b2+A=12,利用基本不等式

求出校的最大值，最后根据三角形面积公式计算可得；

CCqRCCSC^,

(3)取A3的中点Q,则Ao=A0+00，从而可得.A8∙A5+'4C∙AB=2zn(Af)+Z)O)AB,从

sinCsinB

而可得",=c°sB+co?CosC=SinA,从而解得，"的值.

smC