2022-2023学年上海民办沪北高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年上海民办沪北高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.A.36

B.37

C.41

D.42参考答案：B2.当x在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x）的符号变化如下表：x（﹣∞.1）1（1，4）4（4，+∞）f′（x）﹣0+0﹣则函数f（x）的图象的大致形状为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数零点的判定定理；51：函数的零点．【分析】f′（x）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，故f（0）是函数的极小值，同理可得f（4）是函数的极大值，由此得出结论．【解答】解：由图表可得函数f′（x）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，即函数f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，4）上是增函数，故f（0）是函数的极小值．同理，由图表可得函数f′（x）在（1，4）上大于0，在（1，4）上小于0，即函数f（x）在（1，4）上是增函数，在（4，+∞）上是增函数，可得f（4）是函数的极大值，故选C．3.已知在△ABC中，∠ACB=，BC=3，AC=4，P是AB上一点，则点P到AC、BC的距离的积的最大值是A．2

B．3

C．

D．参考答案：B4.如图是正方体或正四面体，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.若圆上至少有三个不同点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围为(

)A

B

C

D参考答案：Ｂ6.函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点

()A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：A略7.椭圆上一动点P，圆E：（x﹣1）2+y2=1，过圆心E任意作一条直线与圆E交于A，B两点，圆F：（x+1）2+y2=1，过圆心F任意作一条直线与圆F交于C，D两点，则最小值(

)A．4 B．6 C．8 D．9参考答案：B考点：椭圆的简单性质．专题：数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，由于=，=，=，代入可得=﹣1，同理可得：=﹣1．由于=4，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：如图所示，∵=，=，=，∴=（）?（）=++=﹣1，同理可得：=﹣1．∵=4，∴+=﹣1+﹣1=+﹣2≥﹣2=6．当且仅当==2时取等号．∴+最小值是6．故选：B．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量的三角形法则、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0距离等于1，则半径r的取值范围是()．A．(4,6)

B．[4,6)

C．(4,6]

D．[4,6]参考答案：A9.已知空间向量，，则向量与的夹角为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A考点:空间向量10.已知等差数列{an}前n项和为Sn，若S15=75，a3+a4+a5=12，则S11=（）A．109 B．99 C． D．参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an}前n项和为Sn，S15=75，a3+a4+a5=12，∴，S11=11a1+=11×+=．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立。猜想在七边形ABCDEFG中成立的不等式为_____________________.参考答案：12.已知集合，，，则=

参考答案：{3,5}

略13.抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为

参考答案：略14.直线l1x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣1=0平行，则实数m=

．参考答案：【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×（2﹣m）﹣2m=0，解之可得．【解答】解：因为直线l1x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣1=0平行，所以1×（2﹣m）﹣2m=0，解得m=故答案为：15.过点P（3，1）作直线l将圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0分成两部分，当这两部分面积之差最小时，直线l的方程是

．参考答案：16.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为

．参考答案：

17.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，双曲线的渐近线方程为________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)已知定义在实数集上的函数，，其导函数记为，且满足：，为常数．（Ⅰ）试求的值；（Ⅱ）设函数与的乘积为函数，求的极大值与极小值；（Ⅲ）试讨论关于的方程在区间上的实数根的个数参考答案：(14分)解：（Ⅰ），则，，又，

（Ⅱ）令，则，令，得，且，当为正偶数时，随的变化，与的变化如下：

0

0

极大值极小值

所以当时，极大=；当时，极小=0．当为正奇数时，随的变化，与的变化如下：00

极大值

略19.（本小题满分16分）给定矩阵，；求．参考答案：解：设A的一个特征值为λ，由题知=0

（λ－2）（λ－3）=0

λ1=2，λ2=3

当λ1=2时，由=2，得A的属于特征值2的特征向量α1=当λ1=3时，由=3，得A的属于特征值3的特征向量α2=由于B==2＋=2α1＋α2

故A4B=A4（2α1＋α2）=2（24α1）＋（34α2）=32α1＋81α2=＋=

略20.在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.参考答案：略21.如图，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于的任意一点，.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积的最大值.

参考答案：(I)证明:

∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC,∵AA1⊥平面ABC，BCì平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AA1∩AC=A，AA1ì平面AA1C，ACì平面AA1C，

∴BC⊥平面AA1C.

--------------------6分(Ⅱ)解：设AC=x，在Rt△ABC中，(0<x<2),

故(0<x<2),即.∵0<x<2，0<x2<4，∴当x2=2，即时，三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.----------14分22.(本小题满分14分)如图．已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F为椭圆的左焦点且（1）求椭圆的标准方程；（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP＝PQ。连接AQ并延长交直线l于点M。N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．参考答案：（Ⅰ）易知A,B………（1分）…（2分）……（3分）又，解得…………（5分）（Ⅱ）设则

…………（6