2023-2024学年上海市静安区高二年级上册12月月考数学模拟试卷（附答案）

2023_2024学年上海市静安区高二上册12月月考数学

模拟试卷

一、填空题(满分42分，1-6题每题3分，7-12题每题4分)

1.过点尸(2,-1)且与直线2x+了-5=0平行的直线的一般方程为.

2.在长方体/BCD-44GA中，AB=3,AD=4,AAl=6,则直线ZG与平面/BCD所成角的大

小为•

3.已知圆G：(x-a)2+V=36与圆C2:尤2+(y-2)2=4内切，贝！］。=.

4.过点(2,3)且与椭圆炉+2「=8有相同焦点的椭圆的标准方程为.

5.已知直线4：x+("+l)y+机-2=0,/2：2mx+4y+16=0平行，则这两条平行直线之间的距离

为.

6.已知机)是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号

是.

①.mLa,nilP，ahp,则加_L〃②.m±a,m±n,alip,贝!)〃〃/?

③.m-Ln,mlla.alip,则〃_!_/?④.m±a,mlln,allP,则〃_L〃

7.若直线工+*吊口+2=0(。©1<)的倾斜角的取值范围是.

8.已知直线》+吵+1=0与圆=2交于/、B两点，若ACU3面积为"，则加的值

2

为.

9.已知厂是椭圆］+「=1的右焦点，尸是椭圆上一动点，则尸尸周长的最大值

为.

10.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形。在平面直角坐

标系中，动点P(x,y)到两个定点片(-1,0),工(1,0)的距离之积等于2,化简得曲线

C:X2+/+1=2VX2+1>则|。尸|的最大值为.

II.如图，在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球，

使得两个球与圆柱侧切，且分别与圆柱的上下底切.

一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.

则该椭圆的离心率为.

12.已知线段MN是圆C:（x-l）2+y2=4的一条动弦，且|〃M=2,若点P为直线2尤->+6=0上

的任意一点，则|2两-PN|的最小值为

二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分，每题只有一个正确答案）

13.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（）

A.4加B.8"C.12万D.207r

14.设直线乙：》一2〉一2=0与4关于直线/：2x--y-4=0对称，则直线人的方程是（）

A.1lx+2j-22=0B.llx-hy+22=0C.5%+>-11=0D.10x+y-22=0

15.已知圆C:（x-1）2+3-1）2=4,尸为直线/:2x+y+2=0上的动点，过点。作圆C的切线R4,

切点为4,当△尸/C的面积最小时，△尸/C的外接圆的方程为（）

9

C.D

41-

16.已知。为坐标原点，椭圆£:[+（■=1（。>6>0）的左、右焦点分别是大，外，离心率为，.四,

尸是椭圆E上的点，9的中点为N,|ON|+|g|=2,过尸作圆0:/+（了-4）2=1的一条切线,

切点为8,贝>]|依|的最大值为（）

A.2夜B.2瓜C.275D.5

三、解答题（本大题共5题，满分42分，解答要有论证过程与运算步骤）

17.（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分.

已知直线乙：（〃z+2）x+叼-8=0与直线4：mx+y-4=0,meR.

-L/2>求〃z的值；

⑵若点尸（1,"）在直线4上，直线/过点尸，且在两坐标轴上的截距之和为0,求直线/的一般方程.

18.(本题满分8分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.

如图，已知三棱锥尸-4BC中，24_L平面48C,AB1BC,PA=8,AB=6,AC=\Q.

(1)求点A到平面PBC的距离;

(2)求三棱锥尸-A8C的表面积.

19.(本题满分8分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.

已知直线加：3x+4y+12=0^n[UC,x2+y2+2x-4y+l=0

(1)求与直线m垂直且经过圆心的直线的一般方程；

(2)求与直线加平行且与圆C相切的直线的一般方程.

20.（满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4

分.

已知线段AB的端点B的坐标是（6,5）,端点/在圆G：（x_4+（”3）2=4上运动.

（1）求线段48的中点尸的轨迹的方程；

⑵设圆G与曲线C2的两交点为N,求线段的长；

⑶若点C在曲线C?上运动，点。在x轴上运动，求的最小值.

21.（满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4

分.

,炉2=1（a>6>0）的离心率为*

己知椭圆。：二+4，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积

a2b2

为2.已知直线了=左（》-1）（1>0）与椭圆。交于4,8两点，且与x轴，y轴交于N两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若=求左的值；

(3)若点。的坐标为求证:QAQB为定值.

2023_2024学年上海市静安区高二上册12月月考数学

模拟试卷

一、填空题（满分42分，1-6题每题3分，7-12题每题4分）

1.过点且与直线2x+y-5=0平行的直线的一般方程为.2x+y-3=0

2.在长方体MCD—中，/3=3,/。=4,/4=6,则直线/G与平面/BCD所成角的大

r、,6

/J、为.arctan—

3.已知圆G:（x—a）?+/=36与圆G：%?+（y—2）2=4内切，则。=.±2^/3,

4.过点（2,3）且与椭圆一+2产=8有相同焦点的椭圆的标准方程为.[+]=1

5.已知直线4：x+（机+1）＞+机-2=0,/2：2%x+4y+16=0平行，则这两条平行直线之间的距离

为,走

5

6.已知叱〃是空间的两条不同直线，/，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是—

①④

①.m±a.nllp.allP,则加_L〃②.mLa.mVn.alip,则〃〃/?

③.m±n.mlla.all（3,则〃_L〃④.m±a.mlln.allfi,则〃J_/?

jrRXTT

7.若直线x+ysinc+2=0（aeR）的倾斜角的取值范围是.

9.已知产是椭圆。+「=i的右焦点，p是椭圆上一动点，则尸尸周长的最大值为.

V5+2V2

定义法:

10.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形。在平面直角坐

标系xOy中，动点尸(苍了)到两个定点片(-1,0),8(1,0)的距离之积等于2,化简得曲线

C:X2+/+1=2A/X2+1，则|。尸|的最大值为.百

11.如图，在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧切，且分别与圆

柱的上下底切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率

12.已知线段儿W是圆C:(x-l)2+/=4的一条动弦，且|九亚|=2,若点尸为直线2x-y+6=0上

8V5-10V3

的任意一点，则|2月7-丽|的最小值为.

,/5

1.2PM-PN=PM+(PM-PN)^PM+NM^PM+MA

TTA

2.\MN\=2,CM=CN=2,AN=\AMCN=-^\CA\=

M

■■^PM-PN^PA^d^

N

二、选择题(本大题共4题，每题4分，共16分，每题只有一个正确答案)

13.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为()C

A.4〃B.8万C.12万D.20万

14.设直线4：x—2〉—2=0与4关于直线/：2x—>—4=0对称，则直线，2的方程是()A

A.llx+2)—22=0B.llx+y+22=0

C.5x+j/-ll=0D.lOx+y-22=0

15.已知圆C:(x-l)2+(y-1)2=4,尸为直线/:2%+v+2=0上的动点，过点尸作圆C的切线尸/,

切点为/,当AR4c的面积最小时，AR4c的外接圆的方程为()C

16.已知。为坐标原点，椭圆E：*；l(a>6>0)的左、右焦点分别是片，鸟，离心率为*河，

P是椭圆£上的点，儿明的中点为N,|ON|+|N团=2,过P作圆Q:尤2+(了-4丫=1的一条切线，

切点为8,则|所|的最大值为()B

A.272B.2屈C.275D.5

三、解答题(本大题共5题，满分48分，解答要有论证过程与运算步骤)

17.(本题满分6分)本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分.

已知直线4：(m+2)x+四一8=0与直线4：mx+y-4=0,加eR.

(1)^A-L4>求”?的值；

(2)若点尸(1,机)在直线/2上，直线/过点尸，且在两坐标轴上的截距之和为0,求直线/的方程.

(1)由题意得："7(机+2)+〃z=0,解得：加=-3或0,

经检验，均满足要求，所以加=-3或0；

(2)将点尸(1,"?)代入(中，机+"2-4=0,解得：m=2,

因为直线/过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0,

当两截距均为0时，设直线/为了=依，代入尸。,2),可得人=2,

此时直线/为2x-y=0；

当两截距不为0时，设直线/为三+2=1,代入P(l,2),可得"=T,

n-n

故此时直线/为无-y+1=0；

综上：直线/的方程为2x7=0或x7+l=0.

18.(本题满分8分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.

如图，已知三棱锥尸-4BC中，尸/，平面4BC,AB1BC,PA=8,AB=6,AC=IQ.

(1)求点A到平面PBC的距离；

(2)求三棱锥P-48c的表面积.

(1)解：因为AC=IO,AB=6,则BC=dAC?-AB?710。-6?=8,

则％4BC=；/B/C=：X6X8=24,所以，/—Bc=；Sac•刃=gx24x8=64.

因为尸Z_L平面"C,AB>BCu平面48C,所以，BC1PA,ABVPA,

又因为3C_L4B,PA^AB=A,PA、48u平面尸所以，5cl平面尸

2222

因为P8=ylPA+AB=78+6=10>则S&PBC=；PBSC=|xlOx8=40,

设点A到平面尸BC的距离为“，由匕(_咏=，BP^SAPBCh=64,

,3x643x6424

可得力=-----=-----=——

SNBC405-

(2)解：因为尸N_L平面T!5C,/CU平面褴C,则PZ_L/C,

所以，S.,=-PA-AC=-xSxlQ=40,S..=-PA-AB=-xSx6=24,

Pr222P2n

故三棱锥P-48c的表面积为S=SAABC+SAPAB+SAPAC+5APSC=24+24+40+40=128.

19.(本题满分8分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分.

己知直线加：3无+4>+12=0和圆。./+/+2》一4>+1=0

(1)求与直线〃z垂直且经过圆心的直线方程；

(2)求与直线m平行且与圆C相切的直线方程.

(1)设与直线机：3尤+4了+12=0垂直的直线为4》一37+。=0

圆C可化为(x+l)2+(>-2)2=4,圆心为C(T,2),

又因为直线机经过圆心，所以4x(7)-3x2+a=0,即0=10,

故所求直线方程为4x-3了+10=0.

(2)设与直线机：3x+4y+12=0平行的直线为3x+4y+c=0(cwl2).

又因为直线3尤+4y+c=0与圆C相切，

所以圆心C(T2)到直线3x+4y+c=0的距离等于半径，即।~L=2，

所以卜+5|=10,c=-15或5,

故所求直线方程为%+4了-15=0或3x+4y+5=0.

20.(本题满分10分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满

分4分.

已知线段的端点B的坐标是(6,5),端点/在圆。:(x-4)2+(y-3)2=4上运动.

(1)求线段的中点P的轨迹CZ的方程；

⑵设圆q与曲线C2的两交点为N,求线段血W的长；

⑶若点C在曲线C,上运动，点0在x轴上运动，求MQ|+|CQ|的最

(1)解：设点尸的坐标为(X，V),点/的坐标为(如外),

由于点2的坐标为(6,5),且点P是线段的中点，所以x=>

x=2x-6_

于是有n5①

因为点/在圆G：(了一4)2+3-3)2=4上运动，即：(/—4)2+(%-3)2=4②,

把①代入②，得(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4,整理，^(x-5)2+(y-4)2=1,

所以点尸的轨迹C2的方程为(x-5)2+(y-4)2=1.

(2)解：将圆G：(x-4)2+(y-3)2=4与圆C2：(x-5)2+(y-4)2=l的方程相减得：2x+2v-19=0,

由圆C2:(x-5『+(y-盯=1的圆心为(5,4),半径为1,且(5,4)到直线2x+2了-19=0的距离

,|10+8-19|V2

d—I-—=~-~,

722+224

则|MN|==理

(3)解:圆G：(x-4)2+(y-3)、4是以G(4,3)为圆心，半径八=2的圆,

圆G是以G(5,4)为圆心，半径汽=1的圆,

所以31+\QC\>\QC\-rl+IQC?I-2=|0Gl+lQGI-3①，当且仅当/在线段。G且C在线段OG

上时，取等号.

设Cs（4,-3）为G（4,3）关于x轴的对称点，则|。GH。C3|，代入①式得：

\QA\+\QC\>|ec31+|ec21-3...|C2C31-3=5V2-3,当且仅当C?，。，共线时,取等号.

所以+|C0|的最小值为5行一3.

21.（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满

分4分.

已知椭圆C:/+，=l（a>6>0）的离心率为椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积

为2.