备考2024年高考数学一轮复习-解析几何综合练

专题9.8解析几何综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试卷)已知圆C的一条直径的两个端点是分别是0(1,1)

和4(3,3),则圆的标准方程是()

A.(尤-2)2+(y-2)2=1

B.(x-2)2+(y+2)~=2

C.(x-2)2+(y-2)2=2

2.(2021秋•高三课时练习)己知圆C与圆龙2+y2-2y=0关于直线x-y-2=0对称，则圆C的方程是()

A.(x+l)2+y=1B.(x-3『+(y+2)2=1

C.(x+3『+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=1

3.(2021秋•高三课时练习)直线mx+〃y+3=0在y轴上的截距为-3,而且它的斜率是直线氐-y=3石的斜率的相

反数，贝U()

A.m=->/3,n=lB.m=—>/3,n=—1

C.m=y/39Tl=_1D.m=A/3，〃=1

4.(2023秋•河南平顶山•高三统考期末)已知双曲线C3=is>o)的焦点到渐近线的距离为④，直线/与。

相交于A,8两点,若线段A3的中点为N(l,2),则直线/的斜率为()

A.-1B.1C.72D.2

22

5.(2023・河南开封•校考模拟预测)己知椭圆C:]+2=l(a>6>0),A,3分别是C的左顶点和上顶点，F是C

ab

的左焦点，若tanNE4B=2tanNEBA,则C的离心率为()

A.|B.虫

22

3-也

6.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线丁=2px（p>0）上一点M（1,冽）（加>0）到其焦

点的距离为5,双曲线鼻-y2=i的左顶点为人，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数。的值为（）

7.（2021秋广东深圳•高三深圳中学校考期中）已知双曲线C的离心率为§,焦点为打百,点A在C上,若闺闻=2风A],

则cosNABK=（）

1111

A.—B.—C.—D.—

3456

8.（2023•安徽六安•安徽省某中学校考模拟预测）已知椭圆工+9=1的左右焦点分别为耳与B，点尸在直线/：

x—+4+^/3=0上.当/百尸鸟取最大值时,比层的值为（

在C.y/2-lD.V3-1

,2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.（浙江省新阵地教育联盟2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试卷）已知圆的方程为/+/一以+2=0,

下列结论正确的是（）

A.该圆的面积为4元B.点（忘,1）在该圆内

C.该圆与圆V+>2=1相离D.直线x+y-4=0与该圆相切

10.（2021秋•广东深圳•高三深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互

为共轨双曲线，以下关于共辗双曲线的结论正确的有（）

A.与二一27=1（4,8>0）共辗的双曲线是二一£=1（°/>0）

aba

B.互为共软的双曲线渐近线不相同

C.互为共轨的双曲线的离心率为弓,e?,则6色22

D.互为共轨的双曲线的4个焦点在同一圆上

11.（2023秋•广东•高三华南师大附中校考期末）已知曲线+町;2=1,则（）

A.若机=〃=4,则曲线C是圆，其半径为2

B.若〃?>〃>0,则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上

C.若线C过点（-夜,6）,-%-,应，则C是双曲线

D.若板=0,则曲线。不表示任何图形

12.（2023・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形A5CD四边所在直线与x轴的交点分别为

（0,0）,（1,0）,（2,0）,（4,0）,则正方形A3CD四边所在直线中过点（0,0）的直线的斜率可以是（）

2

A.2B.C1D.

24

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.（2022秋.高三课时练习）已知实数满足a+处=1,贝U直线数+3、+6=0过定点.

14.（2023春•江西景德镇•高一景德镇一中校考期中）如图，一个光学装置由有公共焦点片,后的椭圆C与双曲线C'

构成，一光线从左焦点月发出，依次经过C，与C的反射，又回到点尸.历时优秒；若将装置中的C去掉，则该光

IY]

线从点耳发出，经过C两次反射后又回到点F1历时W秒，若C，的离心率为C的离心率的4倍，则一=.

n

15.（2023春•贵州遵义•高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知抛物线。：、2=2/（0>0）的焦点为产，直线/过/

与C交于A,B两点，过点A,2分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A,四，则乙4小耳的大小为一.

16.（2023春•上海徐汇・高三上海市徐汇中学校考期中）已知圆的方程为丁+丁一12x-16y=0,该圆过点（3,4）的最

长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为.

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2022秋•高二课时练习）已知两直线4:x-2y+4=012：4x+3y+5=0

（D若直线ax+2y-6=0^ll,l2可组成三角形，求实数。满足的条件；

⑵设A（-l,-2）,若直线/过4与4的交点P,且点A到直线/的距离等于1,求直线/的方程.

18.（2023•全国•高三对口高考）已知抛物线C：V=4x的焦点为-过点K（-l,0）的直线/与C相交于4、2两点，

点A关于x轴的对称点为D

⑴证明：点厂在直线上；

Q

（2）设况4-歹8=§,求.BDK的内切圆"的方程.

19.（2022秋•高三课时练习）已知点N（l,2）,过点N的直线交双曲线X?-匕=1于A,8两点，且ON=（（OA+O8）.

（1）求直线AB的方程；

（2）若过点N的直线交双曲线于C,。两点，且022=0,那么A,B,C,。四点是否共圆？为什么？

22

20.（2023春•上海黄浦•高三上海市大同中学校考期中）已知P是椭圆C:j+与=1上一个动点，尸是椭圆的左焦

点，若|尸石的最大值和最小值分别为3+君和3-石.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）/（0,⑹是y轴正半轴上的一点，求1PM的最大值.

21.（2023秋・贵州铜仁•高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知圆Q:炉+/+i2A-14y+60=0.设圆。2与x

轴相切，与圆。外切，且圆心。2在直线x=-6上.

⑴求圆。2的标准方程；

⑵设垂直于。的直线/与圆。1相交于B,C两点，且忸C|=3板，求直线/的方程.

22

22.（2021秋.广东深圳.高三深圳中学校考期中）已知椭圆C：^+方=1（"＞匕＞0）的右焦点是42/0）,过点尸的

/on6、

直线交椭圆C于4B两点，若线段AB中点。的坐标为鼻，-3.

（1）求椭圆C的方程；

⑵已知尸（0,一切是椭圆C的下顶点，如果直线产依+1（原0）交椭圆C于不同的两点跖N,且M,N都在以尸为

圆心的圆上，求人的值；

⑶过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A,B为椭圆的左右顶点，记直线AR、3s的斜率分别

k.

为依、k2,则广是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

专题9.8解析几何综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟(一)数学试卷)已知圆C的一条直径的两个端点是分别是0(1,1)

和4(3,3),则圆的标准方程是()

A.(尤-2)2+(y-2)2=1

B.(x-2)2+(y+2)~=2

C.(x-2)2+(y-2)2=2

【答案】C

【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.

【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是0(1,1)和4(3,3),

所以圆心为“(2,2),直径为2R=J(3-l)2+(3-l)2=2夜，

所以圆的标准方程是(x-2『+(y-2)2=2.

故选：C.

2.(2021秋•高三课时练习)已知圆C与圆/+>2-2>=0关于直线—2=0对称，则圆C的方程是()

A.(x+l)2+y2=1B.(X-3)2+(^+2)2=1

C.(x+3)2+(y-2)2=1D.(尤+2)，(y-3)2=1

【答案】B

【分析】设所求圆的圆心C(a,可，根据点关于直线的对称得到关于。泊的方程，解出即可.

【详解】将圆f+V-2y=0化成标准形式得x2+(y-l)2=l,

所以已知圆的圆心为(0,1),半径厂=1,

因为圆C与圆犬+,2-2y=0关于直线x-y-2=。对称，

所以圆C的圆心C与点(0,1)关于直线元-〉-2=。对称，半径也为1,

1^=-1

a=3

设C（a,b）可得<Si：1+b…解得

b=-29

[22

所以C（3,-2）,圆C的方程是（彳一3）2+（y+2）2=1

故选：B

3.（2021秋•高三课时练习）直线〃式+町+3=0在y轴上的截距为-3,而且它的斜率是直线氐-y=3石的斜率的相

反数，贝。（）

A.m=-5/3,n=lB.m=>n=­l

C.m=-J3,n=_1D.m=y/3,n=l

【答案】D

【分析】根据已知表示出直线mx+型+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.

【详解】因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,

所以，0-3w+3=0,解得附=1.

因为直线瓜-y=3石的斜率为

由已知可得，直线如+融+3=0的斜率为一即一丝=一百.

n

所以根=6.

故选：D.

2

4.（2023秋•河南平顶山•高三统考期末）已知双曲线C：/-方=1（6>0）的焦点到渐近线的距离为0,直线/与C

相交于A,8两点，若线段的中点为N（l,2）,则直线/的斜率为（）

A.-IB.1C.V2D.2

【答案】B

【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线/的斜率.

2

【详解】因为双曲线的标准方程为V-2=1（6>0）,

所以它的一个焦点为9,0）,一条渐近线方程为M-y=。,

be1—

所以焦点到渐近线的距离"=7肃=J2,化简得6%2=202+1）,解得〃=2,

222

所以双曲线的标准方程为Y一三=1，哈+%—

设4a,%）］（孙为），所以石2—¥=1①,箕-迂=1②,

①-②得，（X：—%22）—g（y:一%2）=0,

化简得（为+%）（不一当）一；（%+%）（»-%）=0③，

因为线段的中点为N（l,2）,所以玉+%=2,%+必=4,

代入③，整理得%-9=%一%，

显然寸“产/所以直线/的斜率％

故选：B

5.（2023・河南开封•校考模拟预测）已知椭圆，A,8分别是C的左顶点和上顶点，尸是C的左焦点，若

tanZFAB=2,tanZFBA,则C的离心率为()

A.yB.立

22

C3-A/5DV5—1

,-2-'2

【答案】C

【分析】根据椭圆的性质结合锐角三角函数，在RtAABO和在求出NE4B,4尸。的正切值，由两角差的

正切公式求出/服1的正切值，结合题目条件得〃，。的关系，即求出椭圆的离心率.

【详解】由题意作出图形，如下图所示:

b

在Rt^ABO中可得：tanZBAO=tan/FAB=—,

a

h

在RtAB尸。中可得：tanZBFO=-,

bb

tanZ.BFO-tan/FAB

所以tanZFBA=tan(ZBFO-NFAB)ca

1+tanZBFO-tanZFAB】、bb

1H-----一

ca

化简得：tanNEBA=%二?

ac+b

因为tan/E4B=2tan/FBA,所以一?①,

aac+b

122

又62=q2-c2,所以①整理可得：c+a-3ac=0,

即e2_3e+l=0,解得e=

2

又e£（O,l）,所以e=H,

2

故选：C.

6.（2023春・上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线丁=22%（夕＞0）上一点到其焦

点的距离为5,双曲线=-y2=i的左顶点为人，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数。的值为（）

a

A.—B.—C.-D.—■

3492*

【答案】A

【分析】由1+^=5得抛物线方程，〃在抛物线上求得〃坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线A"平行可得答

案.

【详解】根据题意，抛物线V=2px（p＞0）上一点M（l,m）（加＞0）到其焦点的距离为5,

则点M到抛物线的准线》=一刍的距离也为5,即1+^=5,解得p=8,

所以抛物线的方程为＞2=16x,则病=16,所以机=4,即M的坐标为（1,4）,

又双曲线二-丁=1的左顶点A（_q,0）,一条渐近线为y=X,

a〃

4411

而—，由双曲线的一条渐近线与直线40平行，则有;一=—，解得不

故选：A

7.（2021秋广东深圳.高三深圳中学校考期中）已知双曲线C的离心率为:，焦点为居，鸟，点A在C上,若闺A|=2|%4|,

则cosNA鸟耳=（）

A1D1

A.—B.—C.—D.—

3456

【答案】B

【分析】根据双曲线离心率可得c=|a,根据双曲线定义推出闺闻=4。,医H=2a,利用余弦定理即可求得答案.

3

【详解】由题意双曲线c的禺心率为5，焦点为B、尸2,点A在C上，

故不妨设耳耳为左、右焦点，由寓A|=2叵可知A在双曲线右支上，

则|辱4|一|%4|=2°,故国H=4a,同旬=20,

由于双曲线。的离-心率为不3，则一c）3，即。=力3,

2a22

|工4『+|大8|2-|44|24a2+4c2-16a2

在IAFF中,cos/A8耳=

2X2|巴川.|耳&|2•2a•2c

4a2+9a2-16a21

2-2a-2--a4

2

故选：B

丫2

8.（2023•安徽六安・安徽省某中学校考模拟预测）己知椭圆土+丁=1的左右焦点分别为耳与右,点尸在直线/：

4

x-有y+4+g=0上.当/耳尸为取最大值时，比煦的值为（）

邛21

A.3B.正C.血一1D.73-1

22

【答案】D

【分析】由米勒最大张角定理确定尸点位置，利用正弦定理计算即可.

【详解】补充：米勒最大张角定理，已知点A8是NMON的边ON上两定点，点尸为边上一动点，则当且仅当

三角形A2P的外接圆与边相切于点尸时，NAPB最大.

证明：如下图所示，当三角形的外接圆与边。/相切于点P时（圆心为。），取0M上任一点P,连接PA、PB

交圆。于C，显然当且仅当尸'、P、C重合时/AP3取得最大值.

如图所示，由题意易得不卜若,0）,根据米勒最大张角定理可知：当△即名的外接圆与直线/相切于尸时，此时夹

角/耳尸片最大，设其圆心。（0,。,

则PQ=Q々n"?^=Ein/+（8后+6"一（8石+7）=0,解之得，=1或，=一8石一7，由圆的性质知:

tanPF2=tan”皆,

显然t=l时tan/耳犀=tan幺产=G,张角最大为60。，

_变

而此时NPKB=75,ZPF2Ft=45,则嘉=理普=陵=73-1.

PF2sin75{6+，2

4

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.(浙江省新阵地教育联盟2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试卷)已知圆的方程为Y+丁-4x+2=0,

下列结论正确的是()

A.该圆的面积为4兀B.点(0,1)在该圆内

C.该圆与圆/+/=1相离D.直线》+丫-4=0与该圆相切

【答案】BD

【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A,根据圆的面积公式即可判断；对于B,将

点(0,1)代入(x-2)2+9,判断与2的大小，即可得出结论；对于C,求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆

半径之和；对于D,根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断.

【详解】—4x+2=(X—2)2+=2,可知圆心为(2,0),半径/=；

对于A：由圆的半径丁=0,得该圆的面积为兀户=2兀，故A错误；

对于B：因为(后-2)2+/=7-4也<2,所以点(01)在该圆内，故B正确；

对于C：圆Y+V=1的圆心为(0,0),半径为1,

因为两圆心距离为J(2-0y+(0-0)2=2<0+1,且2>0-：1，所以两圆相交，故C错误；

对于D：圆心(2,0)到直线x+y-4=0的距离d=1,J=应=r,

Vi2+i

所以直线尤+y-4=0与该圆相切，故D正确，

故选：BD.

10.(2021秋•广东深圳•高三深圳中学校考期中)定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互

为共辗双曲线，以下关于共轨双曲线的结论正确的有()

A.与一—l(a,b>0)共就i的双曲线是一—=l(a,b>0)

ab'ba~

B.互为共软的双曲线渐近线不相同

C.互为共朝的双曲线的离心率为02,则qe2N2

D.互为共轨的双曲线的4个焦点在同一圆上

【答案】CD

【分析】根据共轨双曲线的定义可判断A；分别求得互为共辗的双曲线的渐近线判断B；根据双曲线离心率定义可

得4+4=1，即e：+e；=e：£,即可结合基本不等式推得/与22,判断C；求得四个焦点坐标，即可判断D.

e\e2

Y2y2y2尤2

【详解】对于A,根据共朝双曲线的定义可知，与3―==1（Q/〉0）共辗的双曲线是2—T=1（Q,"0）,A错误;

abba

y2y2b

对于B,多=132>0）的渐近线方程为》=±与，

aba

=1（。，％>0）的渐近线方程也为>=，二者相同，B错误;

la2+b2

对于C,由题意可得

.,11a2+b21

故;^^=/7乒2

由于6>10>1,故e］e；=e；2耳-e2,即qe2>2,

当且仅当4=02=血时等号成立，C正确；

22_________

对于D,5-与=l（a,b>0）的焦点坐标为（土J/+/0），

ab

22

其共朝双曲线%-十=1（°,6>0）的焦点坐标为（0,±77万），

显然这4个焦点在以原点为圆心，而寿为半径的圆上，D正确，

故选：CD

11.（2023秋・广东•高三华南师大附中校考期末）已知曲线C:〃储+冲2=1,则（）

A.若〃?="=4,则曲线C是圆，其半径为2

B.若根>”>0,则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上

C.若线。过点（-应,6）,-七一,0，则。是双曲线

D.若加〃=0,则曲线C不表示任何图形

【答案】BC

【分析】对于A,曲线C可化为无2+丁=」，表示圆，可求半径，判断A;

n

22

工+匕=111

对于B,加>〃>0时，曲线C可化为11一，0<—<—可判断表示椭圆，判断B;

mn

mn

22

对于c,将点卜后,括），［-半,血］,代入曲线C：>wc+ny=l,求得曲线方程，

判断C;对于D,可举特例进行说明，判断D.

【详解】对于A,〃?=">0时，曲线C可化为无2+丁=,，其半径为;=:，故A错误;

n7n2

22

±+±=111

对于B,加>〃>0时，曲线C可化为11一表示的是椭圆，而0<—<一,

mn

mn

所以其焦点在y轴上，故B正确;

对于C,将点卜代,石），—P"，后，代入曲线C：rwc2+ny2=1,

2m+3〃=1m=1

有｛5加.1mn<0,所以曲线。是双曲线，故C正确;

------\-2n=1i=——

33

对于D,若m=l,〃=0,满足条件，此时曲线C：一=1,表示两条直线,

故D错误,

故选：BC.

12.（2023・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形A8CD四边所在直线与x轴的交点分别为

（0,0）,（1,0）,（2,0）,（4,0）,则正方形ABCD四边所在直线中过点（0,0）的直线的斜率可以是（）

331

A.2B.—C.—D.一

244

【答案】ABD

【分析】假设A3所在的直线过点（0,0）,分类讨论8所在的直线所过的点，结合图象分析运算.

【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设A3所在的直线过点（0,。）,

设直线A3的倾斜角为ae］。弓）斜率为3

①若8所在的直线过点（1,0）,如图，可得3C=sinc,C£）=2cosa,

因为3C=CD,即sina=2cosa,则左=tana=2；

②若。。所在的直线过点（2,0）,如图，可得5c=2sina,CQ=3cosa,

3

因为6C=CD,即2sina=3cosa,则左二tan。二一；

2

y

oi

③若CO所在的直线过点（4,0）,如图，可得BC=4sine,CZ）=cosc,

【点睛】关键点睛：假设A3所在的直线过点（0,。），分类讨论CO所在的直线所过的点，数形结合处理问题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.（2022秋•高三课时练习）已知实数。涉满足a+处=1,则直线依+3y+6=0过定点

【答案】（g,-：）

2%—1=0

【分析】根据题意化简直线方程为（x+3y）-6（2x-l）=0,联立方程组心二0,即可求解，

【详解】由实数满足。+2b=l,可得。=1一2）,

代入直线方程依+3>+6=0,可得(x+3y)—6(2x—l)=O,

2%—1=011

联立方程组，+3尸。,解得x=/=7.

所以直线办+3—=0过定点

故答案为：（《—0・

14.（2023春•江西景德镇•高一景德镇一中校考期中）如图，一个光学装置由有公共焦点片,此的椭圆C与双曲线C'

构成，一光线从左焦点耳发出，依次经过C'与C的反射，又回到点片.，历时加秒；若将装置中的C'去掉，则该光

线从点K发出，经过C两次反射后又回到点月历时〃秒，若C'的离心率为C的离心率的4倍,则一=

n

E

B

【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得.

【详解】设椭圆长轴长为2%,双曲线实轴长为2%,焦距2c,

£

q

由a1

z2

%4

依次经过C'与C的反射，又回到点则有|然|-|筋|=2/，忸周+|明|=2q,

两式相减得忸局-|A闾+忸耳|+|然|=1/^+1841+191=2q—2%,

将装置中的c去掉，则有1Ml+归周+|叫=4弓,

1-£11_j_

所以根_1AK+忸4_2q-2a2_q_4_3

n~E^|+|P^+\EP~~4^-2—2一8

3

故答案为：—.

O

15.（2023春•贵州遵义•高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知抛物线。：寸=2/（°>0）的焦点为尸，直线/过尸

与C交于A,8两点，过点A,8分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为4，月，则乙41fBl的大小为一.

【答案】1/90

【分析】联立直线/与抛物线c的方程，利用设而不求的方法求得EV*=0,进而得到/4尸片的大小.

【详解】抛物线c:丁=2PMp>0）的焦点为呜,0）,

设直线/的方程为％-点=畋，

令4（占,％）,_8（々,%），则A（—光，%），耳（―§，％）>

1P—YYI\

又，2,整理得-2°冲-p2=0,

j2=2px

则乂%=-p2，X+%=2P优,

222

又色=（-P，必）,理=（~P，%），FAl-FB1=p+yly2=p-p^0,

jr

则%J.F4,则幺股=；

故答案为：—

16.（2023春•上海徐汇•高三上海市徐汇中学校考期中）已知圆的方程为幺+必一i2x-16y=0,该圆过点（3,4）的最

长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为.

【答案】100―

【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答.

【详解】依题意，圆（x-6）2+（y-8）2=100的圆心“（6,8）,半径厂=10,

点。（3,4）与圆心M（6,8）的距离\QM\=7（3-6）2+（4-8）2=5<10,

则点。（3,4）在圆内，过点。（3,4）及圆心的直线与圆相交，得最长弦长|4。=2厂=20,

当时，忸D|最短，过Q（3,4）的最短的弦长忸£>|=2,严一|°阂2=2次00-25=10。,

所以四边形ABCD的面积SABCD=|AC-BD=1X10V3X20=10073.

故答案为：1004

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2022秋,高二课时练习）已知两直线（：x_2y+4=0,4：4x+3y+5=0

⑴若直线"+2丁-6=0与K可组成三角形，求实数。满足的条件；

⑵设4（-1,-2）,若直线/过丸与4的交点尸，且点A到直线/的距离等于1,求直线/的方程.

Q

【答案】⑴a~2且aw-1且

（2）4x+3y+5=0或x+2=0

【分析】（1）先求得44的交点R-2,1）,根据三线不共点和任意两直线不平行，列出不等式，即可求解;

（2）根据题意，当直线/的斜率存在，设直线/的方程为y-l=-x+2）,结合点到直线的距离公式，列出方程求得

左的值；当直线/的斜率不存在，直线/的方程为％+2=0,验证符合题意，进而得到答案.

fx-2y+4=0

【详解】⑴解：由方程组，:<C，解得x=-2,y=l,所以//的交点为尸（-2,1）,

[4尤+3y+5=0

①当直线办+2y-6=0过乙与4的交点P时，不能构成三角形，

所以。x（-2）+2xl-6wO,解得2；

②当直线办+2y-6=。分别与44平行时，不能构成三角形，

„,a2a2

则一K二F

1-243

Q

所以aw-1且a

o

综上可得，实数a满足的条件aw—2且aw—1且“w号

（2）解：若直线/的斜率存在，设直线/的方程为、-1=依*+2）,即依-y+（2Z+l）=0,

因为点4T,-2）到直线/的距离为1,可得J—==一U1,解得左=一：，

即所求直线/的方程为4x+3y+5=0；

若直线/的斜率不存在，即直线/的方程为x+2=0,

因为点A（T，-2）到直线/：x+2=0的距离为1,所以直线x+2=0也满足题意

故所求的直线/的方程为4x+3y+5=0或x+2=0.

18.（2023•全国•高三对口高考）已知抛物线C：V=4x的焦点为P,过点K（-1,0）的直线/与C相交于A、2两点,

点A关于x轴的对称点为D

⑴证明：点尸在直线3。上；

Q

⑵设=求一比>K的内切圆M的方程.

【答案】（1）证明见解析.

⑵圆"的方程为：+y2=：

【分析】（1）利用斜率相等即可证得结果；

（2）利用向量数量积和内切圆的性质即可求得结果.

【详解】（1）设4亨,%），刈苧,%），已知点A关于x轴的对称点为，

“2M_%

则点。的坐标为，由％AK=L,可得y；叫11

4-------ri-------r1

44

整理可得（必%-4）（%-%）=。，即M%=4.

16

%

4%

号T一%2]=左8尸，

4—y-为2-4~T~

由左£）尸=心口，可知点/在直线_BD上.

（2）由E4-PB=g，可得（《一1）（早一1）+%%=|，即可得x+%=±g，

-U；

由于A,8在抛物线上,4

3

不妨设A,B在x轴上方，贝必AB=:，可知A8的直线方程为4y-3X-3=0,

,______________4后k-%+%—43

BD22

而%-x="(1+%)2-=二-,故y2yiy2f=方，

3447

则的直线方程为V7y-3x+3=o,由于X轴是NAKD的角平分线，可知内切圆的圆心必然在x轴上,

故设圆心坐标为（孙。），由于角平分线上的点到角的两边距离相等，

则厂」一3租+3]1-3加-3],解得机=〈或机=9（舍），则可得厂=£,

4593

▲BDK的内切圆M的方程为[一:1+•/=1・

21

19.（2022秋•高三课时练习）己知点N（l,2）,过点N的直线交双曲线V=1于A,8两点，S.ON^-（OA+OB）.

⑴求直线AB的方程；

（2）若过点N的直线交双曲线于C,。两点，且C£>-A2=0,那么A,B,C,。四点是否共圆？为什么？

【答案】（l）y=x+l

（2）四点共圆，原因见解析

【分析】⑴设直线A3的方程为y=3-1）+2,代入双曲线方程，设A（4yJ,B（X2,J2）,根据ON=g（Q4+OB）

得N是AB的中点，利用韦达定理求出％可得直线A3的方程为；

（2）直线A3的方程代入双曲线方程解得x可得A,B坐标，根据CD-A2=0得CD垂直43,求出CD所在直线方

程代入双曲线方程，令。（思,力），。（和为）及CO中点〃（玉,几），根据韦达定理得弦长|CD|及

Mq=W=JcD卜2西，==2如可得A、B、C