高中数学《排列组合》教（学）案

./排列与组合一、教学目标1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题3、思想教育目标：发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力二、教材分析1.重点：加法原理,乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．2.难点：加法原理,乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．三、活动设计1.活动：思考,讨论,对比,练习．2.教具：多媒体课件．四、教学过程正1．新课导入随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键．2．新课我们先看下面两个问题．<l>从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船．一天中,火车有4班,汽车有2班,轮船有3班,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法．一般地,有如下原理：加法原理：做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十mn种不同的方法．<2>我们再看下面的问题：由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法？这里,从A村到B村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又有2种不同的走法．因此,从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法．一般地,有如下原理：乘法原理：做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．例1书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书．1〕从中任取一本,有多少种不同的取法？2〕从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法？解：〔1〕从书架上任取一本书,有两类办法：第一类办法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法；第二类办法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法．根据加法原理,得到不同的取法的种数是6十5=11．答：从书架L任取一本书,有11种不同的取法．〔2〕从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书,有6种方法；第二步取一本语文书,有5种方法．根据乘法原理,得到不同的取法的种数是N＝6X5＝30．答：从书架上取数学书与语文书各一本,有30种不同的方法．练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1〕从中任取一枚,有多少种不同取法？2〕从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法？例2：<1>由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数？<2>由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数？<3>由数字0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字,从5个数字中任选一个数字,共有5种选法；第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复,这仍有5种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有5种选法．根据乘法原理,得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．练习：1、从甲地到乙地有2条陆路可走,从乙地到丙地有3条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．〔1〕从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？〔2〕从甲地到丙地共有多少种不同的走法？2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2OX分别标有数1、2、…、19、20的红卡片,从中任抽一X,把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10X分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片,从中任抽一X,把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？3．题2的变形4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？小结：要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步？分类时用加法,分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习练习1．〔口答〕一件工作可以用两种方法完成．有5人会用第一种方法完成,另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作,共有多少种选法？2．在读书活动中,一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法？3．乘积〔a1+a2+a3〕〔b1+b2+b3+b4〕〔c1+c2+c3+c4+c5〕展开后共有多少项？4．从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？5．一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有这些小球的颜色互不相同．〔1〕从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法？〔2〕从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法？作业：排列[复习基本原理]1.加法原理做一件事,完成它可以有n类办法,第一类办法中有m1种不同的方法,第二办法中有m2种不同的方法……,第n办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法.2.乘法原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,.那么完成这件事共有N=m1m2m3…mn种不同的方法.3.两个原理的区别：[练习1]1.、XX、XX三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的机票？2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.[基本概念]什么叫排列？从n个不同元素中,任取m<>个元素〔这里的被取元素各不相同〕按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.什么叫一个排列？[例题与练习]由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？2.已知a、b、c、d四个元素,①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.[排列数]定义：从n个不同元素中,任取m<>个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号表示.用符号表示上述各题中的排列数.排列数公式：=n<n-1><n-2>…<n-m+1>；；；；计算：=；=；=；[课后检测]写出：从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.计算：①②③④排列课题：排列的简单应用<1>目的：进一步掌握排列、排列数的概念以与排列数的两个计算公式,会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．过程：一、复习：〔引导学生对上节课所学知识进行复习整理〕1．排列的定义,理解排列定义需要注意的几点问题；2．排列数的定义,排列数的计算公式或〔其中m≤nm,nZ〕3．全排列、阶乘的意义；规定0!=14．"分类"、"分步"思想在排列问题中的应用．二、新授：例1：⑴7位同学站成一排,共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列——＝5040⑵7位同学站成两排〔前3后4〕,共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720⑷7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有种；第二步余下的5名同学进行全排列有种则共有=240种排列方法⑸7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一〔直接法〕：第一步从〔除去甲、乙〕其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列〔全排列〕有种方法所以一共有＝2400种排列方法．解法二：〔排除法〕若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法．所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种．小结一：对于"在"与"不在"的问题,常常使用"直接法"或"排除法",对某些特殊元素可以优先考虑．例2：7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学"捆绑"在一起看成一个元素与其余的5个元素〔同学〕一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学"松绑"进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝1440⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上,一共有＝720种．⑶甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学"捆绑"在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学"松绑"进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学"捆绑"在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有2种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法．解法三：将甲、乙两同学"捆绑"在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有种方法,最后将甲、乙两同学"松绑",所以这样的排法一共有＝960种方法．小结二：对于相邻问题,常用"捆绑法"〔先捆后松〕．例3：7位同学站成一排．⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：〔排除法〕解法二：〔插空法〕先将其余五个同学排好有种方法,此时他们留下六个位置〔就称为"空"吧〕,再将甲、乙同学分别插入这六个位置〔空〕有种方法,所以一共有种方法．⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有种方法,此时他们留下五个"空",再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个"空"有种方法,所以一共有＝1440种．小结三：对于不相邻问题,常用"插空法"〔特殊元素后考虑〕．三、小结：1．对有约束条件的排列问题,应注意如下类型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排〔即必须相邻〕；⑶某些元素要求分离〔即不能相邻〕；2．基本的解题方法：⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素〔位置〕法〔优限法〕；⑵某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为"捆绑法"；⑶某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为"插空法"；⑷在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基．四、作业：《课课练》之"排列课时1—3"课题：排列的简单应用<2>目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题,进一步培养分析问题、解决问题的能力,同时让学生学会一题多解．过程：一、复习：1．排列、排列数的定义,排列数的两个计算公式；2．常见的排队的三种题型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；⑵某些元素要求连排〔即必须相邻〕——捆绑法；⑶某些元素要求分离〔即不能相邻〕——插空法．3．分类、分布思想的应用．二、新授：示例一：从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法？解法一：〔从特殊位置考虑〕解法二：〔从特殊元素考虑〕若选：若不选：则共有＋＝136080解法三：〔间接法〕136080示例二：⑴八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,则共有多少种不同的排法？略解：甲、乙排在前排；丙排在后排；其余进行全排列．所以一共有＝5760种方法．⑵不同的五种商品在货架上排成一排,其中a,b两种商品必须排在一起,而c,d两种商品不排在一起,则不同的排法共有多少种？略解：〔"捆绑法"和"插空法"的综合应用〕a,b捆在一起与e进行排列有；此时留下三个空,将c,d两种商品排进去一共有；最后将a,b"松绑"有．所以一共有＝24种方法．⑶6X同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,若要求师生相间而坐,则不同的坐法有多少种？略解：〔分类〕若第一个为老师则有；若第一个为学生则有所以一共有2＝72种方法．示例三：⑴由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解：⑵由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13000大的正整数？解法一：分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有种方法；另一类是首位不为1,有种方法．所以一共有个数比13000大．解法二：〔排除法〕比13000小的正整数有个,所以比13000大的正整数有＝114个．示例四：用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列．⑴第114个数是多少？⑵3796是第几个数？解：⑴因为千位数是1的四位数一共有个,所以第114个数的千位数应该是"3",十位数字是"1"即"31"开头的四位数有个；同理,以"36"、"37"、"38"开头的数也分别有12个,所以第114个数的前两位数必然是"39",而"3968"排在第6个位置上,所以"3968"是第114个数．⑵由上可知"37"开头的数的前面有60＋12＋12＝84个,而3796在"37"开头的四位数中排在第11个〔倒数第二个〕,故3796是第95个数．示例五：用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中⑴能被25整除的数有多少个？⑵十位数字比个位数字大的有多少个？解：⑴能被25整除的四位数的末两位只能为25,50两种,末尾为50的四位数有个,末尾为25的有个,所以一共有＋＝21个．注：能被25整除的四位数的末两位只能为25,50,75,00四种情况．⑵用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,一共有个．因为在这300个数中,十位数字与个位数字的大小关系是"等可能的",所以十位数字比个位数字大的有个．三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法,同时注意考虑问题的全面性,此外能够借助一题多解检验答案的正确性．四、作业："3＋X"之排列练习组合⑴课题：组合、组合数的概念目的：理解组合的意义,掌握组合数的计算公式．过程：一、复习、引入：1．复习排列的有关内容：定义特点相同排列公式排列以上由学生口答．2．提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序"排列",而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的．引出课题：组合问题．二、新授：1．组合的概念：一般地,从n个不同元素中取出m〔m≤n〕个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注：1．不同元素2．"只取不排"——无序性3．相同组合：元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；〔组合〕⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．〔排列〕2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m〔m≤n〕个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示．例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙,甲丙,乙丙．即有种组合．又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB,AC,AD,BC,BD,CD一共6种组合,即：在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题,关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算呢？3．组合数公式的推导⑴提问：从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得,故我们可以考察一下和的关系,如下：组合排列由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有种方法．由分步计数原理得：＝,所以：．⑵推广：一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；②求每一个组合中m个元素全排列数,根据分布计数原理得：＝⑶组合数的公式：或⑷巩固练习：1．计算：⑴⑵2．求证：3．设求的值．解：由题意可得：即：2≤x≤4∵∴x=2或3或4当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式值为11．∴所求值为4或7或11．4．例题讲评例1．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法？略解：例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组,问组成方法共有多少种？解法一：〔直接法〕小组构成有三种情形：3男,2男1女,1男2女,分别有,,,所以一共有++＝100种方法．解法二：〔间接法〕5．学生练习：〔课本99练习〕三、小结：定义特点相同组合公式排列组合此外,解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理．四、作业：课堂作业：教学与测试75课课外作业：课课练课时7和8组合⑵课题：组合的简单应用与组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质,并且能够运用它解决一些简单的应用问题．过程：一、复习回顾：1．复习排列和组合的有关内容：强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习一：练习1：求证：．〔本式也可变形为：〕练习2：计算：①和；②与；③答案：①120,120②20,20③792〔此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．〕3．练习二：⑴平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条？⑵平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：⑴〔组合问题〕⑵〔排列问题〕二、新授：1．组合数的性质1：．理解：一般地,从n个不同元素中取出m个元素后,剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数,即：．在这里,我们主要体现："取法"与"剩法"是"一一对应"的思想．证明：∵又∴注：1我们规定2等式特点：等式两边下标同,上标之和等于下标．3此性质作用：当时,计算可变为计算,能够使运算简化．例如：＝＝=2002．4或2．示例一：〔课本101例4〕一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球,共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？解：⑴⑵⑶引导学生发现：．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类：一类含有1个黑球,一类不含有黑球．因此根据分类计数原理,上述等式成立．一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类：一类含有元素,一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的,共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个．根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质．在这里,我们主要体现从特殊到一般的归纳思想,"含与不含其元素"的分类思想．3．组合数的性质2：＝+．证明：∴＝+．注：1公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2此性质的作用：恒等变形,简化运算．在今后学习"二项式定理"时,我们会看到它的主要应用．4．示例二：⑴计算：⑵求证：＝++⑶解方程：⑷解方程：⑸计算：和推广：5．组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：⑴〔讲解〕⑵〔练习〕⑶6．处理《教学与测试》76课例题三、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．四、作业：课堂作业：《教学与测试》76课课外作业：课本习题10.3；课课练课时9组合⑶课题：组合、组合数的综合应用⑴目的：进一步巩固组合、组合数的概念与其性质,能够解决一些较为复杂的组合应用问题,提高合理选用知识的能力．过程：一、知识复习：1．复习排列和组合的有关内容：依然强调：排列——次序性；组合——无序性．2．排列数、组合数的公式与有关性质性质1：性质2：＝+常用的等式：3．练习：处理《教学与测试》76课例题二、例题评讲：例1．100件产品中有合格品90件,次品10件,现从中抽取4件检查．⑴都不是次品的取法有多少种？⑵至少有1件次品的取法有多少种？⑶不都是次品的取法有多少种？解：⑴；⑵；⑶．例2．从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法？解：分为三类：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有所以一共有++．例3．现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作〔其中有1名青年两项工作都能胜任〕,现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有．所以一共有++＝42种方法．例4．甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表？解法一：〔排除法〕解法二：分为两类：一类为甲不值周一,也不值周六,有；另一类为甲不值周一,但值周六,有．所以一共有+＝42种方法．例5．6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法？解：第一步从6本不同的书中任取2本"捆绑"在一起看成一个元素有种方法；第二步将5个"不同元素〔书〕"分给5个人有种方法．根据分步计数原理,一共有＝1800种方法．变题1：6本不同的书全部送给5人,有多少种不同的送书方法？变题2：5本不同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？变题3：5本相同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？答案：1．；2．；3．．三、小结：1．组合的定义,组合数的公式与其两个性质；2．组合的应用：分清是否要排序．四、作业：《3+X》组合基础训练《课课练》课时10组合