2023年中考数学解答题专项复习讲义-第6讲概率

第0讲：概率

2023年中考数学解答题专项复习讲义（人教版）

第一部分：中考真题

1、妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快.是小红对弟弟说：我

们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行,

同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形.我就先涂，否则你先涂.小

红设计的游戏对弟弟是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由.（第一行的小方格从左至右

分别用4B,C表示，第三行的小方格从左至右分别用〃，E,尸表示）

【答案】解：不公平，理由如下：

根据题意，画树状图如图：

第一行

第三行

第一行

/T\

DEF

由树状图可知，共有9种等可能出现的情况，其中得到轴对称图案的情况有5种，分别为（4、〃）、（尔

F）、（8、E）、（G。）、（G尸）.

:.P（小红先涂）=|.

尸（弟弟先涂）3.

..5,4

99

.•.小红设计的游戏对弟弟不公平.

【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出图案是轴对称图形数量，然后计算她们获胜的概

率，再根据概率的大小判断该游戏是否公平.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果,，再从中选出符合事件/

或6的结果数目0,然后利用概率公式计算事件4或事件6的概率.

2、甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品:

A.纯牛奶，B.核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C.纯牛奶，D.酸奶,E.核桃奶.

(1)甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是;

(2)若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购

一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率.

【解析】解：(1)•••蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A.纯牛奶，6.核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶

制品：C.纯牛奶，D.酸奶，E.核桃奶，

...甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：|;

故答案为：I；

(2)根据题意画树状图如下：

AB

/T\A\

CDEcDE

共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，

则两人选购到同一种类奶制品的概率是名.

(1)用纯牛奶的个数除以总牛奶的个数即可得出答案；

(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两人选购到同一种类奶制品的情况数，然后根据概

率公式即可得出答案.

此题考查的是树状图法求概率.树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

3、为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种

新冠病毒疫苗的宣传工作.某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是:

A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条;

B.疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员;

C接种疫苗别再拖，安全保障好处多;

D.疫苗接种连万家，平安健康乐全家.

志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报.

(1)小张从一套海报中随机抽取一张，抽到8海报的概率是.

(2)小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽

到〃海报的概率.

【答案】解：⑴4

(2)画树状图如图:

开始

小张ABCD

/N/T\/1\/1\

小李BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到〃海报的结果有6种,

.♦•小张和小李两个人中有一个人抽到〃海报的概率为能.

【解析】(1)小张从一套海报中随机抽取一张，抽到8海报的概率是:，

4

故答案为：:；

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到。海报的结果有6种，再

由概率公式求解即可.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数

与总情况数之比.

第二部分：考点解读

一、事件的分类

1.必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是L

2.不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0.

3.随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间.

二、概率的计算

1.公式法

m

P(A)=〃，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数.

2.列举法

(1)列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可

能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率.

(2)画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率.

三、利用频率估计概率

1.定义

一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频

m

率〃来估计这一事件发生的概率.

2.适用条件

当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估

计概率.

3.方法

进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率.

四、概率的应用

概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活

动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策.

第三部分：自主练习

1、某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动.摸球规则如下：在一只不透明的口袋

中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余

下的2个球中任意摸出1个球.

(1)用树状图列出所有等可能出现的结果；

(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖.现规定摸出颜色不同的两球和摸

出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由.

2、据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建.在

没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事.1971年，因破四旧再次遭废.现

在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百

尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地.学

校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调

查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类.他们随机抽取部分市民进行

问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

图It“绅疑楼知识多少.条形统计图图2i-忡鼓楼知识知名少”扇影统计图

(1)设本次问卷调查共抽取了加名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是〃度，分别写出〃?，

n的值.

(2)根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？

(3)为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随

机抽取2人进行调查，请用列举法(树状图或列表)求恰好抽到一男一女的概率.

3、第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区

设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A.云顶滑雪公园、B.国家跳台滑雪中心、C.国家越野滑雪中心、

〃国家冬季两项中心.小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的

可能性相同.

(1)小明被分配到D.国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？

(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率.

4、“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手

势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢.假设甲、

乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.

(1)甲每次做出“石头”手势的概率为;

(2)用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率.

5、为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A.阅读

数学名著；B.讲述数学故事；C.制作数学模型；D.挑战数学游戏要求七年级学生每人只能参加一项.为

了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图(如图)，请根

据图表信息解答下列问题：

项目ABCD

人数/人515ab

（D«=,b=.（2）扇形统计图中“8”项目所对应的扇形圆心角为一

度.

（3）在月末的展示活动中，“右’项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从

这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2

名学生来自不同班级的概率.

6、北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓

厚兴趣.某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、

自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）.

请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生；若该校共有2000

名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有人；（2）补全条形统计图；（3）把短道速滑记为人花样滑

冰记为反自由式滑雪记为G单板滑雪记为〃，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请

用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率.

7、2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将

劳动从综合实践活动课程中独立出来.某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳

动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘

制成如下不完整的统计图表.

等级时长：(单位：分钟)人数所占百分比

A0</<24X

B2</<420

C4</<636%

Dz>616%

根据图表信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生总人数为表中X的值为；

(2)该校共有500名学生，请你估计等级为5的学生人数；

(3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请

利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

8、有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg,

6kg,7kg,7kg,8kg.现将这五个纸箱随机摆放.

(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是；

(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为

15kg的概率.

9、某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团

员，其余3人均是共产党员.医院决定用随机抽取的方式确定人选.

(1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；

A.不可能B.必然C.随机

(2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护