2023-2024学年上海市高二年级下册期中数学模拟试题 四（含解析）

2023-2024学年上海市高二下学期期中数学模拟试题

一、填空题(本题满分54分，共有12题，1-6题每题4分，7-12每题5分)

1,函数∕3=v+lnx的导数/♦)=—..

【正确答案】3x2+-

X

【分析】根据导数计算公式直接计算即可.

【详解】函数y=d的导数为V=3χ2,

函数N=InX的导数为了=」，

X

根据导数加法运算公式，函数/(x)=Y+lnx的导数/'(x)=3χ2+g.

ʌ1

故答案为.3/+上

X

13

2.已知尸(BI力)=§,P(A)=-,则尸(46)=.

【正确答案】-

5

【分析】由已知条件，利用条件概率计算公式直接求解即可.

13

【详解】VP(B∖A)^-,P(A)=~,

：.P(ZB)=P(8I∕)∙P(∕)=g

故L

5

3.两名女生,4名男生排成一排,则两名女生不相邻的排法共有种(以数字作答)

【正确答案】480

【详解】分析：由题意,先排男生,再插入女生,即可得两名女生不相邻的排法.

详解：由题意，其中4名男生共有=24种不同的排法，

再将两名女生插入4名男生之间，共有4=20中不同的方法，

所以两名女生不相邻的排法共有24x20=480中不同的排法.

点睛：本题主要考查了排列的应用，其中认真分析题意，得道现排四名男生，在把两名女生插入四名男生

之间是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

4.二项式展开中d的系数为.

【正确答案】ɪ

16

【分析】利用二项式定理，写出展开式的通项即可求解.

【详解】二项式（，+］）JcY=CL7

的展开式为4+I=G

令2r一5=3,解得r=4,

所以展开中V的系数为C>ʌ=—,

UJ16

故—

16

5.设随机变量X服从正态分布N（2,σ∙2）,若P（X≤1）=0.2,则P（X<3）=

【正确答案】0.8

【分析】根据正态分布的概念及性质即可求解概率.

【详解】解：因为P（X≥3）=P（X≤l）=0∙2,

所以尸(X<3)=l-P(X23)=1-0.2=0.8,

故答案为.0.8

6.某次比赛中，9名评委对选手表现进行百分制打分，将选手的9个得分去掉一个最高分，去掉一个最低

分，7个剩余分数的平均分为91.现场工作人员做了9个分数的茎叶图，后来一个数据模糊，无法辨认，在

图中以X表示（见下图），则X的值为.

877

94010x91

【正确答案】4

【分析】根据已知条件及茎叶图的特点，结合平均数公式即可求解.

【详解】根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87,最高分为90,

所以剩余7个数为87,90,90,91,91,90+X,94,

因为7个剩余分数的平均分为91,

,,87+90+90+91+91+90+x+94〜

所ec以--------------------------------=91,解得X=4，

7

所以X的值为4.

故答案为•4

7.函数y=x+2cosx在（0,乃）上的单调递减区间为

Jr5

【正确答案】（一,一%）

66

【分析】求导，根据导函数与原函数单调性的关系求解.

【详解】Vy=x+2cosx,X∈(0,π)

:V=1-2SinX,X∈(0,π)

π5

当y'=l-2sinx<0,即x∈(-,-乃)时,

66

函数N=x+2cosx单调递减，

Ji5

故答案为G，、).

66

本题考查函数的单调性.求函数单调区间常用方法：1、定义法；2、根据基本函数单调性；3、根据复合函

数单调性；4、导数法；5、图像法.

8.已知随机变量X服从二项分布8(〃,p),若E(X)=40,D(X)=20,则P=.

【正确答案】g##05

【分析】根据二项分布期望与方差计算公式列出方程组求解即可

【详解】因为随机变量X服从二项分布8(〃,p),

E(X)=叨=40解得P=；.

所以《Z)jx)=印(I-P)=20

⅛∙^^

9.已知X,y的对应值如下表所不:

Xo2468

y1/27+12/n+l3加+313

若y与X线性相关，且回归直线方程为y=L2x+0.2,则加=

【正确答案】1

【分析】根据线性回归方程过样本中心点直接计算即可.

【详解】根据表格可知，X=0+2+4+6+8^4,

5

—l+(m+l)+(2加+1)+(3m+3)+136m+19

N=5=，

因为y与X线性相关，且回归直线方程为y=1.2x+0.2,

6„I1o

所以~一-=1.2×4+0.2,得6加+19=25,解得机=1.

5

故1

10.已知〃23,若对任意的x,都有(X+2)"=4(X-1)"+4(X-1)"T+135∙(X-I)T,则

n=.

【正确答案】6

【详解】∙.∙(x+2)”=[(X—1)+3『.∙.C：32=135；.或〃;D=15；.〃=6.(负舍)

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出，•值即可.

(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项，由特定项得出r值,

最后求出其参数.

11.如图/BCDEF_4'B'C'D'E'F'为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机

选取两条，则它们共面的概率是.

【正确答案】—

11

【分析】共面分为平行和相交，平行时，只需要考虑对面平行中的直线即可，相交时分为：在侧面内相交,

两个相邻交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再

利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可.

【详解】解：由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有6个侧面，所以共有6组；

若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有12个顶点，所以共有12组，

若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接AD,C'D,E'D,AB',AF',

先考虑下底面，根据正六边形性质可知EE,所以E'F'〃AD〃B'C',

且B'C'=EF≠AD,故∕OC为'共面，且Z0E'F'共面，

故/E',OE'相交，且Cz>,ZB'相交，故共面有2组，

则正六边形对角线AD所对应的有2组共面的面对角线，

同理可知正六边形对角线BE,C尸所对的分别有两组，共6组，

故对于上底面对角线N'。'，BE,CF同样各对两组，共6组，

若对面平行，一组对面中有2组对角线平行，三组对面共有6组，

6+12+12+66

所以共面的概率是——不-----=—.

故色

11

12.已知正实数X,y满足InX=户*+lny,则y-e-”的最大值为.

2

【正确答案】4##e-

e^

YIn—/、

【分析】把已知等式变形为xe'=ln'e，，利用函数/(x)=xe'(x>O)的单调性得x)的关系，从而

y

将y-eτ转化为X的函数，再利用导数求得其最大值即可.

X

XXXγIn-

【详解】由InX=ye'+Iny得In—=ye∖所以一In-=Xe则xe'=ln二∙e,

yyyy

χX

因为x>O,e*>O,、八，所以In—>。，

e>Uy

令/(x)=XeX(X〉0),则/'(x)=e*(x+l)>0,所以/(x)在(0,+“)上单调递增,

所以由XeJt=In±∙e"7,即f(x)=f∖n-∖,得x=ln±,所以^=之，

ʃVy)ye

--XX1χ-l

所fc以rly—e，=--=—―.

eee

令g(x)==∙(∙x>°),则g'(χ)=二ɪ'

ee

令g'(x)>O,得0<χ<2;令g'(x)<O,得x>2,

所以g(χ)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，

所以g(x)maχ=g(2)=二，即歹一e-'的最大值为4.

e^e

故~~y*

e

关键点点睛：本题解决的关键对已知等式进行同构变形XeX=In'∙e%,从而利用函数的单调性得出变量

y

间的关系，由此得解.

二.选择题(本题满分20分，共有4题，每题5分)

13.如图是根据x/的观测数据（Xj,yJ（i=l,2,L,10）得到的散点图，可以判断变量X,F具有线性相关

关系的图是（）

A.①②B.③④C.②③D.①④

【正确答案】B

【分析】根据变量X，V具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下即可.

【详解】根据变量x,y具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下，

所以③④图的变量兀丁具有线性相关关系.

故选：B

14.已知α是1,3,3,5,7,8,10,11的75%分位数，在1,3,3,5,7,8,10,11中随机取两个数,这两个数都小于。的概

率为（）

151513

A.—B.—C.—D.—

4142828

【正确答案】C

【分析】先根据百分位数的计算公式求出。，再根据古典概型的概率计算公式解求解.

【详解】因为8x75%=6,所以α=任刊=9,

2

8个数中有6个数小于9,所以随机取两个数，

C215

这两个数都小于。的概率为0=途='.

C828

故选:C.

15.公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进

行编排.某人欲选由48、C、。、E中的两个不同字母，和0、1、2、3、4,5、6、7、8、9中的3个不同数字，组成的三

个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有（）种.

A.7200B.14400C.21600D.43200

【正确答案】D

【分析】先计算挑选出两个不同字母和3个不同数字的情况数，再求解三个数字都相邻的情况即可

【详解】由题意，选取4从C、。、E中的两个不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3个不同数字共有

C；C：o=12OO种情况，当两个字母和3个数字确定后，再组成的三个数字都相邻的一个号牌总共有

P；P；=36种情况，根据分步计数的乘法原理可得，选择号牌的方法种数最多有1200x36=43200种

故选：D

16.若函数y=∕(χ)的图像上存在两个不同的点P,。，使得在这两点处的切线重合，则称/(χ)为“切线重

合函数”，下列函数中不是“切线重合函数''的为()

A.=-X2+1B.y=sinx

C.y=x+cosXD.y=x2+sinx

【正确答案】D

【分析】“切线重合函数”的充分条件是，存在X∣≠X2有/(xJ=∕'(X2)，据此逐项分析验证即可.

(∕yγ

【详解】对于A,/(x)=χjV+1显然是偶函数，/(χ)=4χ3-2χ=4x[x+TJ[x-丁，

当x<一当时，/(x)<0,单调递减，当一日<χ<0时，/(x)>0单调递增，

当0<x<也时，/(x)<0,单调递减，当％〉也时，单调递增；

22

在x=±巫时，∕G)=0,都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A是“切

2

线重合函数”；

对于B,/(x)=SinX是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；

对于C,考察力(肛乃-1),8(3肛3万一1)两点处的切线方程，∙.∙y=1-sinx,

.∙.A,B两点处的切线斜率都等于1,在/点处的切线方程为少一(%-l)=l∙(x-")，化简得：y=χ+l,

在B点处的切线方程为y-(3%-l)=l∙(x-3%)，化简得y=χ+l,显然重合，

.∙.C是“切线重合函数”；

对于D,y'=2x+cosx,令g(x)=2x+cosx,则g'(x)=2-sinx>0,

g(x)是增函数，不存在χ≠X2时，g(xj=g(x2)，所以D不是“切线重合函数”；

故选：D.

三.解答题(本题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要

的步骤)

17.如图，三棱柱Z8C-48]G中，44]J•底面/3C,AB=AC,。是BC的中点.

<ι

BlG

：IA

,/八、

BD''C

(1)求证：6C上平面

(2)若/"4C=90°,BC=4,三棱柱/BC-ZeG的体积是8百，求异面直线4。与44所成角的

大小.

【正确答案】(1)详见解析；(2)arccos—

5

【分析】(1)由题意，因为44］，底面/8C,所以44∣J∙8C,又Z3=/C是BC的中点，BClAD,

利用线面垂直的判定定理，即可证得SC_L平面4月。；

(2)建立空间直角坐标系，求解向量丽,荏I,利用向量所成角的公式，即可求解.

【详解】(1)因为，底面/8G所以力4LBC

又AB=AC,。是比■的中点，BCLAD

AAi与交于A

所以BC，平面

(2)根据NBZC=90°,ZB=4C,BC=4求得AB=AC=2血

A4BC的面积等于4

三棱柱45。—44G的体积是

1

SMBC-AA4-AA'=8√3,.∙.AA'2√3

如图所示，建立空间直角坐标系，

Σ>(√2,√2,0)∕l(0,0,0),5l(2√2,0,2√3)

4D=(√2,√2,-2√3)ZS1=(2√2,0,2√3)

异面直线AxD和AB1所成的角为。

。福•丽√5

，COSe=I_=一

网|4。|5

18∣所成的角为arccos-

本题考查了立体几何中的直线与平面垂直的判定和异面直线所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想

象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,

通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平

面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

18.已知关于X的不等式“_3X+2>0的解集为{小伍或x)2},(b<2).

(1)求实数"，b的值；

a2b，ɔ

(2)当χ>0,y>0,且满足一+——=1时，有2x+yZ-+左+2恒成立，求左的取值范围.

Xy

【正确答案】(1)a=b=l

⑵[-3,2]

【分析】(1)由不等式的解集，结合韦达定理列出方程，即可求得α,b的值.

(2)由(1)中的结果，结合基本不等式，可得(2x+y*n=8,然后代入不等式，即可求得左的范围.

【小问1详解】

因为关于X的不等式办2一3χ+2>0的解集为卜,。或%”},

Γ3

b+2=±ɪɪ

所以“>0,且,C0,可得彳：一，

c,2b=T

a

即Q=6=1

【小问2详解】

—a2b12

由(1)知。=6=1,则l—I—=y1,即—I—=1

ɪyXy

所以(2x+y)[l+2]=4+竺+上之4+2I竺.上=8

IXjJVX∖yX

竺=上

x=2

当且仅当《二VCX时，即9=4时'等号成立.

12

—I—=1

IXy

故2x+y≥左2+左+2恒成立，

即(左~+%+2)≤(2X+y)min=8恒成立,

所以(左+3)("2)≤0,解得-3≤无≤2

⅛⅛∈［-3,2］

19.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下

发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定.某中学研

究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间从该校中随机调查了IOO名学生，得到如下统计

表：

时间tmin[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60,72]

人数1036341064

(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在［48,72］的人

数为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X).

【正确答案】(1)27.36min

3

(2)分布列见解析，—

10

【分析】(I)由平均数的定义求解即可；

(2)由题意知该校学生每日使用手机的时间在［48,72］内的概率估计为瑞=：,则X〜8(3,奈)，

由二项分布的概率公式求概率，即可得出分布列，和数学期望.

【小问1详解】

由题意得，随机选取的该校这IOO名学生每日使用手机的时间的平均数为

_,1036CC34410-6“42736.、

X=6X-----F118o×------F30X------F42×------F54X------F66×------------27.36(min).

IOOIOOIOOIOOIOOIOOIOO∖,

所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27.36min.

【小问2详解】

由题意知该校学生每日使用手机的时间在［48,72］内的概率估计为W=A,则X〜

3

所以P(X=O)=CIIq243

篇J(XTETooo

3

磊，P(x=3)=1

⅛1000

所以X的分布列为:

X0123

729243271

P

100010001000Tooo

79Q04407Ia13、

所以E(X)=OX^-+Ix——+2×——+3×——=二.(或E(X)=3乂一=一.

',100010001000100010v710IOj

20.已知数列｛%｝是公差为2的等差数歹∣J,其前8项的和为64.数列｛"｝是公比大于0的等比数列，A=3,

⅛-⅛=18.

(1)求数列｛4｝和｛4｝的通项公式；

(2)记g=(—1)"[,"∈N*,求数列｛c,｝的前2〃项和S2,,;

α+2

(3)^dn="ɪn∈N∖求数列｛4｝的前〃项和7；.

【正确答案】(1)an=2n-↑,6“=3"

2

(2)S2n=8n

(3)T=------------------

“22(2〃+1)∙3”

【分析】(1)设等差数列的首项为力,利用等差数列的前〃项和公式求出4,进而求出等差数列的通项公

式；设等比数列的公比为4,利用通项公式和已知条件求出4,进而求出等比数列的通项公式；

(2)先求出。2,1+。2“=16〃-8,再利用分组求和法和等差数列的求和公式进行求解；

(3)先得到~~⅞-T-..ɪ,„]，再利用裂项抵消法进行求和.

2(2H—1)∙3(2"+l)∙3

【小问1详解】

因为｛4｝是公差为2的等差数列，且§8=64,

Q7

所以8α∣+%χ-x2=64,解得4=1,

所以氏=1+2(〃-1)=2〃-1；

设等比数列出｝的公比为q«>0),

因为4=3,b3-b2=18,

所以3g2_3q=18,即q2_g_6=0,

解得q=-2(舍去)或q=3,

所以6,,=3x3"τ=3".

【小问2详解】

由⑴得C1)"片=(—1)"∙(2"-1)2,

则C21+。2.=(-1)2,,^'∙[2(2∕7-1)-1]2+(-1)2"∙(4H-1)2

=-(-I)2"•(4〃-3)2+(-l)2n-(4〃-I)2

=(4π-I)2-(4/7-3)2=16/7-8,

则Sln=(Cl+C2)+(C3+C∙4)+∙∙∙+(C2,,.1+C2,,)

=8[l+3+5+∙∙∙+(2∕7-l)]

=8X叩+S=/

2

【小问3详解】

jtz2-ɪ2(〃+2)—2

由(1)得""=——=-一E-

allan+ibn(2n-1)(2«+1)-3

2»+2_1]__________1

(2M-l)(2n+l)∙3z,~2(2n-l)∙3n^1^(2rt+l)∙3n

则北=4+rf2+J3H----Fdn

=2^1×30-3x3l)+(3x3'^5×3^+S×32-7×33)++((2κ-l)∙3,,^'^(2π+l)∙3n^

=1(J_______

2l×30(2w+l)∙3,,

11

-2^2(2M+1)∙3Z,,

方法点睛：本题中考察了数列求和的两种采用方法，第二问考察了并项求和法，第三问考察了裂项抵消法,

技巧性较强.

21.已知平面直角坐标系内一椭圆C:2记两焦点分别为耳,F,且闺玛|=26.

滔+y=1,2

(1)求。的方程;

(2)设C上有三点。、R、S,直线。R、QS分别过耳，F2,连接RS.

①若。(0,1),求△0?S的面积；

②证明：当△。KS面积最大时，必定经过C的某个顶点.

【正确答案】(1)-+y2=l

4-

(2)①竺回；②证明见解析

49

【分析】(1)由定义求得参数即可得方程；

(2)①求出直线、QS,分别联立椭圆方程求得R、S坐标，即可求得面积；

②设直线。火和直线QS的方程为X=一J5",X=ny+ʌ/ɜ，设0(/J°)，H(XI，凹)，S(X2，%)，

分别联立椭圆方程结合韦达定理得瓦，—

乂y2

,SAQRS_|。火卜|。Sl一M一%％,一%

)结合器=4(1-元)，即可化简整理得

S4QFM一|。凰・|。周—二ʃr

ʌ/ɜʃo[ʃo+τj

22

SAQRS=fM=­L，最后证明(。)≤即可•

2Tɪ/X/(1)

%+48

【小问1详解】

可知2C=2√LC=√3,所以∕=∕+c∙2=1+3=4,因此α=2.所以C的方程为?+V=1.

【小问2详解】

①可知直线QR的方程为y=^-x+↑,直线0S的方程为y=-^χ+l.

(8/3-(01、

分别联立椭圆方程可解得火~9~~，S,

7777

②证明：设直线QR和直线QS的方程为x=my-6x=ny+也,设0(∙⅞,%)，尺(西,弘)，S(x2,%).

*_2y∕3m

2

联立QR和椭圆得:(w+4)∕-2√3wy-l=0,可得,"+4,同理可

ʃoʃi

W2+4

2√3n

又因为XO=叩o-c,x0=+c,所以％+%=-26m=-2G“°+",所以J"+,L=-2g%o-6,

y0yly0乂

即—=-2GXO-7；

乂

)λ+λ

同理可得X+及=2币n=2√5"°一",≡2√3X0-6,即%•=一7.

y0y2y0%%

λSAQRS；