2023-2024学年山东省青岛高二年级上册期末考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省青岛高二上册期末考试数学模拟试题

一、单选题

1.已知为等差数列，％+%+%=1。5,%+为+4=99,则数列｛q｝的公差"=()

A.-2B.-1C.2D.1

【正确答案】A

【分析】根据等差数列下标和性质和通项公式直接求解即可.

【详解】由等差数列性质知：+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,

%=35,4=33,/.d=4-%=-2.

故选：A.

2.双曲线--仁=1的焦点坐标是()

3

A.(O,±2)B.(±2,0)C.(士屈0)D.(0,±72)

【正确答案】B

【分析】根据双曲线方程可得6,然后根据，2=/+/可得c,最后得出结果.

【详解】由题可知：双曲线的焦点在x轴上，且a=l,b=JL.上2=/+62=。=2

所以双曲线的焦点坐标为(±2,0)

故选：B

3.已知抛物线C：/=2px(p>0),焦点为凡点到在抛物线上，则I"尸|=()

M)

95

A.3B.2C.一D.—

44

【正确答案】D

【分析】利用抛物线的定义求解.

【详解】因为点在抛物线上，.•」=£解得P=2,

利用抛物线的定义知|工厂|=/档=；

故选：D

4.直线/「x-2y+机=0与直线/2：wx+6y-l=0平行，则两直线间的距离为（）

A.逑B.空C.逑D.亚

5315

【正确答案】B

【分析】先根据直线平行求得，*，再根据公式可求平行线之间的距离.

【详解】由两直线平行，得-2x机=1x6,故“=-3,

当机=-3时，/],.3x—6y—9=0,/2:3x—6y+1=0,此时（〃/2,

故两直线平行时机=-3.

又4J,之间的距离为d=单二L=-^==挛，

-79+36363

故选：B.

5.圆心在x轴上且过点（1,6）的圆与y轴相切，则该圆的方程是（）

A.x2+y2-4x=0B.x2+y2+4x=0

C.x2+y2-4y=0D.x1+y2+4y=0

【正确答案】A

【分析】根据题意设出圆的方程，列式即可求出.

【详解】依题可设圆的方程为（》-。）2+了2=/&>0）,所以+3=/",解得

M=r

a=2,r=2.

即圆的方程是入，+/-4x=0.

故选：A.

6.如图，在直三棱柱Z8C-4AG中，AB=BC=CBB\,ZABC=12O°.M为4G的中

点，则直线8M与平面力8月4所成的角为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【正确答案】B

［分析］设点M到平面/£8的距离为％,通过等体积法腺一画=嗫一4MB求得h，再求线面

角的正弦即可得解.

如图所示：不妨设4B=BC=6BB、=2,48c=120。，由余弦定理可得

AC=4G=2K，B、M=-J4B：-&M?="^=1,

所以BM=JBB；+BM2=VTTT=VL

S&A、BM=；S&AB、C、=；xgx2mxi=去,S^A,B,B=-x2xV2=V2,

设点M到平面AB出的距离为h,

ii

=--

则1M=Kf-&B、MtBq=—&AB'B.h^^”

解得〃=且，

2

所以直线BM与平面4BBM所成角的正弦值为言=1,

所以直线aw与平面/网4所成角为30。.

故选：B.

关键点点睛：本题的解题关键是通过等体积法求得点〃到平面48乃的距离，再由高比斜线

段可得线面角的正弦.

7.已知等差数列｛““｝的前"项和为，，公差"=一2,若S,,=S2022.“"WN””42021,则％=

()

A.2023B.2022C.2021D.2020

【正确答案】C

【分析】根据题意令〃=1可得S产52以，结合等差数列前〃项和公式写出邑)21，进而得到关

于％的方程，解方程即可.

【详解】因为S”=S2022-",令〃=1,得$]=$2021，

又S2021=2021%+2021x1010",J=—2,9=号

所以8。21=2021(%—2020),有％=2021(%-2020),

解得q=2021.

故选：C

V-22

8.已知斜率为1的直线与椭圆C:会+方v=1(。>6>0)相交于/、8两点，O为坐标原点，

Z8的中点为P,若直线。尸的斜率为则椭圆C的离心率为().

A.-B.—C.叵D.

【正确答案】B

【分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆。力之间的关系.

【详解】如图：

依题意，假设斜率为1的直线方程为：y=x+m,联立方程:

y=x+m2巴221

解得：芯+”一]J,代入/=丁+加得；/=]

犬+炉-1

----1-------1---

a2b2a2b2

mm

故尸点坐标为一1尤丁，丁吟~,由题意，。尸的斜率为一;，

、滔部

m

.2

J_J_

+巨

即"2j化简得：p-=p/=262=〃+,2,c2=/=g/

2

b1

11

/+记

故选：B.

二、多选题

9.已知S,为等差数列｛环｝的前〃项和，且％=-13,邑=-33,则下列结论正确的是（）

A.%=2〃-15B.｛%｝是先递减后递增的数列

C.的是/和。48的等比中项D.S”的最小值为-49

【正确答案】ACD

【分析】根据题干条件得到d=2,从而求出通项公式，判断出是递增数列；求出"小，《2=9,

g8=81,从而判断C选项，根据%=-1<0,4=1>。可知S,在〃=7时取得最小值，求出

最小值，从而判断D选项.

【详解】由题意得：S｝=3a]+3d=-33,因为％=-13,所以d=2.所以｛4｝通项公式为：

a„=-13+2（/I-1）=2M-15,A选项正确；由于d=2>0,所以｛4｝为递增数列，B选项错

误；通过计算可得：%=9,。=81,其中a：；%-4,,C正确；因为｛%｝为递增数

列，且a8=1>0,故S〃在〃=7时取得最小值，S1=7a4=-49,D选项正确.

故选：ACD

10.已知两点4-2,0）,8（2,0）,若直线上存在点P,使得|尸4|-|产耳=2,则称该直线为“点

定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（）

A.y=x+lB.y=3x+1

C.V=2x+4D.y=y/2x+3

【正确答案】AD

【分析】先求出尸点的轨迹方程为X?-片=1的右支，结合双曲线的渐近线斜率与选项中直

3

线斜率进行比较，得到有无交点，进而求出答案.

【详解】因为|网|-|「a=2<|/却，故尸点的轨迹方程为双曲线的右支，其中〃=1,c=2,

则廿=/-<?=4-1=3,所以双曲线为/-彳=1（x>0）,渐近线方程为y=±5/ix,N=x+1的

斜率为1<有，故与--?=1（x>0）有交点，A正确；

片3x+1的斜率3>百，且与歹轴交点为（0』），故与——1=1（x>0）无交点，B错误:

y=2x+4的斜率2>百，且与y轴交点为（0,4）,故与,一^句（》>。）无交点，C错误;

y=0x+3的斜率应<6，故与V-?=l（x>0）有交点，D正确.

故选：AD

11.已知数列｛%｝为等差数列，也｝为等比数列，｛%｝的前〃项和为2,若卬+&+%=3万，

4她=8,贝IJ（）

A.Sn=11^

C.+«7+a&=7)n

D.bi+b7>4

【正确答案】ACD

【分析】根据题意得％=乃，4=2,再根据等差数列与等比数列的性质依次求解即可得答

案.

【详解】解：因为数列｛6｝为等差数列，仇｝为等比数列，4+4+即=3不，岫A=8,

所以％+%+卬=3必=3），即6=乃，6也4=6；=8,即4=2,

对于A选项，品="（％+%）=1。=11万,故正确；

对于B选项，％+《o=2“6=2万也々=6；=4,所以sin-^~^=sin5=1,故错误；对于C

选项，设等差数列｛%｝的公差为d,则%+。7+%=。6-3"+&+d+4+24=3&=%，故

正确；

对于D选项，由4=2得4也>0,故仇+422师=2相=4,当且仅当”=&=2时等

号成立，故正确；

故选：ACD

12.棱长为2的正方体的侧面/8与4（含边界）内有一动点尸，则（）

AD

A.若B、P=m+nB[A]+几=1,则BXPBXDX=0

B.若4P=443(0vtvl),则-尸・4。=。

c.若痔方军4国+丽，则率不=_|

D.若朋=g（而+病），则存在非零向量瓦A使印•布=-1

【正确答案】BCD

【分析】对于每一个选项中所出现的向量用基底表示，然后通过分析或计算数量积就可以对

每一个选项进行判断.

【详解】对于A,BtP=mBtB+nBtAt/n+n=\,

则率=（1-"）庭+〃市=丽+〃（B^A-丽

=>=n（B[A]-B[B）=>BP=〃B4,

从而可知点p在线段84上，由于玛A不垂直侧面故印.瓦瓦=0不成立，所以A

错误；

对于B,易证4G，BQ,BCJBQ,从而可知8Q_L平面48G，

由而=2丽（0</1<1）,可知点P在线段84上，因此8Q_LC£，所以市•丽=0,B正

确；

对于C,开•斯=；莎.；（襦+而；）=；莎・（而+4"）

=；x|郎.（语+而）]（郎+瑟）.（祠+而）

=2（瓦豆+瓦彳）.（丽+24万）

=—（B、B-A\B\+2B[B,+44-44+2氏4•4DJ

6

12

=-（0+0-4+0）=一一,故C正确；

63

对于D,设造=%“+〃瓦不，

所以B}P-A、E=+"8/），Q（4£+4A）=5（X8/+）・（4片+2A}D}j

=g（历西+〃场）.（葩+2葩）

=3（4B[B,4]B]+2A~B]B,4。+〃B[4-4B]+）

I1—.

=5（0+0-4〃+0）=-2〃=-l,得〃=5,从而可知AP不会是零向量，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为.

【正确答案】6〃

【详解】试题分析：由题意得2厂=2,〃=2,所以圆柱的表面积为2++2万泌=6万.

圆柱的表面积

14.已知等比数列｛4,｝满足：%=27,%=壶，a2a｝<0,则公比4=.

【正确答案】

【分析1根据等比数列的通项公式可得。9=。4，结合。2%=必/<。即可求出公比.

【详解】设等比数列的公式为“，

则%=4炉，即^^=277,

解得4=士;，

又a2a3=〃方,<0,所以夕<0,

所以夕=一；.

故答案为.

22

15.已知O为坐标原点，等轴双曲线。邑-方=l(a>0,b>0)的右焦点为尸(加,0),点P

在双曲线C上，由P向双曲线C的渐近线作垂线，垂足分别为A、B,则四边形。4P8的

面积为.

【正确答案】g##0.5

【分析】求出双曲线C的方程，可求得双曲线C的两条渐近线方程，分析可知四边形04P8

为矩形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.

【详解】因为双曲线C为等轴双曲线，则a=6,c==口=6,可得。=b=l,

所以，双曲线C的方程为/-/=1,双曲线C的渐近线方程为x±y=0,

则双曲线C的两条渐近线互相垂直，则OBLPB,OAA.OB,

所以，四边形04P8为矩形，

设点一(与，九)，则x；-K=l,不妨设点A为直线x-y=o上的点，

则|四脸J,闷=哈，所以，5矩3=|4倒=吗81《.

故答案为.女

16.数列｛““｝满足%+2+(-1)"%=4"T，前12项的和为298,则％=.

【正确答案】4

【分析】当〃为偶数时，可求出前12项中偶数项的和；当〃为奇数时，可用q表示出前12项

中奇数项的和，从而可求出⑷的值.

【详解】当〃为偶数时，aa+2+a„=4n-\,

所以知+。2=7,%+4=23,al2+ai0=39,

所以々+《+%+%+%+%=69；

当"为奇数时，an+2-an=4/7-1,即%+2=q+4〃-1

所以。3=“1+3,%=〃3+11=“1+14,%=%+19=q+33,为=%+27=q+60,

%]=旬+35=〃1+95,

所以$=3+4+°6+W+4()+%2-Qi+%+牝+“7+%的u)

=69+6q+205=298,所以q=4.

故答案为.4

四、解答题

17.已知直线/:瓜-了-12=0,以点(0,-2)为圆心的圆C与直线/相切.

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点(3,-1)的直线广交圆C于4,8两点，且|/用=8,求厂的方程.

【正确答案】⑴1+(4+2>=25

(2)x=3或4x+3y-9=0

【分析】(1)根据点到直线的距离公式求出半径广，即可得到圆C的标方程；

(2)根据弦长公式可求出圆心C到直线/'的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨

论思想即可求出.

1-101

【详解】(1)设圆c的半径为八与/相切，.•.厂"(道＞+(-1)2

...圆C的标准方程为4+3+2)2=25.

(2)由|”|=8可得圆心C到直线/'的距离"=五二不'=3.

.•.当/'的斜率不存在时，其方程为x=3,此时圆心C(0,-2)到x=3的距离为3,符合条件；

I一3k+11

当/'的斜率存在时，设/'：y+l=©x-3),圆心C到直线厂的距离7=川+.2=3，解得

44

&=一1,此时/'的方程为y+l=_；(x—3),即4x+3y—9=0.

综上，/'的方程为x=3或4x+3y-9=0.

18.已知｛《,｝是各项均为正数的等比数列，%-%=60,々=16,〃€川.

(I)求数列｛a〃｝的通项公式；

(II)若数列｛加｝的通项加满足24+9=%,求｛加｝的前〃项和S”的最小值及取得最小值时

〃的值.

【正确答案】(I)。"=4"；(II)当〃=4时，S,取得最小值为一16

【分析】(D设出公比，由已知列出方程求出首项和公比即可；

(II)求得，=2N-9,得出S“，利用二次函数性质可求.

【详解】⑴设等比数列的｝的公比为4,且4>0,

一%==60,解得｛;1:

则

=4闯=16

+9

(II)1•,2*'=a„,：.bn=log,a„-9=log2(49=2n-9,

『(一77一9)=八8〃=("_4)2一16,

则当〃=4时，S”取得最小值为-16.

19.已知抛物线C：/=2px(p>0),抛物线。上横坐标为1的点到焦点厂的距离为3.

(1)求抛物线C的方程及其准线方程:

(2)过(TO)的直线/交抛物线C于不同的两点Z,B,交直线x=>4于点E,直线BF交

直线k-1于点。，是否存在这样的直线/,使得DE//AF?若不存在，请说明理由：若存在,

求出直线/的方程.

【正确答案】(1)抛物线C的方程为V=8x,准线方程为x=-2；(2)存在直线^=孚(、+1)

或y=-^^(x+l).

【分析】(1)根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.

(2)设出直线/的方程y=%(x+l)/*0),联立直线的方程和抛物线的方程，消去>后根据

判别式大于零求得k的取值范围，写出韦达定理.结合DE//AF得到直线DE与直线AF的斜

率相等，由此列方程，解方程求得々的值，也即求得直线/的方程.

【详解】(1)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以1+5=3,解得。=4,所以j?=8x,

即准线方程为x=-2.

(2)显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=&(x+1)(斤X0),/区，必),8(乙,巴).

联立得上二；，、，消去V得22X2+(2/-8)X+%2=0.

y=k(x+l)

由A=(2产-8)2-4/>0，解得-及<k<y/2.所以-及<发<JL目/片0.

由韦达定理得x,+x2=8-；,•,X)X2=1,

K

直线8尸的方程为y=上学x-2),

X］一乙

又j=-1,所以切=含，所以D(T，三彩)，

A•yZ>Jiy-乙

因为。E///F,所以直线。E与直线/!尸的斜率相等

--3A+3-^—

又E(-4,-36，所以X?-2=%

—32-2

整理得心黄T盖?，即人蛆上+3!)

Xj—2X2-2，

X]+1+工2+1_2项戈2-5+X)-4

化简得1=2，即3+巧=7.

Xj—2x?—2，xix2-2(jj+x2)+4

所以”£=7,整理得公

解得k=土述.经检验，4=±逑符合题意.

33

所以存在这样的直线/,直线/的方程为丁=乎。+1)或y=-半。+1).

20.已知数列｛4“｝满足q=1,偌=%%+1N)

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵记2=[-lga,],其中[月表示不超过x的最大整数，如[0.6]=0,[Ig66]=l.

(i)求A、Z>23、”123；

(ii)求数列也｝的前1000项的和.

【正确答案】(1)见=」；

n

(2)(i)仇=0,%=1,生3=2；(ii)1893.

【分析】(1)推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列｛4｝的

通项公式；

(2)(i)利用对数函数的单调性结合题中定义可求得4、M、%3的值；

(ii)分别解不等式041g"1、lVlg〃<2、2<lgn<3,结合题中定义可求得数列也｝的

前1000项的和.

【详解】(1)解：因为4=1,N*),则1-出=%，可得%=；，

可得/=；，以此类推可知，对任意的〃eN*,«„*0.

由%-&+i=qAM(〃eN")，变形为-一;=1,

.J—I是一个以1为公差的等差数列，且首项为'=1,

〔%j%

所以，—=l+(«-l)-l=n,因此，a„=~.

a,.n

(2)解：(i)bn=[-lga„]=[lgn],则々=[igl]=[0]=0,

v10<23<100,则l=lgl0<lg23<lgl00=2,故％=[lg23]=1,

100<123<1000,Jjl!]2=lgl00<lgl23<lgl000=3,故峪=[lgl23]=2；

(ii)vlgl000=3,当0Vlg”<l时,即当时，bn=[lg/?]=0,

当141g”<2时，即当10。<100时，h„=[lgn]=l,

当241g”<3时，即当1004〃〈肘00时,hn=[\gn]=2,

因此，数歹1」｛4｝的前1000项的和为0x9+1x90+2x900+3=1893.

21.如图，在四棱锥P-/8c。中，尸/上面/BCD.PA=AB=AD=2,四边形/8CO满足

ABS.AD,BCHAD,8c=4,点M为PC中点，点£为8C边上的动点

7

(II)是否存在点E,使得二面角尸-DE-8的余弦值为:？若存在，求出线段BE的长度;

若不存在，说明理由.

【正确答案】(D证明见解析：(H)存在，j.

(I)由题意有PZ_L4£),P/J.Z8,又/Bl/。，以以A为空间坐标原点建立如图所示空

间直角坐标系.证明两，万，而为共面向量即得.

(U)设E(2,a,0),0<a<4,求出平面尸DE的一个法向量，平面BOE的一个法向量为万,

利用法向量夹角的余弦的绝对值等于。求得。即可.

【详解】(D因为尸4_L平面/8CZ),所以尸PA1AB,又4BL4D,所以P4,AB,

两两垂直.以A为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示.

则尸(0,0,2),5(2,0,0),0(0,2,0),C(2,4,0)

故两=(1,0,1),

UUfiULUl

又“尸=(0,0,2),AB=(2,0,0)

uuuriuuriuur

所以DW=2/P+2Z8

22

所以两，~AP>方为共面向量，。河2平面尸48,

所以DM〃平面P4B.

(II)设E(2,a,0),0<a<4

uiu___uum

依题意可知平面ADE的法向量为40=(0,0,2),=2,2),DE=(2,a—2,0)

\n-DP=-2y-i-2z=0

设平面PDE的法向量为〃=(x,y,z)则\——

[n-DE=2x+(a-2)y=0

令z=l,则〃=(彳^,1,1].

2

因为二面角的余弦值为

uurr

/uurrAPn2

所以cos(/尸,〃

四川3

2_______2

不三解得”1或一.

即2-a

2x

~T~

所以存在点E符合题意，

当8E=1或8E=3时，二面角P-OE-B的余弦值为

方法点睛：本题考查证明线面平行，考查二面角问题，解题方法是空间向量法，建立空间直

角坐标系后，证明线面平行，只要证明直线的方向向量可用平面的一个基底表示即可，而二

面角则是利用二面角的余弦值与二面角的两个面的法向量夹角的余弦值相等或相反求解.

22.已知椭圆匚9+捺=1[>6>0)经过点'立,2,且离心率为止.

33

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点/,8是椭圆C的上，下顶点，点P是直线y=6上的动点，直线以与椭圆C的

另一交点为E,直线尸8与椭圆C的另一交点为E证明：直线E厂过定点.

【正确答案】⑴或+/=1;

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据题意，列出a,6的方程组，通过解方程组，即可求出答案.

(2)法一：设网/,6),E(XQJ,产仁,当)；当，*0时，根据点4尸的坐标写出直线为

的方程，与椭圆方程联立，可求出点E的坐标；同理可求出点尸的坐标，然后即可求出直

线EF的方程，从而证明直线EF过定点.

法二：首先根据f=0时直线EF的方程为x=0,可判断出直线跖过的定点M必在y轴上,

设为W(O,m)；然后同方法一，求出点E,尸的坐标，根据加〃赤，即可求出机的值.

45

/+彳T

【详解】(1)由题意，知*2=〃+°2,解得"3,b=\.

£_2V2

.a3

所以椭圆C的标准方程为己+炉=1.

9

(2)法一：设尸(力6),Eg,必),F(x2,y2),

,3+3

3yx+

当