2023年新高考全国1卷数学试题解析

2023年新高考1卷数学试题解析

1.已知集合M={-2，T，0,l,2},N={x|x-X-62。},则McN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【解析】方法一：因为N={x|x2-x-62€）}=（—e,一2]33,+“），而

A/={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={—2,—1,0,1,2},将一2,-1,0,1,2代入不等式/—x—620,只有一2使

不等式成立，所以McN={—2}.

故选：C.

1-i_

2.已知z=---,则z-z=（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到I，从而解出.

【解析】因为Z=五云=量扃=7=一,'所以即z-Zj

故选：A.

3.已知向量”=（1,1）]=（1,一1）,若++，则（）

A.2+4=1B.2+4=—1

C.加=1D.办=-1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出4+丸匕，a+曲，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【解析】因为a=(l,l)力=(1,一1),所以a+/^=(l+41—4),a+=—〃)，

由(a+/10)_L(a+〃力)可得，(a+4).(a+〃b)=0,

即(l+/l)(l+")+(l—4)(1—〃)=O,整理得:初=T.

故选：D.

4.设函数〃%)=2山甸在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(—oo,—2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2,+00)

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【解析】函数y=2'R匕单调递增，而函数/(%)=2总甸在区间(0,1)上单调递减,

2

则有函数y=x(x—a)=(x—3)2-幺在区间(0,1)上单调递减，因此021,解得。22,

242

所以。的取值范围是[2,+8).

故选：D

22

5.设椭圆6：=+丁=1(。>1),。2：工+：/=1的离心率分别为4,62.若02=6耳，则

a-4

a=()

A.侦B.V2C.V3D.V6

3

【答案】A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【解析】由02=百0,得e：=3e；,因此?=3x《U，而a>l,所以。=亚.

故选：A

6.过点(0,—2)与圆Y+y2-4x—1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=()

A.1B.史C.^2.D.—

444

【答案】B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的

性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得

公+82+1=0,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【解析】方法一：因为x2+y2-4x-l=0,即(x—2)2+V=5,可得圆心C(2,0),半径

r=>/?，

过点尸（0,—2）作圆C的切线，切点为AB,

因为|PC\=^22+（-2）2=272,则IPA卜yj\PCf-r2=

HT殂'/A"6/A。厂6底

可得smZAPC=―尸=---,cosZAPC=――=——>

204204

则sinNAPB-sin2ZAPC-2sinZAPCcosZAPC=2xx,

444

cosZ.APB=cos2NAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC

即NA尸B为钝角,

所以sina=sin（兀一NAPB）=sinZ.APB=；

法二：圆W+9—4x—1=0的圆心C（2,0）,半径r=JL

过点P（0,-2）作圆C的切线，切点为A,6,连接AB，

可得|PC|=,22+（-2）2=2夜,则|PA|=|P5|=］忸叶一一=岳,

因|PA|2+归靖一2|抬卜「却cosZAPB=|C4「+|C域-2|C4|-|C5|cosZACB

HZACB=TI-ZAPB,则3+3-6cosZAP6=5+5-10cos（7i-ZAP8）,

即3-cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosNAPB=—,<0,

4

即/APB为钝角，则cosa=cos（兀一ZAPB）=-cosZAPB=；,

且a为锐角，所以sina=Jl-cos2a;

4

方法三：圆V+y2-4x-l=0的圆心C（2,0）,半径「=百，

若切线斜率不存在，则切线方程为y=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程y=kx-2,即去一y-2=0,

\2k-2\厂

则।'=<5,整理得小+82+1=0,且4=64—4=60>0

设两切线斜率分别为匕,k2,则匕+e=-8,格=1,

可得L_&|=+攵2『_4板2=2^15，

所以tana=MTJ=JB,即任里=后，可得cosa

l+k/2cosa

则sin2a+cos2a=sin?a+$也°=1,

15

且则sina>(),解得sina=孚.

s

7.记S”为数列｛a,｝的前“项和，设甲：｛4｝为等差数列；乙：｛存｝为等差数列，则（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前“项和与第"项

的关系推理判断作答.，

【解析】方法1，甲：｛%｝为等差数列，设其首项为q，公差为d,

…CH(H—1),S„fddSaSd

则Sn=H-------d,—=%+3d=—n+%——一一七=—

2n2212H+1n2

因此｛口｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

css“="S"+「5+l电"a“+「S”

反之'乙：｛力为等差数列,即瑞为常数，设为心

n〃(〃+1)〃(〃+1)

net-S

即^则S“=〃%f〃(〃+1),有S“—•〃(1),心2,

两式相减得:%=nan+i-(n-l)an-2tn,即an+1-an=2t,对”=1也成立,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，c正确.

方法2,甲：｛%｝为等差数列，设数列｛为｝的首项外,公差为d,即S"=〃4+若2。，

则2==+4，因此｛区｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

vsss

反之，乙：｛口｝为等差数列，即3--^=。,。=6+5—1)0,

n〃+1nn

即S“=〃S]+〃(〃—V)D,S〃_]=(n—1)S]+(/i-1)(/1—2)D,

当〃22时，上两式相减得：S“-S〃_]=岳+2(〃-1)。，当〃=1时，上式成立，

于是为=4+2(〃-1)0,又〃〃+]-。〃=a｝+2〃。-[4+2(〃-1)0]=2。为常数,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

8.已知sin(a-4)=1,cosasin〃=！，贝iJcos(2a+2尸)=().

36

7117

A.-B.-C.一一D.一一

9999

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+〃)，再利用二倍角的余

弦公式计算作答.

【解析】因为sin(a-P)=sinacos〃一cosasinQ=-,而cosasin£=,，因此

36

C1

sinacosp=—,

2

则sin(a+/?)=sinacosp+cosasin4=§,

2.।

所以cos(2a+20)=cos2(a+尸)=1-2sin?(a+2)=1一2x(—)2=—.

故选：B

【拓展】方法拓展：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角

总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函

数.

（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变

角”，使其角相同或具有某种关系.

（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含己知角的式

子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.有一组样本数据王,々，…，/，其中七是最小值，血是最大值，则（）

A.々,七,%，%的平均数等于内,乙，…，毛的平均数

B.x2,x3,x4,x5的中位数等于X],%,…,蛛的中位数

C.%，刍，尤4,“5的标准差不小于内，工2，，，、尤6的标准差

D.々，了3，%，七的极差不大于番,/,…,4的极差

【答案】BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【解析】对于选项A:设工2，工3，无4，毛的平均数为阳，…的平均数为〃，

则〃_加="+*2+“3+*4+工5+_工2+x3+Z_2（X|+Xs）—+X?+X3+X4）

''-64-\2~

因为没有确定2（玉+%）,毛+々+毛+七的大小关系，所以无法判断牡〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得"?=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得,〃=2,〃=U；故A错误；

6

对于选项B:不妨设X]4工2＜工34玉），

可知X2,X3,X4,X5的中位数等于内,々,…,毛的中位数均为,故B正确；

对于选项C：因为占是最小值，%是最大值，

则工2，工3，乂4，*5的波动性不大于内，工2,…，工6的波动性，即工2，毛，匕，天的标准差不大于

%,当，…，％的标准差，

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数〃=2（2+4+6+8+10+12）=7,

标准差M（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2]=^^,

4,6,8,10,则平均数m=；（4+6+8+10）=7,

标准差.%=^i[（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2=亚,

显然亚j>5,即电>52；故c错误；

3

对于选项D：不妨设<x2<x3<x4<x5<x6,

则4-%2%一%2，当且仅当西=々，&=4时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

%=20xlg‘，其中常数〃o（〃o>O）是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源

的声压级:

声压级

声源与声源的距离/m

/dB

燃油汽车106090

混合动力汽车105060

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P1，P2，〃3,则

（）.

A.Pi>P2B.〃2>10,3

C.P3=100p（）D,Pt<100p2

【答案】ACD

【分析】根据题意可知4G[60,90],e[50,60]，4,=40,结合对数运算逐项分析判断.

【解析】由题意可知：与目60,90],42G[50,60],4=40,

对于选项A：可得4,=20xlg互—20x1g正=20xlg且，

P。PoPi

因为4,2则=20xlg且20,即］g£L»0,

〃2P1

所以包且Pi，P2>0,可得PiNP2，故A正确；

Pl

对于选项B：可得L小_乙=20xlg20xlgR=20xlg上,

-Po〃0〃3

因为4,_%,=4,—40210,则20xlg°"210,即

P3P32

所以6且外，，3>0，可得八?3，

〃3

当且仅当L〃2=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4,=20xlg良=40,即怆乙=2,

PoPo

可得以=100,即p3=lOOpo,故C正确；

Po

对于选项由选项可知：

D：ALn-LI>2=20xlgA；

P2

且4一4,490-50=40,则20x1g且440,

1

-P2

即lg.«2,可得&•WlOO,且prp2>0,所以P|K100p,,故D正确；

P2P2

故选：ACD.

11.己知函数“X)的定义域为R,./■(冲)=y2〃x)+x2〃y),则().

A."0)=0B."1)=0

C.〃x)是偶函数D.x=0为“X)的极小值点

【答案】ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC,举反例f(x)=0

即可排除选项D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数/(》)=〈11进

0,x=0

行判断即可.

【解析】方法一：

因为/(孙)=»7(X)+x2/(y),

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,八1)="⑴+"⑴，则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令丁=TJ(T)=fW+x2f(-l)=f(x),

又函数f(x)的定义域为R,所以〃x)为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/(x)=0,显然符合题设条件，此时/")无极值，故D错误.

方法二：

因f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

对于A,令x=y=o,/(0)=0/(0)+Of(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/⑴，则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令y=-1J(r)=/(%)+^7(-1)=f(x),

又函数f(x)的定义域为R,所以〃x)为偶函数，故C正确，

对于D,当x2y2Ho时，对/(孙)=y2/(x)+//(y)两边同时除以,得到

/(冲)_/(x)/(y)

2?一2十2，

x^y厂y

故可以设华=1中叱。)，则小)=卜”巾|,自，

x11[0,x=0

当X>0肘,f(x)=x2Inx,则7(%)=2%111%+/2・，=%(2111%+1),

x

令r(x)<。，得()<x<eT；令制x)>。，得一内

故，(x)在0,et)上单调递减，在(e/,+8上单调递增，

显然，此时X=0是/(x)的极大值，故D错误.

故选：ABC.

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不

计)内的有()

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为().()lm的圆柱体

【答案】ABD

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【解析】对于选项A：因为Q99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长,

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为&m，且0>1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为百m，且百<1.8，

所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

对于选项D：因为正方体的体对角线长为&m，且石>1.2，

设正方体ABCD—AgGR的中心为。，以AG为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心。।

到正方体的表面的最近的距离为万n,

如图，结合对称性可知：OC|=(C|A=弓,£4=0。|一0°1=4一0-6,

hG。,@-0.6

2__06

则例。质‘即=上葭解得。>0.34>0.01

72V3

所以能够被整体放入正方体内，故D正确;

【拓展】关键拓展：对于C、D：以正方体的体对角线为圆

柱的轴，结合正方体以及圆柱的性质分析判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或

3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数

运算求解.

【解析】（D当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C；C：=16种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

14.在正四棱台—中，AB=2，A4=1,4&=J5,则该棱台的体积为

［答案］Z^l##-V6

66

【分析】结合图像，依次求得从而利用棱台的体积公式即可得解.

【解析】如图，过4作垂足为“，易知AM为四棱台A8C。一A4GA的

高，

因为A8=2,44=1,A4,=夜，

则4a=,AG='x及=±AO=LAC=LX&B=6,

2

故AM=-（AC-AC,）=-1则AtM=^A^-AM==—

22V22

故答案为：捶.

6

15.已知函数/(x)=cos@r-13>0)在区间[0,2兀]有且仅有3个零点，则。的取值范围

是.

【答案】12,3)

【分析】令/。)=0,得cos0x=l有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.

【解析】因为0WxW2兀，所以OWtyxW2加，

令/(x)=COSs一1=0,则cos5=1有3个根，

令r=则cosf=l有3个根，其中re[0,2m:],

结合余弦函数y=cost的图像性质可得4兀W2s<6兀，故2K3<3,

斗尸

X....…1一破二

d-iAn6M7

l*=CO«/

故答案为：[2,3).

16.已知双曲线C：±-《=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为《，居.点A在。上，点8在

a~h~

9

y轴上，则c的离心率为.

F1ALF,B,F2A=--F2B,

【答案】述##-V5

55

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得至伍I，忸段，忸耳|,|A用关

于。，加的表达式，从而利用勾股定理求得。=机，进而利用余弦定理得到。的齐次方程,

从而得解.

52

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得看=§c,%=-]/,r=4。2,

将点A代入双曲线。得到关于的齐次方程，从而得解；

【解析】方法一：

依题意,设|A闾=2相，则忸闾=3加=忸耳|=秒+2加,

在RtA3月中，9m2+(2a+2m)2=25m2,则(。+3加)(a—m)=0,故。=加或。=一3切

(舍去)，

所以|A制二2〃，忸司=|他|=3〃，则|A却=5a,

故c-舄\AE\.4与a4

1A/72+4a2_4r24

所以在AAK鸟中，COSZF}AF2=———-―整理得5c2=9",

2x4〃x2。5

依题意，得々(-c,O)，K(c,O),令A(Xo，yo)，3(Oj),

2__252

因为=所以=则玉)=§c,%=_§/,

(Q2AQ2

又耳A_LK§,所以月A•耳3=-c,-—r(c,r)=-c2—产=0,则/=4',

133J33

2

乙,r27户9Sr4产,5*]

又点A在C上，则99-整理得笔-一竺T=1，则空一当=1,

2

个-一去=I9a29b9a29/

ab

所以25c2从一16c2a2=9a2/?2，HP25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),

4222

整理得25c-50c+9a4=0，则(5c?-9a)(5c一/)=o,解得5c2=9a2或5c2=1,

又e>l,所以e=±叵或e=@(舍去)，故e=±叵.

555

故答案为：bH.

5

【拓展】关键拓展：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股

定理与余弦定理得到关于a,仇c的齐次方程，从而得解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.已知在中，A+3=3C,2sin(A-C)=sin3.

(1)求sinA；

(2)设43=5,求A3边上的高.

【答案】(1)独。

10

(2)6

【分析】(1)根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出

根据等面积法求解即可.

【小问1解析】

A+5=3C,

兀

.・.兀一。=3。，即。=一，

4

又2sin(A-C)=sin8=sin(A+C),

/.2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，

sinAcosC=3cosAsinC,

...sinA=3cosA,

7T

即tanA=3,所以0<A〈二,

2

,,sinA3=3Vi0

Vioio

【小问2解析】

……”1屈

由(1)知，cosA=—j==---，

M10

由sinB—sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

<2V5

5x----

b

由正弦定理，—,可得b=—/一=2而,

sinCsinB也

:.-ABh=-ABAC-sinA,

22

h-bsinA-2V10x—6.

10

18.如图，在正四棱柱A6c。-44GA中，AB=2,A4=4.点&,巴,。2，。2分别在

棱AA1,BB1,CC,,DD、上,AA-,=1,BB2=DD-,=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2//A2D2；

(2)点p在棱上，当二面角P—4G-3为150°时，求82P.

【答案】(1)证明见解析；

(2)1

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

(2)设P(0,2,4)(04444),利用向量法求二面角，建立方程求出2即可得解.

【小问1解析】

以C为坐标原点，CD,C5,CG所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A(2,2,l),

B2C2=(0,-2,l),42=(0,一2,1)，

B2c2〃4。2，

又B2c2,44不在同一条直线上，

【小问2解析】

设P(0,2,/l)(0W/lW4),

则4G=(-2,-2,2),PC2=(0,-2,3-㈤,O2C2=(-2,0,1)，

设平面PA2G的法向量n=(x,y,z),

n-A2C2=-2x-2y+2z=0

n•PC2--2y4-(3-2)z=0

令z=2,得y=3-4,x=4-l,

/.n=(A—1,3—A,2)，

设平面A2C2D2的法向量加=(a,b,c),

ITI,AyC-,——2。一2b+2c—0

则〈一，

rn•D2c2--2a+c=0

令a=l,得b=l,c=2,

m—(1,1,2),

aC

Tn-m==|co150°l=",

cos(n,miS

矶/〃76^/4+(/I-1)2+(3-A)22

化简可得，42—44+3=0，

解得X=1或4=3,

/.P((CP(0,2,3),

:.B2P=1.

19.已知函数/(x)=a(e*+a)-x.

(1)讨论/(x)单调性；

3

(2)证明：当a>0时，/(x)>21na+1.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先求导，再分类讨论a<0与。〉0两种情况，结合导数与函数单调性的关系

即可得解；

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为Y-L-Ina>0的恒成立问题，构造函数

2

g(a)=a2-1-lna(a>0),利用导数证得g(a)>0即可.

方法二：构造函数//(x)=e'-x-l,证得e">x+B从而得到f(x)>x+lna+l+a2-x,

进而将问题转化为fl2---lna>0的恒成立问题，由此得证.

2

【小问1解析】

因为/(x)=a(e'+a)—x,定义域为R,所以/'(%)=於'-1,

当aVO时,由于e*>0,则ae*<0，故/'(%)=照"-1<0恒成立，

所以/(x)在R上单调递减；

当。〉0时，令/'(x)=ae、-l=0,解得x=-lna,

当x<-lna时，F'(x)<0,则/(力在(一。。,-Ina)上单调递减；

当x>-Ina时，制x)>0,则/(力在(Tna,+s)上单调递增；

综上：当aWO时，/(x)在R上单调递减；

当a>0时，/(x)在(f,Tna)上单调递减，〃x)在(—Ina,+8)上单调递增.

【小问2解析】

方法一：

由(1)得，=/(—lna)=a(e""+。)+1110=1+。2+lna,

331

要证/(x)>2Ina+5,即证1+a?+Ina>2Ina+/,即证cr—万一Incz>0恒成立，

令g(Q)=Q----lnQ(a>0),贝ijgr(ci}—2a—'—―――--,

2aa

令g'(a)<0,则o<a<g令g'(a)>0,则”>也；

所以g(a)在0,专上单调递减，在［等,+8上单调递增，

(/Yr-

所以g(a%n=g=X-——In—=lnV2>0,则g(a)>0恒成立，

I2J22

3

所以当a>0时，/(x)>2Ina+万恒成立，证毕.

方法二：

令〃(x)=e*-x-l,则=e*-1,

由于y=e，在R上单调递增，所以〃'(X)=e*-1在R上单调递增，

又“(O)=e°—l=O,

所以当x<0时，〃'(x)<0；当x>0时，〃(x)>0；

所以力(x)在(e,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故/?(x"〃(O)=O,则e*Nx+l，当且仅当x=0时，等号成立，

因为/(x)="(e*+a)—x=etc'+ci~—x=eA+l,u;+cr—xNx+lna+l+a--x,

当且仅当x+lna=0,即x=-lna时，等号成立，

331

所以要证/(x)>21110+5,即证x+lnQ+l+a?-x>2I11Q+5,即证a?—5-Ino>0,

令g(a)=q2」一］na(a>0),则g，(a)=2a」=2a一,

2aa

令g®)<0,则0<&〈乎；令g<a)>0,则乎;

(拒)(\

所以g(a)在0,1上单调递减，在手,+8上单调递增，

\7\/

(6、(叵\।5

所以g(a)mm=g——=——----In——=hi>/2>0,则g(a)>0恒成立，

I2Jk2722

3

所以当a>0时，/(x)>21na+1恒成立，证毕.

2

20.设等差数列｛a“｝的公差为2,且d>1.令"=------,记S,,Tn分别为数列｛4｝,也｝

an

的前〃项和.

(1)若3a2=36+a3,53+4=21,求｛a,,｝的通项公式；

(2)若也｝为等差数列，且S99-L=99,求心

【答案】(1)a“=3〃

、」51

(2)d=—

50

【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；

(2)由色｝为等差数列得出4=。或4=2d,再由等差数列的性质可得%)—%=1，分

类讨论即可得解.

【小问I解析】

3。2=3q+q，,3d=q+2d,解得a｝=d,

S3-32=3(4+d)=6d,

一,7,26129

又A=b+8+仇=—I----1---=一,

x-3d2d3dd

,,9

/.S3+4=6d+—=21,

即2d2—74+3=0,解得d=3或d=g(舍去)，

/.Q〃=4+(〃-1)•d=3n.

【小问2解析】

{2}为等差数列，

12212

2b)=a+a，即———I---,

a2a}a3

~11、6dlo0.一

「•6(------)=----=一,即-3a,d+2d~=0,解得4=d或〃।=2d,

%%4

i/>1,a„>0,

又S99-金=99,由等差数列性质知，99%)-99%=99,即％0-3=1,

2550,,「…

••“50-----------------=1，即a；。一%o—2550=0,解得％0=51或6o=—50(舍去)

40

当q=2d时，40=4+49。=51。=51,解得d=l,与d>l矛盾，无解;

当%=d时，%o=%+49d=50d=51,解得d=%.

综上，J=—.

50

21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中

则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为。6,乙每次投篮的命

中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知:若随机变量X]服从两点分布,且P（X,=1）=1-P（X,=0）=/i=1,2,…,叫

（n\n

则EEx,=z[.记前〃次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为y，求E（y）―

Iz=!7i=\

【答案】（1）0.6

【分析】(1)根据全概率公式即可求出；

(2)设尸(4)=化，由题意可得=0.4p,+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解

出；

(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【小问I解析】

记“第i次投篮的人是甲”为事件4，“第i次投篮的人是乙”为事件Bj,

所以,尸(鸟)=尸耳)+尸(耳)=尸(P(B1

(A4A)2A)+P(4)P(B2\BJ

=0.5xQ—0.6)+0.5x0.8=0.6.

【小问2解析】

设尸(4)=必，依题可知，=则

P(A』)=P(AA+J+P(4A+J=尸(a)p(a+JA)+P(4)P(A+/用)，

0.4/?,.+0.2,

设Pi+i+丸=£（化+4），解得几=——，则PHI=，

又Pl=1,PI,所以[pi-g]是首项为:，公比为!■的等比数列，

ZjoIJJ65

1

+—.

3

【小问3解析】

因为P,=\x1|）+；,，•=1,2,…,/

7,

1115Jn5<2Yn

所以当〃eN*时，E（y）=pp+p,=x+=1+，

]+2n6]_2318|_<5jJ3

故W*-11)n

3

【拓展】本题第--问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式,

然后根据数列的基本知识求解.

22.在直角坐标系中，点尸到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点尸的轨

迹为W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABC。有三个顶点在W上，证明：矩形A8CQ的周长大于36.

11

【答案】(1)y=x~-\--

4

(2)见解析

【分析】(1)设尸*,y),根据题意列出方程/+(丁一()=/,化简即可；

(2)法一：设矩形的三个顶点a,/］，8［仇力c,c?+1),S.a<b<c,

分另I」令人AB=a+8=加<。，kBC=b+c=n>0,且相〃=一1,利用放缩法得

1(1AI-----/।、2

502/+力1,1+〃2,设函数/(*)=卜+；|(l+f),利用导数求出其最小值，则得C

的最小值，再排除边界值即可.

法二：设直线的方程为y=%(x—〃)+/+',将其与抛物线方程联立，再利用弦长公

4

式和放缩法得|AB|+|4£>|>鼻,利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边

界值即可.

法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可

证明.

【小问1解析】

两边同平方化简得,=父+:'

设P(x,y)厕3=

故W:y=r+L

4

【小问2解析】

法一：设矩形的三个顶点+；),(+；)在W上，且4<Z?<C,

易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0,

;

从+।+')=。+/?=机<0'

则勤,即c=T，a+〃<匕+J令，414

21

同理令原c=b+c=〃>0,且优力=-1,则帆=一,，

n

1

设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|>|«|,k-k=c-a=n-m=n+—,

BCABn

则

-C=|AB\+\BC\-(b-a)y]l+m2+(c-b^l+n2><：C-a)Jl+〃2=(〃+Jjl+〃2

2

〃〉0,易知(〃+/]jl+〃2>0

则令/(x)=[尤+，)(l+x，,x>0,/'(x)=

2%---,

IX)

令r(x)=0,解得x=也,

2

(五、

当xe0,—时，f'(x)<0,此时/(x)单调递减，

、2>

当xe1《-,+8,f\x)>0,此时/(x)单调递增，

则/(X)min

故3。2后=?，即CN3行

当C=35/3时,n=-^-,m=—J5，且(b-d)^\+rrr=(b-d)^\+rr，即机=〃时等号成

立，矛盾，故C〉36,

得证.

法二