2023-2024学年河北省石家庄市高二年级下册开学考试数学质量检测试题（含答案）

2023-2024学年河北省石家庄市高二下册开学考试数学质量检测

试题

一、单选题

1.已知两条直线∕∣：5x-2y+l=0和乙：“x+3y+2=0相互垂直，则α=（）

15C26r6

A.B.—C.—D.一

21555

【正确答案】D

【分析】利用两条直线垂直的充要条件，建立方程，即可求出”的值.

【详解】两条直线《：5x-2y+1=0和&：办+3y+2=0相互垂直，

贝∣]54-6=O,解得α=∙∣.

故选：D

2.若点（2,4）在抛物线9=2外（0>0）上，则抛物线的准线方程为（）

A.x=-4B.X=-2C.Λ=-1D.y=-4

【正确答案】B

【分析】先将点代入抛物线得到抛物线的方程，即可得到准线方程

【详解】因为点（2,4）在抛物线〉2=20氏（0>0）上，

所以42=4p,解得P=4,故抛物线为∕=8x,

故其准线方程为：x=-2

故选：B

92

3.椭圆C:二+二=1的离心率为（）

5030

A.叵B.—C.—D.

5255

【正确答案】A

【分析】先由椭圆的标准方程求得4,c,再求得椭圆的离心率即可.

【详解】因为椭圆c：《+£=i,

5030

所以/=50,Z?2=30,则c2=a1-b2=20,

又α>0,c>0,所以4=5播，c=2√5,

所以楠圆的离心率为e=£=楚=巫.

a5√25

故选：A.

4.已知圆5产+丫2-4》-6)，+9=0与圆&：(》+1)2+&+1)2=9,则圆Cl与圆&的位置关

系为()

A.相交B.外切C.外离D.内含

【正确答案】B

【分析】确定两圆的圆心和半径，由圆心间的距离与半径的关系即可得解.

【详解】圆^：/+丁-©-6丫+9=0化成标准方程为(>2)2+(>一3)2=4,圆心G(2,3),

半径为4=2,

圆GM+ιy+(>+ι)2=9,圆心G(τ,τ),半径为4=3,

22

∣C,C2∣=7(2+1)+(3+1)=5=rt+r2,圆CI与圆Cz的位置关系为外切，

故选：B

5.已知正方体ABS-ABlGA的棱长为3,公尸分别在。艮44上，且BE=2ED,A尸=2咫，

则IEFI=()

A.3B,2√2C.2√3D.4

【正确答案】A

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合条件求得瓦尸的坐标，再利用空间向量的模

的坐标表示即可得解.

【详解】依题意，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则D(0,0,0),Λ(3,0,0),B(3,3,0),B1(3,3,3),

因为BE=2ED,AF=2FB∖,所以£(1,1,0),尸(3,2,2),

所以M=(2,l,2),故同=14+1+4=3.

故选：A.

13

139

13927

13927...3"τ

现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{q,},则4oO=()

A.37B.38C.39D.310

【正确答案】B

【分析】根据数表，先判断第IOO个数字在第几行的第几个数，再代入通项，即可求解.

【详解】第一行有1个数，第二行有2个数，…，第〃行有,个数，

所有妁±I≤100中，〃的最大值是13,

2

前13行共有空业叫=91个数，第100个数字在第14行的第9个数，

2

根据通项3一可知，第9个数是3"=3',即¾w=3、

故选：B

7.已知x+y=0,则&+y2_2x_2y+2+J(x-2『+y2的最小值为()

A.√5B.2√2C.√10D.2√5

【正确答案】C

【分析】设点「(苍》)为直线乂+丫=0上的动点，题意可转化成求P*,y)与(1,1)的距离和

P(χ,y)与(2,0)的距离之和的最小值，求出M(U)关于直线χ+y=0的对称点故

IPM+∣∕w∣=IpMl+∣PN以MN∣=√iξ,即可求出答案

【详解】设点P(X,y)为直线χ+y=o上的动点,

222122

由^x+y-2x-2y+2+λ∕(x-2)+√=y∣(x-↑)+(y-∖)+λ∕(x-2)+/可看作P(x,y)与

(1,1)的距离和P(χ,y)与(2,0)的距离之和,

设点M(l,l),N(2,0),则点”(-1,-1)为点M(Ll)关于直线x+y=O的对称点，

故IPM=IPM[,且IMNI="(2+1)2+(0+1)2=√10,

222

所以IPMI+1PNl=λ∕(χ-l)+(γ-l)+7(χ-2)+/=|尸”|+∣PN∣≥IMNl=√W,

当且仅当P,M',N三点共线时，取等号，

222

所以y∣x+y-2x-2y+2+yj(x-2↑+y的最小值为√W.

故选：C

8.己知｛%｝为等比数列，%+α8=-3,α6a7=-18,则生+即=()

A.3B.—9C.—D.-----

22

【正确答案】C

【分析】根据等比数列的下标和性质可求出火，4,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列

的性质即可求出外+町.

【详解】因为｛4｝为等比数列，所以％%=%⅞=T8,

CL=-6

又见+<⅛=-3,可解得2或

设等比数列｛〃.｝的公比为4,则

21

二；时年一”…

当0=AYm^2^;

当卜人时,=^=-2,,，,a2+a∖ι=⅜+¾⅛=-7+(^6)×(-2)=-y.

[%=-6%q.22

故选：C

二、多选题

22

9.已知双曲线C:5-E=l(a>0)的左、右焦点分别为月,工，离心率为2,P为C上一点，

a3

则()

A.双曲线C的实轴长为2

B.双曲线C的一条渐近线方程为y=Gr

C.∖PFI∖-∖PF2∖=2

D.双曲线C的焦距为4

【正确答案】ABD

【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.

【详解】由双曲线方程知"=√L离心率为e=£=①士ɪ=2,解得α=l,故=l,

aa3

实半轴长为1,实轴长为%=2,A正确；

因为可求得双曲线渐近线方程为y=±吗，故一条渐近线方程为y=√5χ,B正确；

由于P可能在C的不同分支上，则有Il丹"-|P6Il=2,C错误；

焦距为2c=2√α2+b1=4,D正确.

故选：ABD.

10.已知公差不为0的等差数列｛(｝的前”项和为S“，且4+3%=S6,则()

A.«7=0B.a2+a6=a^

C.S13=OD.Sh=Sli

【正确答案】AC

【分析】由勾+3。2=品，用基本量表示得q+64=0,然后对每一个选项进行判断即可.

【详解】由题意有q+3%=号LX6,化简整理得4+64=0,

所以为=O,选项A正确;

α2÷a6=2tz1+6√=-6J,∕=q+7d=d,由于dwθ,所以4+小/小，故选项B不正确;

二3=冯%X13=13%=°,故选项C正确；

S6="^X6=-21",Sg=M受χ8=2(W,由于d*0,所以臬力耳，故D不正确.

故选：AC

11.如图，棱长为1的正方体ABCQ-AAG。中，E,尸分别为BBl的中点，则()

2

A.直线FG与底面AsC。所成的角为30°B.平面ABIE与底面ABC。夹角的余弦值为I

C.直线尸G与直线AE的距离为画D.直线尸G与平面ABE的距离为:

【正确答案】BCD

【分析】以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角,

平行线间距离及线面距离.

如图所示，以点。为坐标原点，ZM为X轴，DC为y轴，Qa为Z轴,

则A(ι,0,0),A(1,0,1)，4(1,1,1),C1(0,1,1),40,0.；),F(L臼，

A选项：FC,=f-l,O,∣L平面ABa)的法向量AA=(0,0,1),

设直线FcI与底面ABC。所成的角为Θ,

则Sine=Ms(fC∣,Λ4j=回，9|__2一些

=-5'

M∙M×1

•・・直线FG与底面ABCr)所成的角不为30。，故A错误;

B选项：ΛB,=(0,1,1),AE=,1,0,；

/?•AB1=y+z=0

设平面ABIE的法向量〃=(χ,y,z),贝Ij-ɪ,令z=2,贝∣J〃=(1,-2,2)

n∙AE=-x+-z=0

2

设平面AqE与底面ABC。的夹角为α,

则CoSa=ICoS(A4l,IAAJ=_3_=2j

il

`'∣AΛl∣∙n1x33

2

平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为：，故B正确;

C选项，FE=(TfO),

直线FG与直线AE的距离为:

C正确;

D选项，FCJIAE,AEU平面AB∣E,FGa平面ABlE,

又AF=IaI平面AgE的法向量"=(1,-2,2),

∖AF^n∖-2+11

・・・直线/α与平面43避的距离为：∕z=⅛^=/,=彳,故D正确；

同J-+(-2)2+223

故选：BCD.

22

12.已知P是左右焦点分别为5，鸟的土+二=1上的动点，M(0,3),下列说法正确的有

124

()

A.|网的最大值为5B.∣Pξ∣+∣P∕^∣=4√3

C.存在点P,使4牝=120°D.|尸娟-归闾的最大值为4立

【正确答案】BD

【分析】设P(X。，%),则x；=12-3y：,进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解

判断A；根据椭圆定义判断B；根据P为短轴端点时，ZξPK<120。判断C；根据£，F2,

P三点共线时，IPKI-IP闾有最大值4√Σ判断D.

【详解】解：对于A选项，设P(X0,%),则无+且=1,即片=12-3北，

124

所以

22

IMPl=&+(%-3]=7⅞+√-6y0+9=J12-3%2+)4-6%+9=√-2y0-6.y0+21,

又-2≤%≤2,所以当为=-j时，IMpkX=迪，故A错误，

2max2

对于B选项，由椭圆定义，∣P用+归周=2∙=4√5,故B正确

对于C选项，当P为短轴端点时，

∖PO∖=2,∖θF2∖=2y∕2,tanZOP∕⅛=√2<√3,故NoP乙<60。，进而N耳Pg<120。，故C

错误，

对于D选项，归同一|尸闾≤旧闾=4√i,当耳，尸2,P三点共线时，∣P6∣-∣P闾有最大值4√∑,

故D正确.

故选：BD

三、填空题

13.记等差数列｛q｝的前"项和为S,,若%=5,a5+all=20,则SK)=.

【正确答案】75

【分析】利用等差数列下标和性质和等差数列求和公式可直接求得结果.

【详解[%+%=24=20,.∙.¾=10,.∙.q+4o=%+4=15,‘九=""'产)=75.

故答案为.75

14.如图，在直三棱柱ABC-A/©中，。为4百的中点，AB=BC=BBI=1,AC=后,

则异面直线BD与AC所成的角为.

【正确答案】60°#吟

【分析】取BC的中点E,易得NBDE（或其补角）为异面直线8。与AC所成的角，根据

直棱柱的性质结合条件即得.

【详解】如图，取BC的中点E,连接BE,OE,则AC//AG//OE,

所以NBDE（或其补角）即为异面直线Bo与AC所成的角,

由题可知BD=EB=—,DE=-AC=-,

222

所以Nβ3E=6()o,

故答案为.60。

15.在平面直角坐标系x0y中，抛物线丁=人的焦点为F,点P（m,T）在抛物线上，则PF

的长为.

【正确答案】5

【分析】把点「（〃?,T）代入抛物线方程解得〃?=4,根据抛物线定义IpFl=〃2+1.

【详解】丁=4》的焦点为尸（1,0）

点P（孙7）在抛物线上，则（T）2=4W,解得机=4

根据抛物线的定义IPFl=加+1=5

故5.

2

16.若双曲线y2-2y=ι的渐近线与圆χ2+y2-4y+3=0相切，则％=

【正确答案】土见

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式,

即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径,

即可得到方程，解得即可.

【详解】双曲线V-∙4=ι的渐近线为：

X

y=±-,即x±my=O,

m

不妨取X+my=。，圆f+y2-4y+3=O,

即f+(y-2)2=l,所以圆心为(0,2),半径r=l,

依题意圆心(0,2)到渐近线工+〃?)，=。的距离：

解得m=或m--

33

故耳

四、解答题

17.在AABC中,其顶点坐标为A(5,1),B(4,3),C(T,2).

(1)求直线AB的方程；

(2)求ABC的面积.

【正确答案】(l)2x+y-ll=0

【分析】(1)先求出AB的斜率，再利用点斜式写出方程即可;

(2)先求出IABI,再求出C到AB的距离即可得到答案.

【详解】⑴由己知，L=E7

所以直线AB的方程为y-l=-2(x-5),即2x+y-ll=0.

(2)MBl="(5-4)2+(1-3)2=石,

一门文山c,Am*ΛiJ2x(-l)+2-ll∣11√5

C到直线AB的距离为-~!=-ɪ,

√22+l25

所以JLBC的面积为Lχ6χUj∕5=U.

252

18.记S“为等差数列也｝的前〃项和，已知q=-4,S3=-9.

(1)求也｝的通项公式；

⑵求S“，并求S”的最小值.

【正确答案】(l)4="-5

⑵To

【分析】(1)根据等差数列的前〃项和，与等差数列的性质求出生的值，然后根据通项公式

求出公差d,就能求通项公式.

(2)根据等差数列的前n项和求出前"项和再根据二次函数的性质求最小值.

【详解】(1)S(I为等差数列｛4｝的前”项和

所以53=^^=^|^=3出=-9

所以％=-3,又因为％=-4

所以〃2-4=d,∙∙∙d=1

所以/=q+(l)d=-4+〃-I=〃一5

〃(-4+5)181

(2)Sn二

222T

又因为∕z∈N,所以当〃=4或〃=5时S〃有最小值,

最小值为54=g(4J4χ9)=T0

S“的最小值为TO

19.已知抛物线C:/=4y,过点P(1,2)的直线/与抛物线C交于A,8两点，。为坐标原

点,

(1)若点尸为线段AB的中点，求直线/的方程；

(2)若OALo8,求」OAB的面积.

【正确答案】(I)X-2y+3=0；

(2)16√2∙

【分析】(1)由题可设直线方程联立抛物线，利用韦达定理结合条件可得斜率，进而即得;

(2)根据韦达定理结合向量数量积的坐标表示可得斜率，然后根据弦长公式及面积公式即

得.

【详解】(D设直线/的斜率为发，

当4不存在，显然不符合题意；

当々存在，设直线Ly=Mx-l)+2,A(Λ1,%),B(Λ2,%),

,Cy=MX-I)+2,

由｛2：>可得χ2-4fcv+4Z-8=0,

[X=4y

.∫xj+x2=4Λ

,

**[xlx2=4Λ-8

∙.∙P为线段AB的中点，

/.xl+x2=4⅛=2,即4=g,

所以直线/的方程为x-2y+3=0；

(2)由。4_LOB,可设。403=%%+y必=0，

由(1)得FM=必—8,(⅞¾)2=(4=8)2,

121616

所以,司+乂必=4攵一8+(4"8)-=o,解得k=±2,

16

若％=2,/：2x-y=0,直线/过。点，不符合题意；

=-

若Z=—2,I∙2x+y—4=O,x∣+无2=—8,x∣x2ɪ6,

22-

∙>∙IAM=∖∣∖+k∣x1-x2∣=ʌ/ʒʌ/(ɪi+¾)4XIX2=8VΓδ，

4

。点到直线/的距离为d=不，

OAB的面积为SΔOAB=^∣ABμ=∣∙8√Γδ-=16√2.

20.如图，在四棱锥P-ΛBCO中，底面ABCZ)为等腰梯形，ABHCD,CO=2AS=4,

PA=PB,平面RWJ_底面ABCf>,E为尸。的中点.

⑵求二面角A-EB-C的余弦直

【正确答案】(1)证明见解析

(2)4

【分析】(1)取PC的中点F,连接ERBF,证明四边形ABFE为平行四边形即可得出；

(2)取AB中点O,以。为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABE和平面C8E的一个法

向量，利用向量关系可求出.

【详解】(1)如图，取PC的中点R连接£F,BF,

∙/PE=DE,PF=CF,：.EFHCD,CD=2EF,

"：ABHCD,CD=2AB,：.ABHEF,且Eb=AB.

.∙.四边形ABFE为平行四边形，.∙.AEHBF.

'：BFU平面PBC,AEU平面PBC,故4E〃平面PBC.

(2)取AB中点。，8中点M,以。为原点，OM为X轴，AB为y轴，OP为Z轴，建立

空间直角坐标系：则A(0,—1,0),8(0,1,0),C(1,2,0),P(0,0,1),£>(1-2,0),(最-1,£|,

贝IJBE=I,-2,g),Afi=(0,2,0),BC=(1,1,0),

设平面ABE的一个法向量为W=(Xl,y∣,z∣),平面CBE的一个法向量为"=(9/2,22)，

m∙AB=2y1=0

则“*N-2χ+3=0'令2’则根=（1,°T,

n∙BC=Λ2+y2=O

〃印/一2%+卜=Of=晨则"=（1一5），

^mn6√6

设/与”的夹角为。，贝"C°S<9=同R=万1万=丁，由二面角A-EB-C为钝角，则余

弦值为一冬

21.如图，PA_L矩形ABCo所在的平面，MN分别是PC,AB的中点，且R4=AB=2AD

⑴求证：MNLCD；

(2)平面PAB和平面MAB所成角的余弦值；

(3)在线段4)上是否存在一点G,使GM，平面PBC?若不存在，说明理由；若存在，确

定点G的位置.

【正确答案】(1)证明见解析

陪

(3)存在中点G,理由见解析

【分析】(I)以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，证明MN∙CD=O即可；

(2)求出平面F4S和平面MAB的法向量，利用向量关系可求出；

(3)设AG=4AO(∕1>0),根据，即可求出.

[BCGM=Q

【详解】⑴由题可以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设∕¾=A8=2AZ)=2,

则Ml1,；/),N(LO,0),C(2,1,0),D(OJO),

所以硒=(θ,-g,-l),C力=(-2,0,0),

因为MN∙CO=(J,所以MNJ,C。，即MNLC。；

(2)易得平面W的一个法向量为Ao=(0,1,0),

因为A((),(),0),8(2,(),0),则AB=(2,0,0),AM=(l,g/

设平面M48的一个法向量为"=(χ,y,z),

⑵=0

ABn=O

则《，即《1,令y=2,则X=O,Z=T,即〃=(0,2,—1),

AMn=0x+-y+z=Q

AD∙n2_2√5

cos<AD,n>=

则HH1×√5^5

由图可得平面上和平面所成角为锐角，

所以平面∕¾S和平面所成角的余弦值为手.

(3)设存在点G满足AG=4AD(∕l>0),则G(0,Z0),所以GΛ∕=Q,g-41),

因为P(0,0,2),3(2,0,0),C(2,1,0),所以PB=(2,0,—2),BC=(0,1,()),

'2-2=0

PBGM=0八，解得人=

因为GML平面PBC,贝川即《111，

BCGM----∕t=()L

[2

所以存在点G,使GMJ■平面P8C,