2023高考数学复习练43　随机变量及其分布

微专题43随机变量及其分布

高考定位离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在

一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中

等难度.

真题演练感悟高考练真题明方向

1.(2022.浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡

片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为则P(<=2)=，

E(ζ)=.

12

答案iT

Ck¾+Gcl16

解析由题意知

P(<f=2)=35-

4的可能取值为1,2,3,4,

“工”以153

Pe=I)=干方甘

PC=?)=,=条，P(e=4)=⅛=⅛,

所以4的分布列为

1234

16~Γ

P

353535

O]Aɔ1IQ

E(^)=l×^+2×τz÷3×τξ+4×τξ=-y.

2∙(2022∙北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成

绩达到9.50m以上(含9.5Om)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠

军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学

期望E(X);

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要

求证明)

解(1)甲在以往的10次比赛成绩中，有4次比赛成绩达到9.50m以上(含9∙50m),

故由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为0.4.

(2)设甲获得优秀奖为事件4,乙获得优秀奖为事件42,丙获得优秀奖为事件A3,

则P(Ai)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.5.

X的可能取值为0,1,2,3,

-------3

故P(X=O)=P(AlA2A3)=0∙6X0.5X0.5=而，

P(X=1)=P(AiA2A3)+P(AiA2A3)+P(AiA2A3)

82

=0.4X0.5X0.5+0.6X0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=犷亍

P(X=2)=P(AiA2A3)+P(AiA2A3)+P(AiA2A3)

7

=0.4×0.5X0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5X0.5=而

P(X=3)=P(AIA2A3)=0.4×0.5×0.5=京=^∙

・・・X的分布列为

X0123

3-2-7

P

20520W

32717

ΛE(X)=0×τ7τ+l×τ+2×5^÷3×γʒ=-ξ.

(3)丙夺冠概率估计值最大.

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.

比赛一次,丙获得9.85的概率为今

甲获得9.80的概率为上，

乙获得9.78的概率为今

并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

热点聚焦分类突破研热点析考向

热点一分布列的性质及应用

I核心归纳

离散型随机变量X的分布列为

・・・

XXlX2Xi•••Xn

~~P~•••…

PIP2PiPn

则(DPi20,)=1,2,•••，〃.

(2)pι+p2-l----∖-pn=∖.

(3)E(X)=XlPl+x2p2-∣----I-XWi-I---∖-x>tpn.

n

(4)D(X)=Σ[xi-E(X)^pi.

Z=I

(5)若Y=aX+b,则E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X).

例1(1)(多选)设离散型随机变量X的分布列如下表：

X12^3-45

^~P~m0.10.2n0.3

若离散型随机变量Y=-3X+1,且E(X)=3,则()

A..m=0ΛB.n=0.1

C.E(K)=-8D.D(K)=-7.8

(2)已知随机变量的分布列如表所示，若Ee)=O(。，则下列结论中不可能成立

的是()

GK⅛-ι

P1~a

A.α=gB.<z=7

13

C.k=2D.k=2

答案(I)BC(2)D

解析(1)由jE(X)=l×τn+2×0.1+3×0.2+4×π+5×0.3=3,

得m+4∕7=0.7,

又由wι+0.1+0.2+刀+0.3=1,得wt+"=0.4,

从而得"2=0.3,/?=0.1,故A选项错误，B选项正确；

E(Y)=-3E(X)+l=-8,故C选项正确；

因为D(X)=0.3×(l-3)2+0.1×(2-3)2+0.1X(4-3)2+0.3×(5-3)2=2.6,

所以O(r)=(—3)2。(X)=23.4,故D选项错误.

(2)由题意得E(ξ)=ka+(k-1)(1—a)=上一1+a,

D(ς)=[k-(k—1+a)f∙a+伙一1一(k—1+<a)]2∙(l—a)=a(l—a).

因为E(。=O(J,

所以k—1+a=tz(l—a),

所以k=l-a2,

所以OWaWl,

1一

3

所以％=1一”2∈[0,1],故％=邑不成立.

规律方法分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确

性.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变

量在某个范围内的概率.

训练1(1)(2022・温州模拟)已知随机变量X,Y的分布列如下:

X10

P0.50.5

Y2-1

P0.50.5

则()

A.D(X)=3D(Y)B.D(y)=3D(X)

C.D(X)=9D(y)DRY)=9。(X)

(2)(2022・长沙模拟)设a>0,若随机变量4的分布列如下:

~Γ-102

a2a3a

则下列方差值中最大的是()

A.O©BQ(©)

C.D(2cf-l)D.O(2同+1)

答案(I)D(2)C

解析(1)从表中可知y=3xτ,

.∙.D(y)=D(3X-l),

：.D(Y)=9D(X),故选D.

(2)由题意知a+2α+30=1,〃=不

E(<*)=—1×^+0×2÷2×^=∣,

1117

E(IcJ)=I×^+0×2÷2×2=^.

/、52-1,∕5、2-1,、52-53

-+-×nO-+----

O(J=IX1-1-63∖-6636

2-

D(∣a)=∣×(1-^+3X(°-6)+2X(2-6)=B

D(<f)>l>D(∣(f∣),

5353

D(21f-l)=4×^=y,

2929

D(2∣⅞∣+l)=4×^=y.

所以O(21f-1)最大.

热点二随机变量的分布列

I核心归纳

1.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(O<p<l),用

X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=B=C⅛∕(1—Pyr«=0,1,2,…，

n.

E(X)=np,D(X)=叩(l—p).

2.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取〃

件(不放回)，用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=Z)=

-τr-J=如机+1,根+2,…，匚其中n,N,M∈N∙,MWN,〃WN,m=

M

max{O,n-N+M},r=mm{n,M},E(X)=n、

考向1二项分布

例2(2022.南昌模拟)接种新冠疫苗可以有效降低感染新冠肺炎的概率.某地区有A,

B,C三种新冠疫苗可供居民接种.假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，

而且这三种疫苗的供应都很充足.为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设

置了号码机，号码机可以随机地产生A,B,C三种号码(产生每个号码的可能性

都相等)，前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号

码相对应的疫苗(例如：取到号码4就接种A种疫苗，以此类推).若甲，乙，丙，

丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗.

(1)求这四个人中恰有一个人接种A种疫苗的概率；

(2)记甲，乙，丙，丁四个人中接种A种疫苗的人数为X,求随机变量X的分布列

和数学期望.

解(1)记四个人中恰有一个人接种A种疫苗的事件为M,

3

则P(M)=咱|)奇，

所以四个人中恰有一个人接种A种疫苗的概率为善.

O1

(2)由题意可知，X的取值依次为0,1,2,3,4,且X~04,，，

P(X=%)=c(?(J)伏=0,1,2,3,4),

故随机变量X的分布列：

XO12一34

16-32-~8~8~Γ

P

8?8?278T8?

14

故E(X)=4义W=予

考向2超几何分布

例3(2022・烟台模拟)2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北

京成功举办.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况

(单位：分钟)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图.

频率

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85%分位数；

(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在［200,280］的学生中

抽取6人.若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看

时长在［200,240)的人数为X,求X的分布列和数学期望.

解(1)⅛,40×(0.0005+0.002×2+2α+0.006+0.0065)=1,解得α=0.004∙

由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40X(0.0005+0.002+

0.004+0.006+0.0065)=0.76.

观看时长在240分钟以下占比为0.76+40×0.004=0.92.

0.85-0.76

所以85%分位数位于［200,240)内，85%分位数为200+40X=222.5.

0.92-0.76

(2)由题意，观看时长［200,240)、［240,280］对应的频率分别为0.16和0.08,

所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人.

于是抽取的3人中观看时长在［200,240)中的人数X的所有可能取值为1,2,3.

所以，P(X=D=Cg=5,

P(X=3)=g=∣.

X的分布列为

X123

ɪ-3-ɪ

P

555

131

所以，E(X)=I×^+2×5÷3×5=2.

规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤

(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；

(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；

(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X),方差。(X);

(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，

可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.

训练2(2022.茂名二模)冰壶是冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图

所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷

线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰

壶最终静止时距离营垒区圆心。的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，

规定冰壶的重心落在圆。中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶

的重心落在圆环8中，得1分，其余情况均得。分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互

1121

不影响，甲、乙得3分的概率分别为%甲、乙得2分的概率分别为奈参甲、

乙得1分的概率分别*，ɪ

(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；

(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X,求X的分布列和期望.

解(1)由题意知，甲得0分的概率为

1211

135515,

乙得0分的概率为1一(一义一(=今，

所以甲、乙两人所得分数相同的概率为

一×z-I-\/-I-χ∕-I_x∕____

3×4+5×2+5xs6+15xs12-90.

(2)X可能取值为O1,2,3,4,5,6,

则P(X=O)=⅛×⅛=τ∣θ,

P(X=1)=⅛×∣+∣×⅛=⅛,

P(X=2)=⅛×^+∣×j+∣×⅛=⅛,

P^=3)=⅛×4+5×2+5×6+3×⅛=9O5

P(X=4)=∣×∣+∣×∣+∣×∣=⅛,

21114

P(X=5)=5×4+3×2=l5∙

P(X=6)=∣×∣=⅛,

所以，随机变量X的分布列为

X0~Γ23456

1~Γ19114

P

18036To903615V2

111IQ114147

所以E(X)=O×7τς77÷l×^7+2×777÷3×3λ÷4×^7÷5×77+6×7τ=7τ.

IoU3611(91)36151212

热点三正态分布

I核心归纳

解决正态分布问题的三个关键点

(1)对称轴X=μ.

(2)样本标准差σ.

(3)分布区间：利用3。原则求概率时，要注意利用〃，。分布区间的特征把所求的

范围转化为3。的特殊区间.

例4(1)(2022.滨州二模)设随机变量X~M∕/,σ2),则是“P(X<2)<”的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(多选)(2022・沈阳模拟)已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X~N(500,16).Pa

一(TWXW〃+<7)=0.6827,P(μ~2σ≤X≤∕z+2σ)=0.9545,P(∕∕-3σ≤X≤∕z+3σ)

=0.9973,则下面结论正确的是()

A.σ=4

B.P(496≤X≤504)=0.9545

C.随机抽取IOOOO袋这种食品，袋装质量在区间［492,504］的约8186袋

D.随机抽取10000袋这种食品，袋装质量小于488g的一定不多于14袋

答案(I)B(2)AC

解析(1)当〃=1时，根据正态曲线的对称性可知P(XV2)>T，

故〃21不是P(XV2)Va的充分条件；

反之,若P(XV2)<g,

由对称性可知〃21,故μA是P(X<2)<:的必要条件；

故"2是P(XV2)<3的必要不充分条件.故选B.

⑵对于A,袋装食品每袋质量(单位：g)X~N(500,16),Λσ=4,故A正确；

对于B,P(496WXW504)=P(500-4WXW500+4)=Pα-0WXW"+0)=0.6827,

故B错误；

对于C,VP(500≤X≤504)=ɪP(496≤X≤504)=WX0.6827=0.34135,

P(492≤X≤500)=∣P(∕z-2σ≤X≤ju+2σ)=∣×0.9545=0.47725,

/.P(492≤X≤504)=P(492≤X≤500)+P(500≤X≤504)=0.8186,10000X0.8186

=8186,

故随机抽取IOOoO袋这种食品，袋装质量在区间［492,504］的约8186袋，故C

正确；

对于D,P(X≤488)=∣f1-P(∕∕-3σ<X≤∕∕+3σ)］=∣(l-0.9973)=0.00135,

10000×0.00135=13.5,

故随机抽取IOOOO袋这种食品，袋装质量小于488g的约为13.5袋，但抽取时有

可能多于14袋，故D错误.

故选AC.

规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲

线关于直线X=〃对称，及曲线与X轴之间的面积为1,注意下面三个结论的活用：

(1)对任意的a,有P(XV"-α)=P(X>"+α).

(2)P(XVXo)=1-P(XNxo).

G)PgVXVb)=P(XVb)-P(XWa).

训练3(1)设随机变量4~M",1),函数y(x)=f+2χ-4没有零点的概率是0.5,

则P(OW<≤l)等于()

(附：若己~N(μ,σ2),则尸仍一<7★。・〃+(7)心0.6827,PCι∕-2σ≤e≤∕∕+2σ)^0.954

5)

A.0.1587B.O.1359

C.0.2718D.0.3413

(2)(2022∙新高考∏卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,/),且P(2<X≤2.5)=

0.36,贝IJP(X>2.5)=.

答案(I)B(2)0.14

解析(I)：函数"r)=f+2χ-4没有零点，即一元二次方程/+2χ-<f=0无实根，

ΛJ=4+4<f<0,即」<一1,

又/U)=x2+2χ-岑没有零点的概率是0.5,

ΛP(^<-1)=0.5,

由正态曲线的对称性知〃=一1,

.∙.(f~N(—1,1),二〃=-1,σ=l,

'∙μ—(T=-2,∕z+σ=O,μ—2σ=—3,μ^ir2σ~1,

ΛP(-2≤(f≤0)≈0.6827,P(-3≤(f≤l)≈0.9545,

___1I,____0.9545-0.6827

ΛP(0≤ς≤l)=2[P(-3≤e≤l)-∕,(-2≤e≤0)]¾---------ʒ----------=0.1359.

(2)因为X~N(2,σ2),

所以P(X>2)=0.5,

所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.

高分训练对接高考重落实迎高考

一'基本技能练

1.(2022.金华模拟)已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2

件进行检测，记取到的正品数为总则数学期望E(G为()

λ4c9

A∙5BIO

6

C.lDg

答案D

解析。可取0,1,2,

Ci1

Pe=O)=d=而

,

Pd)-Cg-I(F^-2)-crιo

I636

ΛE(^)=O×-j^+l×∙^+2×-^=^,故选D.

2.(2022•海南模拟)已知随机变量X~N(3,σ2),且P(XVo)∙P(X>6)=0.04,则P(O

VXV3)=()

A.0.2B.0.3

C.0.4D.0.1

答案B

解析因为随机变量X~N(3,/),

所以曲线关于x=3对称，

且令P(XVo)=P(X>6)=f,

/.r2=0.04,Λr=0.2,

即P(XVo)=P(X>6)=0.2,

.∙.P(0<X<3)=0.5—P(XVO)=O.3,故选B.

3.设随机变量X,y满足y=3X-l,X~3(2,p),若P(X2)=1，则。⑺等于()

y

A.4B.5

C.6D.7

答案A

解析由题意可得，P(X≥1)=1-P(X=O)=1-C9(l-p)2=∣,

解得P=y

124

则D(X)=op(l-p)=2×

。(7)=32。(田=4.故选人.

4.(2022・武汉模拟)已知随机变量X~N(1,f)，且P(XWO)=P(X20),则(市一乡的

展开式中常数项为()

A.—240B.—60

C.240D.60

答案D

解析根据正态分布曲线关于直线X=I对称，且P(XWO)=P(X20),可得α=2,

则(正一雪="D'

6-3r

6zr

通项为Tr+I=Q(√^)[-∣y=(-2)CU2,

若此项为常数项，则6—3r=0,解得r=2,

所以常数项为(-2)2d=60,故选D.

5.(2022.广州二模)某种包装的大米质量。(单位：kg)服从正态分布4~N(10,σ2),

根据检测结果可知P(9.98≤e≤10.02)=0.98,某公司购买该种包装的大米2Ooo

袋，则大米质量在10∙02kg以上的袋数大约为()

A.10B.20

C.30D.40

答案B

解析因为大米质量^~N(10,σ2),且P(9.98WG10.02)=0.98,

I-P(9.98≤(f≤10.02)

则rτlP(e>10.02)=---------------丁--------=0.01,

所以大米质量在10.02kg以上的袋数大约为2000X0.01=20.故选B.

6.(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=;,E(X),O(X)分别为随机

变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()

∣

A.P(X=1)=B.E(3X+2)=4

4

C.O(3X+2)=2D.D(X)=y

答案ABC

解析•••随机变量X服从两点分布，其中P(X=O)=/

.∙,P(X=1)=∣,

122

E(X)=OXQ+1Xg=g，

22

D(X)=(O—DX杆(1—D×∣=∣,

2

在A中，P(X=I)=],故A正确；

2

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3XQ+2=4,故B正确;

2

在C中，O(3X+2)=9D(X)=9Xg=2,故C正确；

2

在D中，D(X)=§,故D错误.

7.(2022.杭州模拟)已知某小组7人中有4人未接种疫苗，3人接种了疫苗.从这7

人中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中未接种疫苗的人数，则随机变量X的

数学期望为；记“抽取的3人中，既有接种疫苗的人，也有未接种疫苗

的人”为事件A,则P(A)=.

套U案-7-7

解析由题意可得X的可能取值为0,1,2,3,

则P(X=O)W

Cd12

P(X=I)=^cΓ-35,

C¾Cj⅛18

P(X=2)=

α-35,

α4

P(X=3)=@=药

ɪJ212A12

，E(X)=0X^+1X*+2X行+3X3=早.

1ɔ1OA

P(A)=P(X=1)+P(X=2)=方+方=].

8∙(2022∙宁波二模)一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球

(加∈N*),从中任取3个球.记取出的白球个数为。,若P(O=1)=/,则m=，

E©=.

答案22

ec2

解析根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率为Pe=I)=宣2=§1

解得w?=2.

所以袋中有2个红球，4个白球，

则取出的三个球中白球个数的可能取值为1,2,3,

所以/C=I)=EPC=2)=畸ɪ=',PQ=3)=会=4，

131

ΛE(⅛)=l×^+2×5+3×5=2.

9.甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，

最多比赛五局)，每场球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为"主客

主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛相互

独立，则甲队以3：2获胜的概率为.

答案0.18

解析由题意知，甲队以3：2获胜，则甲队第五场必胜，前四场“主客主主”中

胜两局，

有两种情况：一种为三个主场胜两场，一种为客场胜一场主场胜一场，

其概率为C3X0.62X0.4×0.5X0.5+Ci×0.6×0.42X0.5×0.5=0.18.

10.(2022.徐州模拟)在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德

中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.

设随机变量X~8(〃，p),记Pk=C豺(1一P)Lk,k=0,1,2,…,〃.在研究p*的

最大值时，小组同学发现：若(〃+1)P为正整数，则Z=("+l)p时，pk=pk-\,此

时这两项概率均为最大值；若(〃+1)〃为非整数，当左取5+1)P的整数部分时，

则P*是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实

时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若

继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为

的概率最大.

答案18

解析继续再进行80次投掷试验，出现点数为1的次数X服从二项分布X~

如5

1?7

由Z=(〃+l)p=81X5=7=13.5,

结合题中的结论可知，当左=13时，概率最大，

即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次，

所以出现18次的概率最大.

11.(2022・唐山模拟)甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三

胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局(在五局三胜制中指的是第

五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛)中，甲、乙两队获胜的概率均为

0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6,乙队获胜的概率为04

(1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了4局比赛，求随机变量4的分布

列，并指出进行几局比赛的可能性最大；

(2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？

解(1)由题意知：4的可能取值为3,4,5.

则PJ=3)=0.63+0.43=0.28；

Pe=4)=C∣×0.4×0.63+Ci×0.6×0.43=0.3744；

PQ=5)=GXO.42XOG=0.3456.

则4的分布列为

ζ345

P0.280.37440.3456

V0.3744>0.3456>0.28,

.∙.进行四局比赛的可能性最大.

(2)作为甲队领队，希望甲队最终获胜；

若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为

p∖=0.63+C∖×0.4×0.63+C5×0.42X0.62×0.5=0.648；

若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为

2

p2=0.6+Ci×0.4×0.6×0.5=0.6;

∙.∙pi>p2,

.∙.作为甲队领队，希望采用五局三胜制.

12∙（2022∙济宁模拟）血液检测是诊断是否患疾病的重要依据，通过提取病人的血液

样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样

本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个

疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为MoVPVI）.现有4例疑似病

例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若

干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会

呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性,

则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：平均分成两组化验.

在该疾病爆发初期，由于检测能力不足,化验次数的期望值越小,则方案越“优”.

⑴若p=g,求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；

(2)若将该4例疑似病例样本进行化验,且方案二比方案一更“优”，求P的取值

范围.

解(1)由题意知，

4

则P(X=O)=C41一§=患;

3

P(X=I)X(IT)=寿；

22

P(X=2)=C3X(，×fl-∣j=Il=捺

3

P(X=3)=c3xg∣×(1-∣J=⅛

4

P(X=4)=CG)=⅛

则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为

X01234

1632ɪ

P

818?27818?

(2)方案一中，逐个化验，化验次数为4,期望为4.

方案二中，设化验次数为匕则丫的所有可能取值为2,4,6.

每组两个样本化验呈阴性的概率为(l—p)2,设尤=(1—p)2.

则∕,(y=2)=√;

P(y=4)=Cix(I-X);

P(F=6)=(1—x)2.

所以E(y)=2×x2+4×Ck(l-χ)+6×(l-χ)2=6-4x.

若方案二比方案一更“优”，则E(y)=6—4χV4,解得尤

即X=(I-T2)2>g,解得OVPVl一乎.

所以当OVPV1—乎时，方案二比方案一更“优”.

二、创新拓展练

13.(多选)(2022.苏州模拟)已知随机变量X服从二项分布B(4,P),其数学期望E(X)

=2,随机变量y服从正态分布NS，4),且P(X=3)+P(Y<α)=l,则()

A.p=(B-P=I

C.P(Y>Lα)="D.P(r>l-α)=∣

答案BD

解析由题意知E(X)="p=4p=2,

即/?=1,

/、3/、4-3

P(X=3)=C也比)=不

.∙.P(y<a)=∣,

由于y~Nθ∙,4),对称轴X==

3

所以P(r>l-α)=P(y<α)=4∙

故选BD.

14.(多选)(2022.南京模拟)下列命题中，正确的命题的选项为()

2

A.已知随机变量X服从二项分布8(〃，p),若E(X)=30,O(X)=20,则P=W

B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C.设随机变量服从正态分布N(0,1),若P(O>l)=p,则P(—1〈4WO)=；—〃

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率

最大

答案BCD

∖E(X)=np=3Q,

解析对于MD(X)…=20,

解得P―亨A错误；

./2=90,

对于B,方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数

后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；

对于C,ξ服从正态分布N(0,1),P(-1≤ς≤O)=P(O≤<f<l)=∣-P(<f>l)=∣-p,

C正确；

对于D,X-B(10,0.8),则P(X=⅛)=C⅜OO.8A×O.2IO^*,

COo.8AX0.2i°r2C桁。8ATXO.2∣ιr,

IaOo.8*X0.2lo-i≥CU10.8i+'×00%

3944

解得手W&W5,因为Z∈N",所以Z=8.D正确.

15.(多选)(2022.福州模拟)在某独立重复试验中，事件A,B相互独立，且在一次

试验中，事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为l-p,其中p∈(0,1).若

进行〃次试验，记事件A发生的次数为X,事件8发生的次数为K事件AB发

生的次数为Z,则下列说法正确的是()

E(X)=E(Y)B.D(X)=D(Y)

C.E(Z)=D(X)D.n-D(Z)=D(X)D(Y)

答案BC

解析因为E(X)="P,E(y)=〃(l—p),即A错误；

因为D(X)=〃p(l—p),O(F)="(1-p)p,即B正确；

因为A,3相互独立，所以P(AB)=p(l-p),

所以E(Z)=叩(l—p)=O(X),即C正确；

因为nD(Z)=层P(I—p)［l-p(l-p)］,

O(X)O