2023年高考模拟考数学试卷1（文）（解析版）

2023年高考数学模拟考试卷1（文）

第I卷

一、选择题

1.集合A={x∣2sinx=l,x∈R},β=∣X∣Λ2-3x≤0∣,则AB=()

A.[0,3]B∙[}c∙[⅞`⅞]d∙

K答案DD

K解析H由2sinx=l得SinX=J解得x=2+2Aπ或」∙+2h兀火∈Z,

266

所以A=]幻X=7+2E或+2kτι,k∈Z?,

又由f-3x≤0解得0<x<3,所以8={x∣0≤x≤3},

所以4B=。，詈}，故选:D.

2.已知实数d匕满足(α+bi)(2-i)=2+i(其中i为虚数单位)，则复数z=b+αi的共朝

复数为()

ʌ43.c43.c34.、34.

A.—+-iB.-------1C.-+—iD.-------1

55555555

K答案HB

K解析》实数。，%满足（α+历）（2-i）=2+i（其中i为虚数单位）,

2

2+i(2+i)_34.”3,8」,

故

2-i(2-i)(2+i)5555

43-43

复数z=b+ai=1+1i的共辆复数z=g-gi,故选：B

3.若卜+4=包同,且a_LO,则向量α+6与d的夹角为（)

π

A.

6

2π

C.

T

K答案UA

K解析》因为所以“∙0=0

又因为人+司=羊同,所以同+|可=躯）及『=

∣~+2a∙hIa3W

所以,+司=+=J同2+2./+^2=2忖，所以α+A与0的夹角表示为,+仇。），

(q+b'αt∕∣2+a-b∖a∖GWʌ/ɜ

则COS

∣^+⅛∣∙∣tz∣(7+⅛∣∙∣t7∣+⅛∣2∣⅛∣2

IT

所以α+b与d的夹角为彳.故选：A.

6

4.某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛.两个班级的数

学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论

错误的是（）

甲乙

967

8420801259

30904

A.甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小

B.甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低

C.甲班参赛同学得分的平均数为84

D.乙班参赛同学得分的第75百分位数为89

K答案XD

R解析11对A,甲班参赛同学得分的极差为93-76=17,乙班参赛同学得分的极差为

94-71=23,故正确;

QOIQA

对B,甲班参赛同学得分的中位数是学吧=83,乙班参赛同学得分的中位数是

82+85

=83.5,故正确;

-2-

76+79+80+82+84+88+90+93

对C,甲班参赛同学得分的平均数为=84,故正确;

8

3

对D,乙班参赛同学得分为71,80,81,82,85,89,90,94,8×-=6,取第6个与第

7个数的平均数为第75百分位数，即为殁史=89.5,故错误.故选：D

5∙已知»>°，23=2,则的最小值是（）

A.2B.2√2C.4D.2石

K答案》c

K解析』因为2J8>'=2*∙23>'=2*+3>=2,所以x+3y=l,

因为x>0,y>O,所以L+-L=(χ+3y)(L+-!-]=2+土+2N2+2,f^^=4.

X3ylkx3yJ3yx∖3yx

当且仅当/=型，即X=:，y=!时等号成立.故选：C

3yX26

6.已知抛物线C：V=4x的焦点为F,动点M在C上，圆M的半径为1,过点F的直线

与圆M相切于点N,则FM∙FN的最小值为()

C.1D.2

K答案》B

K解析UFM-FN=IFNI2=IFMI2-1=(¾+-^)2-1=(¾+1)2-1≥1-1=O,

当XM=O即点M为坐标原点时，取最小值，故选:B.

7.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图，若输入的

x=2∕=2,一次输入的〃为2、2、5,则输出的S等于()

(⅞)

/输手S/

(⅛)

A.34B.17C.12D.7

K答案》B

R解析H程序运行时，变量值变化如下:

x=2,H=2,R=O,s=0,

4=2,5=2,Z=I,不满足%>〃；

α=2,s=6,k=2,不满足k>n；

α=5,S=I7,k=3,),两k>t^ι.

输出S=I7.

故选：B.

8.已知函数y=f(χ)的图象的一部分如图所示，则该函数K解析》式可能是()

A./(x)=x2∙sinxB./(x)=x2∙cosx

C.f(x)=COSΛ∙1Π^>∕X2+1-xjD./(x)=COSΛ∙1Π^>∕X2+1+xj

K答案DD

K解析D由图象可知：f(χ)图象关于原点对称，则f(χ)为奇函数，

(Ty∙cos(-x)=Vcosxy=f∙cosx为偶函数，排除B；

令Y∙sinx=(),解得：x=Aπ(⅛∈Z),贝IJy=X?∙sinx与X轴交点间距离相等，与图象不

符，排除A；

当XW(0,1)时，ln(√?+T-x)=ln-y==-<lnl=0,COSX>0,

COSΛ-∙IΠ^√X2+1-xj<0,即在X=O右侧y=cosx∙ln(Gn-X)函数值先为负数，与图

象不符，排除C.

故选：D.

9.如图，在边长为2的正方形ABa)中，E,F分别为8C,C。的中点，H为EF的中

点，沿AE,EF,£4将正方形折起，使8,C,。重合于点。，在构成的三棱锥

0-4E/中，下列结论错误的是（）

B.三棱锥O-AEF的体积为:

C.直线A”与平面EOf"所成角的正切值为2a

D.AEL平面OAH

K答案2D

K解析》翻折前，ABlBE,ADA.DF,故翻折后，OA±OE,OAVOF,

又OECOF=0,OE,OFu平面EOF,.∙.OA_L平面Eo尸，故A正确；

由题意可知，三棱锥的侧棱A0_L底面OEF,

则%”=匕”XlXIX2=；,故B正确；

连接。“，AH,则NoH4为A”与平面EoF所成的角，

OE=OF=I,H是Ef的中点，OELOF,

.-.OH=-EF=-.又。A=2,.∙tan∕0∕M=丝=2&,故C正确;

22OH

.OA_L平面EOF,EFU平面EOF,:.OA±EF,

又OHLEF,OACOH=0,04,0HU平面Q4”，；.£F1_平面。4”.

：AE与EF不平行，

「AE不可能与平面OAH垂直，故D错误.

故选：D.

10.已知数列｛an｝的前n项和组成的数列｛S,｝满足s∣=1,5=5,5,,+2-3Sntl+2S„=0,

则数列｛4｝的通项公式为（）

1,Z7=1

A.a,,=/B.a

n2π^l+2,n≥2

1,〃=1

C.aD.q,=2"

n2^,π>2

K答案UC

K解析W因为S=I,5,=5,

所以4=E=I,a2-S2-S1-4,故可排除A,D；

又因为，+2-357+25〃=0,

所以Sn+2—S,,+1=-S),

2(5B+∣n

即ant2=M"1,

a-,4

又因为一=：=4λ,

所以当n≥2时，数列｛4,,｝是首项为4,公比为2的等比数列,

所以勺=4χ2"-2=2",

1,/?=1

2",n≥2'

故选：C.

与g(x)=cos］X+OJ有相同的对称轴,

且f（x）在［0,5π］内恰有3个零点,则9的取值范围为（）

K答案XD

K解析W由题知,因为“X）与g（x）有相同对称轴,

所以O=L

2

即〃x)=2SinGX+"-I,。"/,

1「5兀

令t=3X+φwφ,~+φ,

5π

即y=2sinf-l在φ,-+φ上有3个零点,

TTSTT5π

因为o≤0≤],所以三≤三+e≤3兀

画出y=2sineT图象如下所示:

解得一f≤9<g,故O≤夕≤g;当∕≤e≤E时,y=2sin/—1在8,一+夕上有3个零点,

33662L2

只需等≤"+e43τt,解得弓≤e≤g,综上：O≤9≤J或m≤*≤g.故选:D

O232632

12.已知菱形A3。的边长为2,NBAD=60,将ABCD沿对角线3。翻折，使点C到点

P处，且二面角A-BD-P的平面角的余弦值为则此时三棱锥P-ABO的外接球的体

积与该三棱锥的体积比值为（）

A2>∕28-∖∕2πʃɔ.n,K

A.------nB.-------C.4TtD.6y]2τt

33

R答案HC

工解析2连接8DAC交于O,连接PO,易得。为B。与AC的中点,

四边形ABCD为菱形，.∙.AC∙L3D,即AOJ.BD,POLBD,

，二面角A-BO-P的平面角为NAOP,.∙.cosNAOP=-；

又AB=A£)=2,ZBAD=60,.∙.4O=Po=√5,BD=2；

在，AOP中，由余弦定理得：PA=y∣AO2+PO1-2AO∙POcosZAOP=2√2：

PD=AD=2,PB=AB=2,.∙.PD2+AD2≈PB2+AB2ɪPA2-

.•・皿加皿,.•・三棱锥P的夕卜接球球心为孙中点，半径为抑3

三棱锥P-ABD的外接球体积V=-π×(√2j,=也争

∙,∙AOlBD,PoLBD,AOPO=0,AO,POu平面AOP,二L平面AoP,

COSNAoP=-L0。<ZAOP<180o,.∙.SinNAoP=迪，

33

:.Sλ0i,=^AO-POsinZAOP=42,

■V=LS.BD=

,∙vP-ABD3°aopDU3

8√2π

..・三棱锥P-ABD的外接球的体积与该三棱锥的体积之比为--=-⅛=4π.

P-ABD2Λ∕2

3

故选：C.

第II卷

二、填空题

13.已知数列｛/｝是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果4=l,a,,=16,那么

n+d的最小值为.

K答案X9

K解析》由等差数列的通项公式/=4+("-l)d,得1+(〃-l)d=16,

(∕ι-l)J=15=15×l=5×3,

因为数列的各项均为正整数,

/7-1=1577-1=1H-1=5n-↑=3

所以d=l'或d=15，或d=3'或

d=5

72=16n=2n=677=4

所以d=l'或d=15'或d=3'或

d=5f

所以〃+d最小值为9.

故K答案H为：9

14.从长度为1,3,5,7,9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的

概率为.

K答案_》ʌ3

K解析W从5条线段中任取3条线段的基本事件有

{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9)},总数为10,能构

成三角形的情况有：(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),共3个基本事件，故概率为得.

3

故R答案H为：

15.在平面直角坐标系XOy中，圆(XT)?+(y-2)2=4上一点到直线小一到+2(〃一m)=0

的最大距离为.

K答案H3

K解析H圆(X-I)2+(y-2)2=4的圆心为(1,2),半径为2,

因为直线“Zt—孙+2(w—m)=0为∕n(x-2)+∕ι(2-y)=0,

所以直线，我-〃>+2(〃-加)=0恒过点(2,2),

若圆(X-I)2+(y-2>=4上一点到直线，噂-利+2(〃-加)=0的距离最大，

则圆心(1,2)与点(2,2)连线与直线尔-利+2(〃-咐=0垂直，

又圆心与(2,2)距离d="(1-2)2+(2-2)2=i,

所以最大距离为d+r=l+2=3,

故R答案11为：3.

16.己知函数f(x),g(x)的定义域为R,若对VXeR,I(X)+g(2-X)=5,

g(x)-∕(x-4)=7,g(2—x)=g(2+x)成立，且g(2)=4,贝IJ

/(1)+/(2)+/(3)++/(22)+/(23)=.

K答案》-25

K解析》因为“x)+g(2-x)=5①，且g(2-x)=g(2+x)②，

g(x)-∕(x-4)=7BPg(x+2)-∕(x-2)=7,结合②可得g(2—x)—/(x—2)=7③，①③相

减有/(X)+∕(X-2)=-2,故F(X+2)+"x)=-2④,Bp∕(x+2)=∕(x-2),故f(x)周期

为4.

在①中令X=0,有/(0)+g⑵=5,又g(2)=4,可得/(0)=1.

由④，令X=0,x=l⅛∕(0)+∕(2)=∕(l)+∕(3)=-2,结合/(x)周期为4,贝U

/(1)+/(2)+/(3)++∕(22)+∕(23)

=/(0)+/(1)+/(2)+/(3)++/(22)+/(23)T(O)

=6("0)+"l)+42)+∕(3))T(0)

=6x(T)-I=—25

故K答案H为：-25

三、解答题

17.(12分)如图，四边形ABCD是正方形，DE工平面ABe£>,AF//DE，

AD=DE=2AF=4.

(1)求证：AC_L平面8DE；

(2)求三棱锥3-OEF的体枳.

(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以ACIBO,

因为OE/平面ABC。，ACU平面ABC。，所以AC_L£)E,

又因为BDCDE=D，8。。EU平面BOE,所以ACj•平面BOE.

(2)解：因为DEI平面A8C3,ADU平面A8C3,所以DEIAD,

因为A尸〃DE,所以点R到Z)E的距离为4,SADEF=∕X4X4=8,

因为43_LAD,DEJ.AB,ADcDE=D,A。,DEu平面Af）E尸,

所以平面ADEF,

所以点B到平面DEF的距离为4,

所以k郎=丁18'4=方32.

JTTT

18.(12分)如图，在√1BC中，NACB=ZCAB=-,AC=2,点M在线段AB上.

6

(2)点N是线段CB上一点，MN=B且BM+8N=4+百，求证：5ΔS,WW=ɪSΔΛSC.

(1)解：在VOu7中，CoSNCM4=叵，.∙.sinZCAYA=—

66

»“AC∙sm;2×

由正弦定理.———=———,得CM=----------2_=—jτXr=6.

-⑶匕工SinNcAMsinZCMASinNCMAB

^6^

(2)证明：在一BWN中，MN=后,BM+BN=4+∙β

由余弦定理得：

MN2=BM2+BN2-2BM-BNcosZABC=（BM+BN）2-2BM-BN-（l+~）

即（近『=（4+√5）2-2BM∙BN{1+ɪjBMBN=4√3

又SBMN=L3M∙BNsin工=1χ4GXL=后,SABC=LX2x2月=2港

26222

•∙S4BMN=5SΔABC

19.（12分）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效

果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩

（百分制）的茎叶图如图所示.

甲乙

79

63868

6902

（1）若焉，G分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，S1p,舐分别为甲、乙两班抽取

的成绩的方差，则看，，S1JS：.（填“>”或“V”）

（2）若成绩在85分（含85分）以上为优秀,

（i）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率;

（ii）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙

班选取的学生成绩的概率.

77+78+83+86+96员」9+86+88+90+92=87,

解：（1）由茎叶图知，x==84,

φ5

甲

所以X＜Xz4;

5,∣,[(77-84尸+。8_84)2+(83-84)2+(86-84)2+(96-84)2]=46.8,

22

Sl=([(79-87)2+(86_87)2+(88_87)2+(90-87)+(92-87)]=20,

所以器＞发.

（2）（i）抽取的两名学生成绩分别为χ,y,把他们记为袖y）,

从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：

（77,78）,（77,83）,（77,86）,（77,96）,（78,83）,（78,86）,（78,96）,（83,86）,（83,96）,（86,96）,共10

个，

恰有1人成绩优秀的事件A有：（77,86）,（77,96）,（78,86）,（78,96）,（83,86）,（83,96）,共6个,

所以恰有1人成绩优秀的概率P（A）=，='

（ii）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为86,96,乙班成绩优秀学生有4

人,成绩分别为86,88,90,92,

从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号

内，不同结果有：

（86,86）,（86,88）,（86,90）,（86,92）,（96,86）,（96,88）,（96,90）,（96,92）,共8个,

甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件5有：

（86,86）,（96,86）,（96,88）,（96,90）,（96,92）,共5个，

所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率P（B）=J.

O

20.(12分)已知函数/(x)=∕nrT∏Λ∙T.

(1)讨论函数的单调性；

(2)函数g(x)=],若"x)>g(x)在(0,+功上恒成立，求实数〃?的取值范围.

解：(1)函数/(x)的定义域为(。,+8),r(χ)=w2-∕=gl,

①当加≤0时，f(x)<O,所以/(x)在上(0,+8)为单调递减函数,

②当初>o时，令r(x)<o解得o<x<L,令yχ4>0解得χ>L,

m''m

所以“X)在(Oq上为单调递减函数，在(2,+∞)为单调递增函数.

2

(2)由/(x)>g(x)得，IWC—∖nx—1>

InX+1X

・・"1〉---------1—,

Xev

IrLr+1X∖-Inx1-x

令F(X)=+/，F(6=Kh

X

当Xw(0,l)时产'(x)>0,x∈(l,-κχ))⅛,F(x)<0,

所以尸(力在(0,1)单调递增，在(L+∞)单调递减，

ΛF(XLX=F(1)=1+;

辽】

故机>1+—ɪ・

e

22

21.(12分)已知椭圆C:=r+二=l(o>b>O)的右顶点A(2,0),P为椭圆C上的动点，且

Crb"

点P不在X轴上，。是坐标原点，49尸面积的最大值为1.

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)过点”(7,0)的直线P”与椭圆C交于另一点。，直线ARAQ分别与y轴相交于点

E,F.当IEFl=2时，求直线PH的方程.

χ2V2

解：⑴椭圆Ur+4=l(α>b>0),A(2,0),.∖a=2,

a^b^

P为椭圆C上的动点，且点尸不在X轴上，O是坐标原点，过点尸作PKLX轴，垂足为

K,故AoP面积为SVMj=gx∣Q4∣x∣PKI=；x2x|PK|,

若要AoP面积最大，则需IPKI最长，此时点尸在y轴上，即IPKI=IOH时，使得AOP

面积最大，SVAOP=^×∖OA∖×∖PK∖^^×2×∖OP∖^1,.-.∖OP∖=1,

.∖b=∖,c=∖∣a2-b2=∖∣4-∖=ʌ/ɜ∙

.∙.椭圆C的方程为三+y2=ι,离心率为e=£=且.

4∙a2

(2)P为椭圆C上的动点，过点”(7,0)的直线P”与椭圆C交于另一点Q,

可记P(XQl),Q(X2,>2)，

当直线尸〃的斜率不存在时.，即P”,X轴时，∖P^<2b=2,此时直线AP,AQ分别与).

轴相交于点E,F.此时|政|<归a<2,不符合题意.

当直线尸”的斜率存在时，设直线PH的方程为：γ=Ar(x+D,(⅛≠0),

y=k(x+∖),

联立｛χ22_,消去y可得三+∕2(χ+l)2=l,化简得(l+4k2)χ2+8%2χ+4*-4=0,由

韦达定理可得

4⅛2-4

Mp16注一164,3,+1

2

(I+*l+4k-1+4Z

由P(XQJ,Q(x2,y2),A(2,0),则直线外的方程为：y=-¾(x-2),直线QA的方程

再一Z

为：y=f(x-2),因为直线AP,AQ分别与y轴相交于点EF,令x=0分别代入直线

X)-Z

州,直线QA可得：点E(0,二¾),小0,二组],

Ix∣-2j[X2-2)

λ∣ef∣=∣-¾--ʒl=21^4--ʒl

IX1—2x-y—2∣Ix∣-2七一2|

又P(国,M),。&2，必)在直线尸”方程y=M(χ+i),(AWo)上，所以有

yl=&(为+1),y2=>(X2+ɪ)，

3女阮一天)

分别代入但Fl并化简可得|即|=2y%

x∣~2X)—2x1x2-2(ɪ,+X2)+4

4y∣3k2+

x1x2-2(x1+/)+4

.」■口,∙∙∙2∣等卜2,则粤卜,解得八…±g

故直线产”的方程为：y=—^∙(x+l)或y=-近∙(x+l),

(二)选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系XQy中，直线/的参数方程为卜=8+0“C为参数).以坐标原点为极

y=∕sina

Q

点，X轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为"==一；,直线/与

5-3cos2<9

曲线C相交于A,2两点，Λ∕(√3,θ).

(I)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若4M=2M8,求直线/的斜率.

..2_8________________8_______________4

解：⑴，05-3COS265(cos°e+si∏2。)-3(CoS°”sin?6)cos26>+4sin2θ,则

p1Cos2。+4夕2sin20=4,

丫2

"+4y2=4,即二+y2=ι,

4

2

故曲线C的直角坐标方程为三+V=L

4

(2)将直线/的参数方程为卜=6+