2023年东莞东华某中学高二数学第二学期期末监测试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知展开式中常数项为1120,实数。是常数，则展开式中各项系数的和是

A.28B.38c.1或38D.1或28

-1,第〃次摸取红球

2.口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{4,}：见

1,第〃次摸取白球

如果S“为数列{4}前n项和，则S7=3的概率等于（）

3.曲线f（x）=e'sinx在点（0,/（0））处的切线斜率为（）

A.0C.1

2

4.下列函数中，既是奇函数又是（-11）上的增函数的是（）

A.y=2xB.y=tanxC.yD.y=cosx

5.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点,设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件8为“小

赵独自去一个景点”，则P(A|B)=()

21

A.-B.-

93

45

C.-D.一

99

6.已知函数/(x)=xlnx,则f(x)在x=e处的切线方程为()

A.x-y=0B.x-y-1=0c.2x-y-e=0D.(e+l)x-ey-e=0

7.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AUB,则集合中的元素共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

8.设/(力=心言，则/。+的定义域为().

A.(-4,0)U(0,4)

B.(-4,-1)U(1,4)

C.(-2,-1)U(1,2)

D.(-4,-2)U(2,4)

9.设广(X)是偶函数/(x)(xwo)的导函数，当X«O,+8)时,矿(x)-2〃x)>0,则不等式

4/(x+2019)-(x+2019)2/(-2)<0的解集为()

A.(-00,-2021)B.(-2021,-2019)U(-2019,-2017)

C.(-2021,-2017)D.(^o,-2019)U(-2019,-2017)

10.已知变量X,y,由它们的样本数据计算得到K?的观测值攵。4.328,K2的部分临界值表如下:

2

P(K>ka)0.100.050.0250.0100.005

&02.7063.8415.0246.6357.879

以下判断正确的是（）

A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量X,y有关系

B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量x,r没有关系

c.有97.5%的把握说变量X,y有关系

D.有97.5%的把握说变量x,y没有关系

11.i是虚数单位，若集合s={-1,0,1},则

2

A.ieSB.i2eSC./3GSD.-eS

i

12.定义在（0,+8）上的函数/（x）,若对于任意X都有“力+2/'（力＞一犷'（力且/⑴=0则不等式

犷（力+2/（力＞0的解集是（）

A.（0,1）B.（2,-K»）C.（1,2）D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如果不等式怎二7＞（。一1）%的解集为A,且Aq{x|（）＜x＜2},那么实数。的取值范围是一

14.正弦曲线.丫=$也》上一点P,正弦曲线以点P为切点的切线为直线/,则直线/的倾斜角的范围是.

15.若以连续两次掷骰子分别得到的点数机，”作为点尸的坐标，则点P落在由x+y=4和两坐标轴所围成的三角

形内部（不含边界）的概率为.

16.某人从A处向正东方向走x千米，然后向南偏西30。的方向走3千米，此时他离点A的距离为36千米，那么

x=千米.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）求下列函数的导数：

（1）/（%）=（1+sin%）（1-4x）；

（2）/（x）=S-2'.

18.（12分）已知二是复数，;•；:与三均为实数.

NT

（1）求复数二；

（2）复数一一.二在复平面上对应的点在第一象限，求实数一的取值范围.

19.（12分）随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，

促销费用也不断增加.下表是某购物网站2017年1-8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据.

月份111213141sI6I7|8]

I鲤..用工]2I3I6IinI1QI2]IteIio

I产品■出y[1[1]2|3|3.5|5|4|4.5

（1）根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立）'关于x的回归方程，=£x+。（系数精确到ooi）；

（2）已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z（单位：件）表示日销量，2e[1800,2000）,

则每位员工每日奖励100元；ze12000,2100）,则每位员工每日奖励150元；ze[2100,+oo）,则每位员工每日奖励

200元.现已知该网站6月份日销量二服从正态分布N（0.2,0.0001）,请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元.

（当月奖励金额总数精确到百分位）

88

参考数据：=338.5,WX=1308,其中毛，%分别为第i个月的促销费用和产品销量，i=1,2,3,8.

i=li=l

参考公式：

（1）对于一组数据a，X）,（X2,y2）,,（无“,〉”），其回归方程;=嬴+。的斜率和截距的最小二乘估计分别为

AZu,一师__

，a=y-bx*

⑵若随机变量二服从正态分布N(〃62),则P(〃—G〃+cr)=0.6827,P(〃-2。,〃+2b)=0.9545.

20.(12分)如图，在四棱锥产一ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，尸。_1_平面A8CZ),

NQ4D=NZ)AB=60°，£为A3的中点.

(1)证明：PELCD

(2)求二面角A—心一C的余弦值.

21.(12分)已知函数/(x)=Aln尤wR).

(I)当左=2时,求曲线y=“X)在点(1,/(1))处的切线方程;

(n)若/(x)存在两个极值点占，%2,证明:'"U)<k-2.

玉—x2

n

22.(10分)已知函数〃x)=log2m+----为奇函数，其中GR,〃2<0

x+l

(1)求，%〃的值;

(2)求使不等式/(x)i1成立的x的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

分析：由展开式通项公式根据常数项求得。，再令x=l可得各项系数和.

详解：展开式通项为8T令8一2r=0,则厂=4,...(一。)4《=1120,。=±2,

X

所以展开式中各项系数和为(1-a)S=1或38.

故选C.

n

点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为/(x)=a°+qx+%x2++anx,如求所有

项的系数和可令变量x=l,即系数为/(I),而奇数项的系数和为‘⑴:"T),偶数项系数为,⑴二八一0,还可

以通过赋值法证明一些组合恒等式.

2^B

【解析】

分析：由题意可得模球的次数为7次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，利用独立性事件的

概率乘法公式求解即可.

详解：由题意S7=3说明摸球七次，只有两次摸到红球，

因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是2,摸到白球的概率是！

33

21

所以只有两次摸到红球的概率是(§)21)5,故选B.

点睛：本题主要考查了独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中通过S;=3确定摸球次数，且只有两次摸到红球

是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

3、C

【解析】

分析：先求函数/(x)=e'siur的导数，因为函数图象在点(0,7(0))处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可

求出切线的斜率.

详解："'(%)=exsinx+excosx,/./'(0)=eQ(cosO+s%0)=L

...函数图象在点(oJ(o))处的切线的斜率为1.

故选：C.

点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题.

4、B

【解析】

分别画出各选项的函数图象，由图象即可判断.

【详解】

选项D为

由图象可知，选项B满足既是奇函数又是（-1,1）上的增函数，

故选:B

【点睛】

本题考查判断函数的单调性和奇偶性,考查基本初等函数的图象与性质.

5、A

【解析】

P（A忸）这是求小赵独自去一个景点的前提下，4个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，按照公式

「川8）=一号计算，即可得出结论•

【详解】

小赵独自去一个景点共有4x3x3x3=108种情况，即n（B）=108,4个人去的景点不同的情况有4：=4x3x2xl=24种,

即"(48)=24,

••代昨嚅噎2

9

故选：A

【点睛】

本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键.

6、C

【解析】

分析：求导得到/（x）在龙=e处的切线斜率，利用点斜式可得/（X）在x=e处的切线方程.

详解：已知函数=则/'(x)=l+ln%,则/'(e)=l+lne=2,即/(x)在尤=0处的切线斜率为2,又

/(e)=elne=e,则/(x)在x=e处的切线方程为y_e=2(x_e),即2x-y-e=0.

故选c.

点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题.

7、A

【解析】

试题分析：。=4。3={3,4,5,7,8,9},4<^8={4,7,9},所以&/(4<^3)={3,5,8},即集合Q(AcB)中共有3个

元素，故选A.

考点：集合的运算.

8、B

【解析】

试题分析：要使函数有意义，则考>0解得xe(-2,2),+有意义，须确保两个式子都要有意义，则

-2C<-X<2C

2

{=%£(—4,一1)0(1,4),故选瓦

-2<-<2

x

考点：1.函数的定义域；2.简单不等式的解法.

9、B

【解析】

设外同=萼，计算广(X)>0,变换得到户(％+2019)</(—2),根据函数网力的单调性和奇偶性得到

|x+2019|<2,解得答案.

【详解】

由题意#'(x)-2/(x)>0(x>。)，得尤2r(x)_24(x)>(),

进而得到力叫2")〉令%)\&!

x4v'X2

贝厅《)=立牛”3>0,*-2)=牛1，虫+2。19)=黑蒜).

/(x+2019)/(-2)

由”(尤+2()19)-(、+2。19)-/(-2)<(),得2(面

即F（x+2019）<F（—2）.

当X«0,+oo)时,尸'(x)>0,.•.歹(X)在(0,+8)上是增函数.

函数/(X)是偶函数，二厂(力=/学也是偶函数，且尸(X)在(T肛0)上是减函数，

.-.|x+2019|<2,解得一2021<x<-2017,又」X+2019H0,即x。—2019,

.-.XG(-2021,-2019)J(-2019,-2017).

故选：B.

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数/(x)=/号，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.

10、A

【解析】

分析：根据所给的观测值，对照临界值表中的数据，即可得出正确的结论.

详解：•.•观测值％之4.328>3.841,

而在观测值表中对应于3.841的是0.05,

.♦•在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量x,y有关系.

故选:A.

点睛：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题.

11、B

【解析】

2

试题分析：由产=一1可得，ieS，『=T《S，_=_2i史S.

i

考点：复数的计算，元素与集合的关系.

12、D

【解析】

令g(x)=V(x)+2/(x)，求导后根据题意知道g(x)在(0,+8)上单调递增，再求出g(l)=0,即可找到不等式

W(x)+2/(x)>0的解集。

【详解】

令gOOnM'GHz/G)

贝g'(x)=/(x)+V(x)+2/〈x)>0

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，又g(D=/(l)+2/(l)=0

所以8。)=¥(耳+2〃外>0的解集(1,+8)

故选D

【点睛】

本题考查利用导数解不等式，属于中档题。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13>[2,+oo)

【解析】

将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案.

【详解】

不等式>(。-1)口的解集为A,且A={x[0<x<2}

y=yl4x—x2=(x-2)2+y2=4(y>0)

y=(a—l)x

画出图像知：

a-1>l=>a>2

故答案为：[2,+oo)

【点睛】

本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键.

Fn乃]「3乃)

14、0,-U--,71

L4jL4)

【解析】

由y=sinx可得(sinx)'=cosx，直线/的斜率为攵=©05%6[—1,1],即攵=tanee[—1,1]可求出答案.

【详解】

由y=sinx可得(sinx)'=cosx>

切线为直线/的斜率为：k=cosxe[—1,1]

设直线/的倾斜角a,则％=tance[—1,1]且04a<〃.

「八万]「3万)

所以aw0,—u~^,冗

L4jL4)

故答案为：0,fu苧/]

【点睛】

本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围，属于中档题.

1

15、—

12

【解析】

由掷骰子的情况得到基本事件总数，并且求得点落在指定区域的事件数，利用古典概型求解.

【详解】

以连续两次掷骰子分别得到的点数相，”作为点P的坐标，共有36个点，

而点尸落在由x+y=4和两坐标轴所围成的三角形内部(不含边界)，有3个点：(1,1),(1,2),(2,1),

31

所以概率尸二丁二方.

3612

故得解.

【点睛】

本题考查古典概型，属于基础题.

16、6

【解析】

根据题意作出图形，用正弦定理解出角，可得刚好构成直角三角形，可得答案.

【详解】

根据题意作出图形，如图.

设向正东方向走x千米到处B,然后向南偏西30。的方向走3千米到C处.

即|BC|=3,|AC|=3后,ZABC=60°,

由正弦定理得：四=陷.

sinAsinZABC

a6

3x——

所以SC-sinZAfiC

sinA2

IM3G2

又|AC|>怛C|,所以NB4c<NABC=60。.

所以NB4C=30°,贝！JNBC4=9O°.

所以|AB『=|ACf+忸Cf=32+(3百丁=36.

则x=6.

故答案为：6

【点睛】

本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)/'(x)=-4+cosx-4sinx-4xcosx；(2)/'(*)=-----------21In2.

U+1)-

【解析】

(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导.

【详解】

(l)f'(x)=(l+sinx)'(l-4x)+(l+sinx)(l-4x)'=cosx(I-4x)-4(l+sinx)=cosx-4xcosx-4-4sinx.

X11

(2)f(x)=---2X=1--------2\则F(x)=-~-7-2xIn2.

x+1x+1(x+1)

【点睛】

本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.

18、(I)z=4-2i.(II)2<a<6

【解析】

第一问设_.eR

所以，:+1.-,-2.；

由条件得，,+2=Q且：+，=0

第二问4-.«u:::.=i

由条件得，P?+"_**>0

田汆忏伸.［戋0_2)>0

解：(1)设”=\♦>,

所以，z+2:=v*'r-2,：；.........1分

4分

I-2-1-3

由条件得，<+2=】且：，：：「=□,..........6分

所以：=4r=—2.........7分

(2)(1+寸=©—力+寸=(12+仙一吟+8(a-2)l-----------10分

由条件得:F钻滔。..............12分

解得2<c6所以，所求实数艮的取值范围是26>...........14分

19、(1)；=0.22x+0.59⑵3919.73

【解析】

试题分析：(D先求均值，再代入公式求，以及］,即得回归方程，(2)先根据正态分布计算各区间概率，再根据概

率乘以总数得频数，最后将频数与对应奖励相乘求和得结果.

试题解析：(1)由题可知元=11,9=3,

AV"x：y；-nxy八338.5-8x11x374.5

将数据代入b=念合一—得人=»0.219

1308-8x121340

a==3-0.219x11«0.59

所以y关于X的回归方程y=0.22X+0.59

(2)由题6月份日销量二服从正态分布N(0.2,0.(X)01),则

日销量在［1800,2000）的概率为&竽=0.47725,

日销量在［2000,2100）的概率为答2=0.34135,

7

日销量［2100,+0。）的概率为If=0.15865,

所以每位员工当月的奖励金额总数为

（100x0.47725+150x0.34135+200x0.15865）x30=3919.725«3919.73%.

20、（1）见解析；（2）-亚.

4

【解析】

（1）证明DE_LAAPD1AB,再证明AB_L平面POE,即可证明PELCD；

（2）以。为原点建立空间直角坐标系，再求平面APE以及平面PCE的法向量，再求两个平面法向量夹角的余弦值,

结合图像即可求得二面角A—PE—C的余弦值.

【详解】

（1）证明：连接BD.

因为四边形ABC。是菱形且NZM8=60°,E为A3的中点，所以。E_L43.

因为平面ABC。，所以尸D_LAB,

又DEcPD=D,所以AB，平面POE,

则

因为AB//CD,所以PE_LCD.

（2）以。为原点建立空间直角坐标系。一砂（其中。为AC与BO的交点），如图所示，则P（-1,0,26）,

A仅6,0）,E；，一半，。，C（0,V3,0）.

\/

设平面APE的法向量为〃=（X，X，zJ,

则APf=0，4E-“=0，

-玉++2^3Z1-0

即16八，

—X,+——y.=0

［2,21

令玉=百，得〃

设平面PCE的法向量为〃?=（%,%，22），

则PC•帆=0，CE・m=a，

x2+6y2-2gz2=0

即《13g

产一三丹=0

令々=3百，得，〃=(36,1,2上

,、n-m

^^cos(n,/n)=^=io_Vio

r75x732-4，

由图可知二面角A—PE—C为钝角,

故二面角A—PE—C的余弦值为-巫

4

【点睛】

本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想

象转化分析推理能力.

21、(I)切线方程为产0；(II)证明见解析

【解析】

(I)求出当A=2时的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线方程；

22Li

(ID由题意/(X)存在两个极值点网/2,求导令导函数得0可得事，々，将之代入口T转化成证明

%一工2

2111^+--^<0,再由函数的单调性即可证明.

不