2023-2024学年湖北省高二年级下册3月联考试题数学模拟试卷（含答案）

2023-2024学年湖北省高二下册3月联考试题数学模拟试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1,直线4x+2y-1=0与直线QX+4y=0垂直，则Q等于()

A.2B.-2C.1D.-1

2.在数列5｝中，即+1=檄;第2>1，若%=,，则。2023=()

ʌ-lB∙IC∙IDI

3.已知点4(2,-6,2)在平面Cr内，元=(3,1,2)是平面ɑ的一个法向量，则下列点P中，在平面ɑ

内的是()

A.P(L-Ll)B.P(l,3,∣)C.P(l,-3,∣)D.P(-l,-3,-∣)

4,已知正实数α,b,c,若书>等=a>e,则α,b,C的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC,b>c>aD,b>a>c

5,我国商用中大型无人机产业己进入发展快车道，某无人机生产公司2022年投入研发费用4

亿元，计划此后每年研发费用比上一年都增加2亿元，则该公司一年的研发费用首次达到22亿

元是在()

A.2029年B.2030年C.2031年D.2032年

∈)，'(X2)

6.已知/(x)=X—&~,X(0,+∞)>Vx1>尤26(°1+8,且Xl<刀2恒有"久"->0,

则实数ɑ的取值范围是.()

-12ɪ2

A.(_∞,e2]B.(-∞,e)C.(e5,+∞)D七,+8)

7.已知Sn为等比数列｛%｝的前n项和,。3与52分别为方程/+3X—4=0的两个根,则55=()

A.-11B.8C.15D.-15

8.希腊数学家帕普斯在他的著作儆学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，

并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做

圆锥曲线：当0<e<l时，轨迹为椭圆;当e=l时，轨迹为抛物线;当e>l时，轨迹为双曲

线.现有方程Tn(X2+y2+2y+l)=(2χ-y+3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为()

A.(0,8)B.(8,+∞)C.(0,5)D.(5,+∞)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知曲线C的方程为7⅛+Jr=i(keR),下列结论正确的是()

A.当k=6时，曲线C为圆

B.当k=O时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±√∑x

C.uk>4t,是“曲线C为焦点在X轴上的椭圆”的充要条件

D.存在实数k,使得曲线C为等轴双曲线

10.公差为d的等差数列｛%｝的前n项和为S”，若52023<$2021<52022,则下列选项正确的是

()

A.d<0B.册<0时，n的最小值为2022

C.Sri有最大值D.Sn>0时，H的最大值为4043

11.《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖腌”.如图，

底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PaC将一个“堑堵”截成两部分，其三棱

锥称为“鳖般”.在鳖席P-/lBC中，PA1AB,AB=2,其外接球的体积为竽，当此鳖麻的体

积了最大时，下列结论正确的是()

PK----------------------

X.PA=BC=B.K=y

C.点C到平面P4B的距离为4D.P-ABC内切球的半径为有1

12.已知函数f(x)=%。一3)2,若/(α)=f(b)=/(C),其中a>b>c,则()

A.1<c<2B.h+c>2

C.α+b+c=6D.abc的取值范围为(0,4)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.直线X-y+2t=0与曲线y-2x-e*相切，则t=.

14.已知两个等差数列｛aj和也｝的前n项和分别为4和%，且强=煞•，贝琮=

15.设％=8是函数/(x)=Cosx+√3sin%的一个极值点，则cos20-2sin2θ=.

16.已知双曲线=l(α>0,b>0)在一三象限的一条渐近线为1,圆M:(X-a/+y2=

8与1交于A,B两点，若△?!BM是等腰直角三角形，且丽=一5次(其中。为坐标原点)，则双

曲线C的离心率为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛%｝满足的=2,｛%+ι-%｝是以4为首项，2为公差的等差数列.

(1)求｛a,J的通项公式；

(2)若数歹式；｝的前n项和Sn,证明：∣≤Sn<l.

anN

18.(本小题12.0分)

已知点4(5,-3)和直线l-.2x-y-8=0,点B是点4关于直线I的对称点.

(1)求点B的坐标；

(2)0为坐标原点，且点P满足IPol=√5∣PB∣若点P的轨迹与直线X+y-m=0没有公共点，

求m的取值范围.

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC-4'B'C'中，AABC是边长为4的等边三角形，AA'=2,AB'=2√3>平面

4B8'4'JL平面ABC,E为线段48'的中点.

(1)求证：CE1AB';

(2)求直线CE与平面AA1CC所成角的正弦值.

20.(本小题12.0分)

抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形’对于抛物线Gy=

2ad给出如下三个条件：

①焦点为F(OA);②准线为'=-1；③与直线4y-l=0相交所得弦长为1.

(I)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程;

(11)已知4ABQ是(1)中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条

切线的交点，若直线AB经过点(0,3),试判断点Q是否在一条定直线上?如果是，求出定直线方

程;如果不是，请说明理由.

21.(本小题12.0分)

已知正项数列｛αtl｝的前n项和为Szr若即=1,∣αn=yfs^l+JSn-I(TI≥2且n∈N*).

(1)求证：数列｛店｝为等差数列，并求数列｛斯｝的通项公式；

n

(2)若勾=2-an,求｛bn｝前n项和7".

22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=(x2—2x)lnx+(a—ɪ)ɪ2+2(1—a)x,a>0.

(1)讨论/^(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的范围.

答案和解析

L【正确答案】B

【分析】

本题考查平面内两直线垂直，考查推理能力和计算能力，属于基础题.

利用平面内两直线垂直，得αX4+2X4=(),解之即可.

解：因为直线4x+2y-I=O与直线αx+4y=O垂直，

所以αX4+2X4=0,

解得α=-2.

故选8.

2.【正确答案】D

【分析】

本题主要考察数列的周期性，属于基础题.

解：α=I<1»α=2α=g<1,∙,.α=^∙a2=∣>1>∙'∙≈4=^∙a3—3=ɪ<1,α=2a4=ɔ

1ɔ21ɔ3ɔɔ5ɔ

…，

可以看出四个循环一次，故。2023=α4×505+3=α3=ξ∙

3.【正确答案】A

【分析】

本题考查平面的法向量，属于基础题.

解：对于选项4ΛP=(-1,5,-1)，

所以9•元=-1x3+5Xl-IX2=0，

故P(l,-1,1)在平面ɑ内.

4.【正确答案】B

【分析】

本题主要考查了对数函数及其性质和利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

利用对数函数的图象得b>l>c>0,令f(x)=等，利用导数研究函数的单调性和对数函数的性质

得函数f(x)图象，再利用图象得l<b<e<α或e≤b<α,最后综合得结论.

解：因为α>e,所以见卫>0，而见g=工'工>0且c>0，因此0<c<l,

aaccc

又因为学>皿>0,所以b>l,因此b>l>c>O,

ha

令/(X)=竽则/(X)=手，

因此由∕,(x)>0得OVXVe,由∕,(x)VO得%>e,

所以函数/(乃在(0,e)上单调递增，在［%+8)上单调递减，且当时，/(%)>0,

因为与>9>0,所以f(b)>∕(α),而α>e,

所以结合函数/(x)单调性知：l<b<e<α或e≤6<α,综上所述α>b>c,

故选：B.

5.【正确答案】C

【分析】

本题主要考察等差数列的实际应用，考察等差数列的通项公式，属于基础题.

解：

依题意，该公司每年研发费用依次成等差数列，设为｛%｝，

可得%=4,公差d=2,

则该公司第n年的研发费用为a”=aɪ+(n-l)d=2n+2,

令2n+2≥22,

则n≥10,

所以从2022年开始第10年，即2031年的费用首次达到22亿元.

6.【正确答案】D

【分析】

本题考查利用导数由函数单调性求参，属于中档题.

解：由题意知VX1，无2€(。，+8),且XlCX2,恒有Xlf(Xl)>亚/(%2)，

则y=χ∕(χ)在(0,+8)上单调递减，

设g(x)—Xf(X)—x(x—芋)=X2—aex,

则g'(x)=2x-ae*≤0,f亘成立，则a》,，

令O=奈则t'(χ)=等2

当％∈(0,1)时t7(%)>0;当%∈(1,+8)时，t,(χ)<0,

故t(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

7O

故tQ)max=MD=所以a≥7

7.【正确答案】A

【分析】

本题考查等比数列的求和与通项公式，属于基础题.

利用已知条件，求出炉+3%-4=0的两个根分别是1和-4,分类讨论t⅛和S2的值，利用等比数

列的求和和通项公式建立q和即的方程，解出方程，即可求解.

解：方程/+3x—4=0的两个根为1和—4,

由题意可得di或傕蠢4'

43=1,

当时,箕=L，-、4无解•

$2=一4,a1÷α2=Ql(I+q)=-4,

发厂时，[aq2=-4,

当1

lɑɪ+与=Ql(I+q)=L

ɑl=_1,

解得

q=-2,

所以S,,=匚铲,

故S5=≡⅛K=-IL

8.【正确答案】C

【分析】

本题考查圆锥曲线的定义，属于较难题.

将式子变形，根据题目意思即可求解.

解：方程m(%2+y2+2y+1)=(2x—y+3)2,m>0,

即为m[x2+(y+I)2]=(2%-y+3)2,

可得诉i・JX2+(y+1)2=12%—y+31，

则J"+。+'√5

人J∣2x-y+3∣-标，

√5

可得动点Pay)到定点(0,-1)和定直线2x-y+3=0的距离的比为常数篇,

由双曲线的定义，可得当>1,

√7∏

解得0<m<5.

9.【正确答案】AB

【分析】

本题考查圆、椭圆、双曲线的方程及简单的几何性质，属于中档题.

解：曲线C的方程为工+共=l(∕cCR)

当k=6时，方程为/+y2=2,曲线C为圆，所以/正确；

当k=O时，曲线C为9―5=1,是双曲线，其渐近线方程为y=±缶，所以B正确；

“6<k<8”是“曲线C为焦点在X轴上的椭圆”的充要条件，

所以“k>4'是”曲线C为焦点在X轴上的椭圆”的必要而不充分条件，所以C不正确；

若曲线C为等轴双曲线，贝∣J(k-4)(8-k)<0jgk-4+8-k=0,无解，所以。不正确.

10.【正确答案】ACD

【分析】

本题主要考查等差数列的前Tl项和，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

根据等差数列的单调性以及前几项和的函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

解：对于A:由$2023VS202iV52()22可得a2023+a2022V。，。2023<。。2022>故等差数列｛册｝的公

差d=«2023-a2022V°，故力正确；

对于B:由A得，数列为单调递减数列，且。2023<0"2022>0,故斯VO时，几的最小值为2023,

故3错误；

对C：由4得，d<0,故Sn=BJI2+(%-9)n是关于n的开口向下的二次函数，其有最大值，没有

最小值，故C正确；

αι+4044

对于D：因为数列｛%｝的前2022项均为正数，且S.=4044(°)=2022(a1+a4044)=

a

2022(a2022+2023)<θ,

S4043=4043('+24043)=4043。2022>°，

Sfl>0时，n的最大值为4043,故。正确；

故选：ACD.

IL【正确答案】ACD

【分析】

本题考查空间几何体的基本知识，处理球的外接和内切的知识求法，考察等体积法的使用，属于较难

题.

解：由题可知，PC的中点即为P—ABC的外接球的球心,

设外接球的半径为R,则以R3=当Ξ,得R=3,

PA2+AB2+BC2=PC2=4R2,所以PA=32,

鳖膈P-ABC的体积VP-zIBC=∖×^AB-BC-PA=^-(2BC-PA)

1,,16

≤N∙(BC2+PA2)=-ɔ-

Oɔ

当且仅当BC=P4=4时，

(VPTBC)max=冬故”项正确，B项错误;

因为三棱柱为直三棱柱，故8C1平面P4B,

所以点C到平面P4B的距离为IBCl=4,故C项正确；

设P-ABC的内切球半径为r,由等体积法

1111116

VP-ABC=9X(5力BBC+AB∙PA+~^AC∙PA+5PB∙BC)∙r=-ɔ-

■3乙乙乙乙ɔ

，得(16+16㈢)∙r=32，

所以r=盖T=与i,故。项正确.

12.【正确答案】BCD

【分析】

本题考查利用导数求函数单调区间，及利用导数研究方程的根问题，属于较难题.

解：因为f(x)=x(x-3)2,所以1(X)=3∕-12X+9=3(X-3)(X-1),

令f'(x)=O,解得：X=I或X=3,

当/(x)>0时，X>3或X<1,所以/(x)单调递增区间为(一8,1)

和(3,+8)；

当∕,(x)<0时，1<x<3,所以f(x)单调递减区间为(1,3),

/(X)的图象如右图所示

设f(Q)=f(b)=/(C)=t,则OVtV4,0<c<l<6<3<α<4,故选项A错误;

又/(ɪ)-t=(%—α)(x—b)(%一c),所以x(x-3)2-t=(%-α)(x-6)(x-c),

即％3—6X2+9%—t=%3—(α+b+c)x2+(αZ?+αc÷be):X—abc,

对照系数得α+b+c=6,故选项C正确；

abc=t∈(0,4),故选项D正确；

因为3<α<4,所以3V6-(b+c)V4,解得2vb+cV3,故选项8正确.

13.【正确答案】一:

【分析】

本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.

设切点为(均,yo)，列式求解即可.

解：不妨设切点为(XO,y°),

则曲线y=2x—e*中，则y'=2—ex,

ly0=x0+2tCt=-|

则应有2—1。=1,解得，Xo=O,

x

.yo=2x0-e°Qo__1

故答案为-ɪ.

14.【正确答案】⅛

O

【分析】

本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，属于中档题.

解：两个等差数列｛31｝和｛br,｝的前n项和分别为4n和∣Bn,

H—=2二一1

口第―n+3'

。92劭Ql+@17

加2仇历+如

17

-ɪ(ɑl+。17)/17

15^Ξ瓦I

^2^(^1+匕15)

2×17_1_33_11

15+3=18=^6^

15.【正确答案】一2

【分析】

本题考查函数的极值点，及正余弦齐次式的计算，属于中档题.

解：由题知∕z(x)=-sinx+√3cosx

・・•X=8是函数f(χ)=cos%+√3sinx的一个极值点,

・•・/'(8)=-Sine+√3cos0=。,即SinJ=√3cosθ,

cos20-3sin2Θ_-8COS20

故cos2θ—2sin20

sin20+cos204COS20

16.【正确答案】苧

【分析】

本题考查双曲线的性质，考查共线向量基本定理的应用，考查数形结合的解题思想方法及运算求解能

力，是中档题.

求出双曲线的一条渐近线方程，圆M的圆心和半径,设。A=t,由已知向量等式可得OB=St,AB=4t,

得到t=l,过M作MDJ.4B,且。为48的中点，运用直角三角形的勾股定理和点到直线的距离公

式解得α,b,c,再由离心率公式求解.

解：双曲线C：圣一苴=19>06>0)的一条渐近线，的方程为丫="，

圆M：(X-α)2+y2=8的圆心为M(α,0),半径为r=2√Σ,

由△力8M为等腰直角三角形，可得AB=√Σr=4,

设。力=3由旗=59，可得。8=5t,AB=43

由4t=4,得t=1,

过M作MD∙LZB,且。为AB的中点，On=3,AB=4,AD=2,

则M到直线I的距离为MD=7=鼻，

√az+oz

在直角三角形OMO中，MD2=OM2-OD2,

在直角三角形AMD中，MD2=AM2-AD2,

即有a2—9=8—4,解得a=V13>

即MD=2=1之，解得b=%,

√αz+∂z3

17.【正确答案】解：(1)由题意得%+ι-αn=4+2(九-1)=2九+2,an-an.1=2n,

an=(αn-ɑn-l)+(αn-l一Qn-2)+…+(α2-αl)+aI

当九≥2时，=2π+(2n-2)+∙∙∙+6+4+2

=24-------------2-----------=nz+n

当几=1时，也符合上式，

2

故Q71=n÷n.

1111

(2)证明：因为Z=熊两=:前

所以Sn=(IT)+(>[)+…+(A⅛∙)=l-⅛∙

又∙∙∙Sn在N*上递增，且0＜击≤g

1

∙*∙ɪ≤SπV1•

本题主要考察等差数列的通项公式，考察数列与不等式，考察累加法和裂项相消法求和，属于中档题.

18.【正确答案】解：(1)设点B(α,b),由题意知线段ZB的中点M(等,殍)在直线/上，

故：2x竽-殍-8=0,①

又••・直线4B垂直于直线I,故线=-；，②

联立①②式解得：(ɑɪ1.,故点B的坐标为(1,—1);

I。—一JL

(2)设点P(Xy),由题IPOl=百∣PB∣,则IPOI2=3|PB/，故好+y2=3[Q一i)2+⑶+1)2卜

化简得(％—∙∣)24-(y+|)2=|,

又••・直线与圆没有公共点，⅜⅛⅛＞史,

√2√2

解得∏l∈(—∞,—V3)U(V3,+8).

本题考查点关于直线的对称问题，求与圆相关的轨迹问题，已知直线与圆的位置关系求参，属于中档

题.

19.【正确答案】解：（1）证明：取力B中点。，连接DC,DE,

CA—CBʌCD1AB

又•••平面ABC1平面ABB'A',平面ABCn平面ABB'A'=AB,

：.CD1平面ABB'A'

.∙.CD148'即AB'1CD

XvAB'2+BB'2=AB2.∙.AB'1BB',AB'1ED

而CDnED=OAB'1平面CDE,

.∙.AB'1CE即CE1AB'

Z

(2)作B'M1AB于点M,MN//CD,建立如图所示的空间直角坐标系,

则力(3,0,0),C(l,2√3,0),B,(0,0,√3),F(∣,0,y)

.∙.~AA'=^BB'=(l,0,√3)>^AC={-2,2√3,0),CF=(j,-2√3,y)

令平面AA'C'C的法向量为乃=(x,y,z)

n∙AA=x+√3z=0.

-√3,-1,1)

五∙AC=-2x+2y∕3y=0

-f+2√3+f_√195

ʌcos<CE,2

H>=-√13∙√5—―65

・•・直线CE与平面AA'C'C所成角的正弦值为醇1

本题考查线面垂直的性质和线面角的大小，是中档题.

20.【正确答案】解：(I)y=2M即为F=/,,

若选①，ɪ=ɪα=ɪ二抛物线方程为χ2=y,

选(2)③同样得抛物线方程为χ2=A

(Il)令A(Xl,y。，8。2，丫2)，Q(XO，y。)，则yi=*，y2=%

"∙"y'—2x∙"∙ICAQ~2X],kgQ—2x2

ʌIAQ-V-VI=2xi(x-Xl)即为2x1x-y-y1=O

又Q(Xo,%)eIAQ2&与一y()-yι=0即2X(1Xι-yι-yt)=0

同理，2&X2一-y。=0

∙∙∙IAB-2X0X-y-yo=°

而，4B过点(0,3)∙,∙0—3—y□—0即y()=—3

•••点Q在直线y=-3上

本题考查直线与抛物线的位置关系，牢记抛物线的切线方程是解题的突破口，考查学生逻辑推理能力

和运算能力，属于中档题.

21.【正确答案】（1）证明：由题意得：当n≥2时,

2期=2(S"-SnT)=2_ʌ/SnT)(^y⅛÷V,^n-1)=+JSn_1

∙・,αn>O・•.Sn>O

因为病=1,所以数列A，是以1为首项，以2为公差的等差数列,

2

则=1+(n—1)×2=2n-1ΛSn=(2n—I)，

22

当九≥2时，an=Sn-SzlT=(2n-I)-(2n-3)=8n-8,

由于的=1不适合上式,

故册=-8In>2'

IoTl-OtTl≤Z

电=

(2n≥2

所以71=2,

56π+3

当兀≥2时，Tn=2+[1×2+2×2+-+(n-l)2],

令4=l×25+2×26+……+(n-l)2n+3