理论力学 第一章 质点力学

理论力学多媒体课件西南大学物理科学与技术学院基础物理教研室主讲：贾伟尧新浪微博：@贾湖居士第1章质点力学第1章质点力学§1.1

运动的描述方法

§1.2

速度、加速度的分量表示式

§1.3

平动参照系

§1.4

质点运动定律

§1.5

质点运动微分方程

§1.6

非惯性系动力学（一）

§1.7

功与能

§1.8

质点动力学的基本定律与基本守恒律

§1.9

有心力

本章主要学习内容第1章质点力学本章作业作业：7、9自学习题：311182233第1章质点力学运动学(kinematics)动力学(dynamics)静力学(statics)只描述物体的运动，不涉及引起运动和改变运动的原因。研究运动与相互作用之间的关系。研究物体在相互作用下的平衡问题。牛顿力学只涉及弱引力场中物体的低速运动

是整个物理学的基础

广泛应用于工程技术第1章质点力学补充内容矢量（vector）及其运算：1、加法：平行四边形法则交换律结合律2、数乘：矢量乘标量结果仍为矢量结合律分配律矢量：有大小、方向，并有下述运算规则第1章质点力学补充内容交换律分配律3、标量积：4、矢量积：AB

不交换！AB

【思考】下列运算“合法”吗？一个要用到的公式：（验证上式的分量式成立即可）第1章质点力学补充内容具有一定质量的几何点。可以在空间自由移动的质点。确定它在空间的位置需要三个独立变量。第1章质点力学§1.1运动的描述方法一、参照系与坐标系质点自由质点参照系坐标系为描述物体的运动而选取的参考物体。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。常用的有直角坐标系、柱（面）坐标系、球（面）坐标系、自然坐标系。在平面问题中，一般用平面极坐标系或自然坐标系。

位置矢量（位矢）:从坐标原点o出发，指向质点所在位置P的一有向线段。

二、运动方程与轨道第1章质点力学§1.1运动的描述方法位矢用坐标值表示为：位矢的大小为：位矢的方向（方向余弦）：第1章质点力学§1.1运动的描述方法运动方程

参数形式轨道方程

第1章质点力学§1.1运动的描述方法三、位移、速度和加速度第1章质点力学§1.1运动的描述方法质点相对某参照系的位置，可由位矢r确定;位移速度加速度OPP´向量端图1)参照系，坐标系（立场和方法）2)已知r=r(t),求v,a3)已知a,v,求运动r=r(t)小结第1章质点力学§1.1运动的描述方法运动描述法的应用——例题1hPθCAB绳的一端连在小车的A点上，另一端跨过B点绕在鼓轮C上，滑车离地的高度为h。若小车以匀速度v沿着水平方向向右运动，求当时B、C之间绳上一点P的速度和加速度。例题1对时间求导几何关系：hPθCABl运动描述法的应用——例题1——解由求导可得：速度的分量表示：速率的分量表示：第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式一、直角坐标系加速度的分量表示：加速率的分量表示：第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式例2设梯子的两个端点A和B分别沿着墙和地面滑动，它和地面夹角是时间的已知函数，求梯子上M点的运动轨迹、速度和加速度。直角坐标系的应用——例题2AMabB解：取如图所示的直角坐标系，则M点的坐标为由此得M点的轨迹方程为yOABMaxb直角坐标系的应用——例题2——解M点的速度为M点的加速度为yOABMaxb直角坐标系的应用——例题2——解四分之一圆（1）当a=b=l

时，M点的运动轨迹：yOABMa=lxb=l例题2——解——讨论（1）M点的速度垂直于其矢径！（2）当a=b=l

时，M点的速度：yOABMlxl例题2——解——讨论（2）yOABMlxla指向O点—匀速圆周运动（a与r方向相反）（3）当a=b=l

、且时，M点的加速度：例题2——解——讨论（3）

vjiprocθ2.平面极坐标系在平面极坐标系中，我们必须把速度分解为沿位矢r及垂直位矢r（θ增加的方向）的两个分量i及j。式中i为沿位矢的单位矢量，j为垂直位矢的单位矢量。注意：由于位矢随着时间变化，沿位矢r的i及垂直位矢r的j的方向也随着时间变化，即i和j都是时间的函数。上式右边第一项的方向和位矢r一致，它表示位矢量值的变化，第二项是什么物理意义呢？我们先求出2.22.3在极限情况下，（与j的方向一致）（沿i的负方向）这个关系我们必须掌握2.平面极坐标系2.4把式2.4代入2.3式，得速度2.平面极坐标系——速度径向速度分量横向速度分量2.52.6加速度2.7类比圆周运动2.平面极坐标系——加速度2.82.9矢量的变化为矢量大小的变化及矢量方向的变化二者产生效果的叠加！径向加速度横向加速度2.平面极坐标系——例题1.思考题1.2（P99）

:速度径向分量，称为径向速度，是位矢量值变化产生的。

:速度横向分量，称为横向速度，是矢位矢方向变化产生的。：加速度径向分量，称为径向加速度。前一部分是径向速度量值变化产生的；后一部分是横向速度方向变化产生的。：加速度横向分量，称为横向加速度；是横向速度量值变化产生的，是径向速度方向变化产生的。第1章质点力学平面极坐标系——例题例3.已知一质点的运动方程为:求解：第1章质点力学推广到柱坐标:第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式注意：r为P点在xy平面上的垂足M点的位矢，而P点的位矢为R空间曲线问题有时还要采用球面坐标系，我们将在第五章分析力学中，学习拉格朗日方程后再学习。第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式三、自然坐标中的速度和加速度如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。运动方程:2.10把轨道的切线和法线作为坐标系，称为自然坐标系。速度v沿轨道切线方向，但加速度a却并不沿轨道切线方向，可以把加速度进行如下的自然坐标系上的分解：将加速度分解为轨道切向及法向两分量（法向指向曲线凹侧）。第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式三、自然坐标中的速度和加速度自然坐标系自然坐标系动轨迹平面运质点的（+）路程s（-）T切向N法向t切向单位矢量n法向单位矢量M时刻位置t0M初始位置质点的运动学方程st()s，速率vdsdt这时仍有如下关系第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式速度在切向的投影加速度：第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式因（为曲率半径）（内禀方程）（之所以称为内禀方程是因为从此式可看出加速度的这种分解法完全取决于轨道本身的形状，而与所选用的坐标系无关）第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式描述速度大小随时间的变化率描述速度方向随时间的变化率全加速度：全加速度的大小：全加速度的方向第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式密切面曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做该点的密切面。在密切面内，

与同向，故

在密切面内，所以

在密切面内。第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式在密切面内并和切线垂直的过切点的法向矢量叫主法线，单位矢量为或。定义:

垂直于密切面,称为副发线方向单位矢，(

,

,

)构成空间正交自然坐标系。其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关（内禀方程）。第1章质点力学§1.2速度、加速度的分量表示式自然坐标轴的几何性质例1:单摆的运动规律为，ω为常数，OA=l。求摆锤A的速度v和加速度a。解：以O1点为原点建立弧坐标s。A点弧坐标形式的运动方程为4.自然坐标描述法——例1解:建立弧坐标,自然坐标系4.自然坐标描述法——例2例2.

质点由y2=2px的正焦弦(p/2,p)以u出发,求到达正焦弦的另一端时的速率.已知：（P102-1.10）（已知条件）例3：设有一点M的轨迹是平面曲线，M点的向径为r，速度为v。直线OA垂直于过M点的切线，并且与切线交于A点。试求A点的速率。4内禀方程的应用——例3（求解约束问题）4.内禀方程的应用——例3——解AM之间的距离用l表示量值上相等！4.内禀方程的应用——例4（P13）例4.已知质点沿螺旋线运动,解：思考题1.3（P75）1.3在内禀方程中，an是怎样产生的？在空间曲线中，为什么an总是沿主法线方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度ab=0,而作用力在副法线方向的分量Fb一般不等于0，这是否违背了牛顿运动定律？提示：在密切面内并和切线垂直的过切点的法向矢量叫主法线思考题1.3提示内禀方程中，an是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度v总是沿轨迹的切线方向，而an垂直于v指向曲线凹陷一方，故an总是沿主法线方向。质点沿空间曲线运动时，ab=0,Fb≠0与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力F，还受到被动的约反作用力R，二者在副法线方向的分量成平衡力Fb+Rb=0，故ab=0符合牛顿运动定律。有人会问：约束反作用力靠谁施加?当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若Fb与Rb大小不等，ab就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来ab所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足Fb+Rb=0，即ab=0。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向随质点的运动而变。

思考题1.4（P75）1.4在怎样的运动中只有a切而无a法？在怎样的运动中又只有a法而无a切？在怎样的运动中既有a切又有a法？答案：直线运动；匀速曲线运动；变速运动思考题1.5（P75）试就直线运动和曲线运动分别加以讨论。设静止参照系为S，相对S作平动的运动参照系为S′。因故即绝对速度=牵连速度+相对速度第1章质点力学§1.3平动参照系一、绝对速度、相对速度与牵连速度特别地，当参照系S′相对于S作匀速直线运动时设参照系S′相对于S作加速直线运动。因

，

故

即

绝对加速度=连加速度+相对加速度

二、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度第1章质点力学§1.3平动参照系例1某人以每小时4千米的速率向东方前进时，感觉风从正北吹来；如将速率增大一倍，则感觉风从东北方向吹来，求风速和风向。yxv’jiv4iv”vjiyx解:平动参照系——例1（P15)例2：小船M，水速C1，沿河宽不变。拉绳速度C2。求小船的轨迹。MrA解:用极坐标系平动参照系——例2（P16）两式相除得（径向绝对速度）（横向绝对速度）（1）（2）（3）积分得其中由初始条件（7）（6）（5）（4）即（8）代入（5）式得代入（5）式得平动参照系——例2（P16）平动参照系——例3（P78习题1.13）例3：假定一飞机从A处向东飞到B处，而后又从B处飞到A处，飞机相对于地的速度为v，而空气相对于地面的速度为v0，AB之间的距离为l0，飞机相对于空气的速率v’保持不变，则：（1）假定v0=0，试证明来回飞行总时间为（2）假定空气速度为东西方向，试证明来回飞行总时间为（3）假定空气速度为南北方向，试证明来回飞行总时间为平动参照系——例3（解）（1）当v0=0，v=v’时，t0=2l/v=2l/v’（2）当v0为东西方向时，v0

与v’共线，则解：平动参照系——例3（解）（3）当v0为南北方向时，v0

与v’正交，则第1章质点力学§1.4质点运动定律知识回顾：◆运动学是研究物体运动的几何性质，即物体的位置在空间随时间而变化的规律，运动本身是客观存在的，是绝对的，但描述运动却是相对于一定的参考系来进行的，是相对的，这就是运动的绝对性与描述运动的相对性。◆运动学研究的问题是有三个：速度和加速度、运动规律和运动轨迹。研究的方法有：矢量法和坐标法。质点运动学◆质点运动学只涉及到质点运动的表面现象，而质点动力学则要涉及到质点运动的内在规律。质点动力学主要内容包括三个基本定律和三个基本定理两大部分：三个基本定律：◆牛顿第一定律◆牛顿第二定律◆牛顿第三定律三个基本定理：◆动量定理及动量守恒律◆动量矩定理及动量矩守恒律◆动能定理及机械能守恒律三定律三定理质点动力学第一定律

若物体（质点）无外界作用，则它保持静止或匀速直线运动状态。（也即，无外作用时，质点速度保持不变）第二定律

若物体（质点）受到外力作用，则它所获得的加速度与外力成正比，与其质量成反比，加速度方向与外力方向一致。即第1章质点力学§1.4质点运动定律一、牛顿运动定律惯性：物体保持其运动状态不变的性质。1牛顿第一定律2牛顿第二定律注意:质点惯性系瞬时性矢量性3牛顿第三定律注意:二力分别作用于两个物体上，属同一性质的力第1章质点力学§1.4质点运动定律理解第1章质点力学§1.4质点运动定律二、伽利略相对性原理惯性参照系牛顿定律成立的参照系。否则称非惯性参照系。第1章质点力学§1.4质点运动定律1、FK4系：以1535颗恒星平均静止位形作为基准—目前最好。2、太阳系：太阳中心为原点，坐标轴指向恒星—绕银河中心的向心加速度～1.8

10-10m/s23、地心系：地心为原点，坐标轴指向恒星—绕太阳的向心加速度～6

10-3m/s2（g的10－3）4、地面系（实验室系）：坐标轴固定在地面上—赤道处自转向心加速度～3.4

10-2m/s2实用的惯性系

或者说：相对某惯性系作匀速直线运动的参考系，其内部发生的力学过程，不受系统整体的匀速直线运动的影响。上述结论，是伽利略在1632年，通过分析一个匀速直线运动的封闭船舱里发生的力学现象而总结出的，它也称作力学相对性原理，或伽利略相对性原理。对于描述力学规律来说，所有的惯性参考系都是等效的。（这里规律即指牛顿定律。该原理也即在所有惯性系中力学运动方程形式不变）伽利略相对性原理第1章质点力学§1.4质点运动定律伽利略相对性原理的数学表述：质量和运动速度无关，力只与物体相对位置或相对运动有关，质量和力都与参考系无关

对于不同的惯性系，力学的基本规律—牛顿方程的形式相同。或者说：牛顿方程具有伽利略变换协变对称性。

因此第1章质点力学§1.4质点运动定律伽利略相对性原理的重要性在于:（1）该原理指明了所有惯性系彼此等价，惯性系没有优劣之分。（2）该原理为不同时间、不同地点做重复性实验探讨物理规律提供了理论根据。（3）该原理可以使研究不同惯性系中的物体运动规律得以简化。例如：设S’系相对S系作惯性运动，已知S系中质点动能为，由于该原理，立即可以得到S’系中质点的动能为。第1章质点力学§1.4质点运动定律对于相对作匀速直线运动的惯性系之间，定义伽利略变换为那么，加速度对伽利略变换是不变的：从而牛顿定律对伽利略变换是不变的,指形式不变：第1章质点力学§1.4质点运动定律69约束：对质点系运动预加的强制性限制，其数学表达式为可简记为约束的形式和机理是千差万别的由刚性杆连接的两个质点：刚性约束圆盘在粗糙平面上纯滚动：摩擦约束导弹运动方向瞄准目标：控制约束三、约束70如约束表达式为等式，则称为双面约束或等式约束，约束表达式又称约束方程；否则称为单面约束或不等式约束。单面约束和双面约束刚性杆柔索对于单面约束，质点的运动可以分阶段考虑（无约束阶段和双面约束阶段）。71如约束表达式中不包含速度，则称其为几何约束；否则称为微分约束。几何约束和微分约束A72完整约束和非完整约束几何约束和可以积分成为几何约束的微分约束，称为完整约束，不可积的微分约束称为非完整约束。AMT73如约束表达式中不显含时间t，则称其为定常约束；否则称为非定常约束。定常约束和非定常约束74几种约束757677787980设一个质点被限制在某个平面内运动。若取z轴垂直于该平面，则约束方程为z=const例1这是定常、双面、几何约束。第1章质点力学§1.4质点运动定律81设质点被限制在某个球心位于坐标原点的球面上运动，球半径随时间变化。约束是非定常、双面、几何约束。例2第1章质点力学§1.4质点运动定律82设两个质点用长为l

的绳相连。则约束是单面、定常、几何约束。例3第1章质点力学§1.4质点运动定律83

1、在牛顿第二定律中力一般是位矢、速度及时间的函数。即:第1章质点力学§1.5质点运动微分方程一、运动微分方程的建立

2、运动微分方程：牛顿第二定律在具体问题中的数学表达式常称为运动微分方程，也称为动力学方程。形式上可写为：843、约束及约束方程第1章质点力学§1.5质点运动微分方程85在非自由质点的运动（约束运动）问题中，一般将约束去掉，代以约束反作用力。这样，质点就成了自由质点。约束反作用力的特点：一般是未知的；不完全决定于约束本身（可能与质点运动状态及质点受到的其他力有关；约束反作用力不能单独改变质点的运动）。若质点不受约束而运动，则称之为自由质点；否则称为非自由质点。约束反作用力常称为“被动力”或“约束力”，不是约束的力则称为“主动力”。第1章质点力学§1.5质点运动微分方程约束反作用力的判断：通常作用在质点和曲线或曲面的接触点上；在无摩擦时，方向沿曲线或曲面的法线；有摩擦时，其方向和法线成一定角度。86约束力沿接触面公法线方向光滑接触面约束87约束与力牛顿力学观点

力是改变运动的唯一原因。约束都可以用力代替，这个力称为约束反力（简称约束力）。因为约束力依赖于物体的受力和运动情况，是被动力。不依赖于物体的受力和运动情况，按给定规律变化的力称为主动力，也称给定力，例如重力。分析力学观点约束和力都是改变运动的原因。在力的作用下，物体在约束限制的范围内运动。88确定研究对象，取出隔离体画出所有主动力画出约束反力正确进行受力分析及画好受力图的要点熟知各种约束的性质及其约束反力方向正确运用作用力与反作用力的关系应画出所受的全部外力，不能遗漏受力分析研究质点的动力学（含静力学）问题时，首先要弄清楚有哪些力作用，即受力分析。受力分析的基本步骤是：89ACB例4ABCTQ第1章质点力学§1.4质点运动定律90例5（P79，习题1.18）一质点自倾角为α的斜面的上方O点，沿一光滑斜槽OA下降，如欲使其质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽OA与竖直线所成之角θ应为何值？αθOA91解：如下图所示，质点沿OA下降的加速度为α＝gcosθ，则OA=gcosθ·t2/2(1)设自O点到达斜面的距离为h，则OAcos(α-θ)=hcosα(2)αθOAh（2）代入（1）得：(3)第1章质点力学§1.4质点运动定律92由式（3）可知，质点到达斜面所需要的时间t是角度θ的函数。令(3)第1章质点力学§1.4质点运动定律934、自由质点的运动微分方程直角坐标系下：标量形式：矢量形式：第1章质点力学§1.5质点运动微分方程94平面极坐标系下：第1章质点力学§1.5质点运动微分方程955、非自由质点的运动微分方程：其中为主动力，为约束力（又称为被动力）。第1章质点力学§1.5质点运动微分方程第1章质点力学§1.5质点运动微分方程97二、运动微分方程的求解已知运动求力已知力求运动两类基本问题第1章质点力学§1.5质点运动微分方程981、力仅是时间的函数，

。例：研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动解：设电子速度较光速很小，沿x轴的电场强度角频率初（位）相e、E0、ω、θ为常数。第1章质点力学§1.5质点运动微分方程电子运动的微分方程第1章质点力学§1.5质点运动微分方程100第1章质点力学§1.5质点运动微分方程101讨论该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似。

1)为振荡项，电子在电场的作用下的受迫振动，产生电磁波，对电磁波的传播有贡献;

2)其余部分描述电子的匀速直线运动,对电磁波的传播没有贡献，仅给出电子的细致运动;第1章质点力学§1.5质点运动微分方程1023)可以证明(在高频下)电离层中:n为电子密度，χe为电极化率。因此，任何入射到电离层的电磁波都可以折回到地面；当ω>>1时χe~0，即，微波可以通过电离层。第1章质点力学§1.5质点运动微分方程103相速：2.力仅是速度的函数F=F(v)1)研究质点在重力场中考虑阻力的运动。普物中忽略阻力(零级近似):抛体：自由落体：但速度较大时，阻力不能忽略。空气阻力比较复杂,阻力的大小与物体的大小等有关。详细研究是腔外弹道学。第1章质点力学§1.5质点运动微分方程104一级近似下,抛体视为质点,阻力R=－bv，建立坐标系如图，运动方程:投影方程:第1章质点力学§1.5质点运动微分方程105再积分：第1章质点力学§1.5质点运动微分方程106同理可得：(3)和(4)消去t得轨道方程:若阻力较小(b很小)或x很小:第1章质点力学§1.5质点运动微分方程107由此可见：

(1)若阻力较小(b很小)或x很小,可以忽略x3以上的项，与真空中弹道一致。

(2)当mvx0-bx→0,y→负无穷,说明轨道在x=mvx0/b处变成竖直直线。第1章质点力学§1.5质点运动微分方程108抛体的运动轨迹图和抛体水平速度随时间变化的图形

选自毕业论文学号222008315011067李稳稳没有空气阻力、空气阻力分别与速度的n（在1-2之间的10个取值）次方成正比例时，在10种情况下抛体的运动轨迹和水平速度随时间变化

有阻力的抛体运动程序

选自毕业论文学号222008315011067李稳稳%主程序的文件名是zlptyd.mm=1;%小球的质量b=2;p=[0:0.1:1];%设置参数

figurefori=1:10%重复解10次微分方程

[t,y]=ode45('zunifun',[0:0.01:10],[0,3,0,5],[],p(i),b,m);

H{i}=max(y(:,3));%求轨道的最高点T{i}=t(y(:,3)==H{i});%到最高点所需要的时间

vx0{i}=y(end,2);%最终水平速度

subplot(2,1,1)%第一幅分区图

axis([05-502]);%设置坐标轴的范围

holdon

xlabel('x')%标注x轴

ylabel('y')%标注y轴

plot(y(:,1),y(:,3));subplot(2,1,2)%第一幅分区图

axis([0404])%设置坐标轴的范围

holdon

xlabel('t')

ylabel('dx/dt')plot(t,y(:,2))end%函数文件是一个独立的文件，文件名为zunifun.mfunctionydot=zunifun(~,y,~,b,p,m)

ydot=[y(2);-b/m*y(2)*(y(2).^2+y(4).^2)^(p/2);y(4);-9.8-b/m*y(4)*(y(2).^2+y(4).^2)^(p/2)];end2)带电粒子在正交电磁场中的运动（P79，1.22）假定t=0时，粒子运动微分方程为:第1章质点力学§1.5质点运动微分方程粒子运动分量微分方程为:由(1)和(2)由（1）第1章质点力学§1.5质点运动微分方程将Vy＝Asinωt代入到2式得到vx，再将初始条件t=0vx=V代入vx，结合qB=mω得A＝E/B-V因此积分得第1章质点力学§1.5质点运动微分方程113讨论(1)该情况为v<<c，B、E为恒矢；(2)粒子始终在xoy平面运动,其轨道,V=0的情况为:第1章质点力学§1.5质点运动微分方程圆滚线114v≠0时,连滚带滑:圆心速度：第1章质点力学§1.5质点运动微分方程1153.力仅是坐标的函数F=F(x),振动问题1)一维谐振动：2)三维谐振动：3)阻尼振动、受迫振动:(例子自学)第1章质点力学§1.5质点运动微分方程1164.约束运动问题一般选自然坐标系：例

质点m沿x2=4ay（光滑）自x=2a滑至x=0处，求v及其约束反力。解:画草图，受力分析，R、mg第1章质点力学§1.5质点运动微分方程（1）（2）117第1章质点力学§1.5质点运动微分方程代入（1）式得118归纳步骤：1.准确理解题意；2.分析并作受力情况草图；3.选取坐标系并规定质点的坐标；4.标出已知及未知力、加速度；5.写出质点运动微分方程；6.解微分方程；7.讨论，分析解的物理意义。第1章质点力学§1.5质点运动微分方程119设参照系O′相对于O作加速直线运动。这时有因此将上式可改写成如下形式

第1章质点力学§1.6非惯性动力学（一）120把看作是质点所受到的一种新的、不同于相互作力的非相互作用力，称为惯性力。这样，只要不受牛顿定律左边应是相互作用力的这一限制，而认为可以包括非相互作用力的话，牛顿定律在形式上就仍能在非惯性系中成立：第1章质点力学§1.6非惯性动力学（一）注意:惯性力并非物体之间的相互作用力，没有施力者，是由于参照系本身的加速运动引起的。例1超重，失重与完全失重因而磅秤指示增加，人体超重惯性力是体积力人工制造失重现象的方法： 落塔飞机的抛物线飞行已知：电梯加速度为a。求：磅秤的指示(体重)。解：研究人相对电梯的运动,加牵连惯性力,由相对平衡得飞机的抛物线飞行任何在重力场中做自由飞行的飞行器都具有加速度g，由此产生的惯性力恰好与重力抵消，从而在其内部造成完全失重的环境123霍金的失重飞行力是物体间的相互作用。相互直接接触的物体，接触表面间可以有力的相互作用，称之为表面力。非直接接触的物体，也可以有力的相互作用，如重力、惯性力等。这些力是作用在物体整个体积内的分布力，与其体积和质量有关，称之为体积力。125例2P107，33光滑钢丝圆圈半径为r，其平面竖直。圆圈上套有一小环，重w，如钢丝圈以匀加速度a沿竖直方向运动，求小环的相对速度和圈对小环的反作用力R。解φawR切向法向126127例3一升降机以匀加速度a上升,求在此升降机中小幅度单摆的周期及绳上的张力.omgaRθ解:以地面为惯性系以升降机为非惯性系128129第1章质点力学§1.7功与能一、功和功率1.质点在恒力作用下沿直线运动力的累积效应有两类：力的空间累积效应：功（力×位移）

力的时间累积效应：冲量（力×时间）

其中，Δr是力的作用点的位移1302.质点受变力沿曲线运动功是标量，其值与坐标选取无关。选直角坐标系较方便。在直角坐标系下：第1章质点力学§1.7功与能1313.若质点受几个力F1

，F2，……Fn作用,合力即：合力之功等于分力功之代数和。4.功率描述做功快慢的量。第1章质点力学§1.7功与能132二、能物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。力学中的能量——机械能：动能T（v），势能V(r)。当能量发生变化时，总有一定数量的功表现出来——功是能量变化的度量。对能的理解:哲学上：能量是物质运动的度量，运动是永恒的。能量是推动一切过程的本因——可用能。能源及其利用现状。第1章质点力学§1.7功与能133三、保守力、非保守力与耗散力1.力场一般情况下，若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力F(r)，力是位置的单值、有界、可微函数，则该区域称为力场，F为场力。如：万有引力场、静电场，若含有时间称为非稳定场。第1章质点力学§1.7功与能1342.保守力场积分一般与路径有关若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单值地由始末位置确定（与轨道形状无关）——该力场为保守力场。质点受到的场力为保守力。否则场力做功与路径有关，这种力为非保守力，力场为非保守力场。如：摩擦力——与路径有关——耗散能量——耗散力第1章质点力学§1.7功与能135力……

保守力万有引力静电力弹性力非保守力（涡旋力）磁场力耗散力摩擦力粘滞力空气阻力……第1章质点力学§1.7功与能1363.保守力的判据F(r)为保守力的充要条件是:即:证:（一）必要性因为与路径无关只与始末位置有关，必存在一可微函数V使得第1章质点力学§1.7功与能137因此，同理，第1章质点力学§1.7功与能138（二）充分性由Stokes定理故即：积分与路径无关。第1章质点力学§1.7功与能139四、势能函数V(x,y,z)称为质点在点P(x,y,z)的势能。势能的物理意义：保守力作的功等于势能的减少量。第1章质点力学§1.7功与能140注意

1)势能函数上，加上任意常数不影响势能差。该常数由该点的位置选取而定。2)仅当保守场有dW=-dV时方可引入势能。第1章质点力学§1.7功与能3)F与V的关系：141例1设作用在质点上的力是求此质点沿螺旋线运行自θ=0,至θ=2π时,力对质点的功.142是保守力143解:先检验力是否保守力计算第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律一、动量定理与动量守恒定律1.动量定义：动量是机械运动强弱的度量，mv是以机械运动度量机械运动，mv2/2是以机械运动转化为其它形式的运动的能力来度量的机械运动。1442.动量定理（一般化的牛顿第二定律）动量定理的微分形式注:牛顿本人就是用该形式表述第二定律，在高速情况下F=ma失效，但上形式仍然成立。积分得：动量定理的积分形式力的冲量第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律1453.动量守恒1)若F=0,dp=0,p=C，即质点受和外力为0时，其动量守恒:常数由初始条件确定2)若，但则即:若在某一方向上质点受力为零,则在该方向上动量守恒。第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律146二、力矩与动量矩（角动量）1.力矩1)定义力对空间的点A的力矩A点称为矩心。第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律1472)力对空间某一轴线的力矩对x轴之矩：同理可得：即:要求力对轴的矩,可先求力对任一点O的矩，然后在向轴上投影。第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律148例1手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为

。如CD

=

a

，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F对x、y和z轴之矩。

149解法一将力F沿坐标轴分解为Fx和FZ两个分力：可得150解法二1512.动量矩对o点：对x、y、z轴：3.推广——矢量A对任意一点O的矢量矩第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律152三、动量矩定理与动量矩守恒定理1.动量矩定理动量矩定理的微分形式(J与M同矩心)第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律投影式:第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律1542.冲量矩冲量矩第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律1553.动量矩守恒若则但则若第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律156角动量守恒实例动量、角动量守恒的适用范围自然界基本定律在更广泛情况下不依赖牛顿定律159例:质点受力恒通过一固定点,则质点必在一平面上运动,试证明之。解:取固定点为坐标原点，则质点的位矢r与F共线,r×F=0,所以J=C(恒矢)，则:x乘(1)，y乘(2)，z乘(3)，并相加，得:（1）（2）（3）由解析几何可知,此为一平面方程,故质点只能在该平面上运动。第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律四、动能定理与机械能守恒定律1.动能定理第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律160定义:动能故，由第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律1612.若F为保守力场机械能守恒总机械能或总能第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律162机械能守恒定律只要作用在质点上的力有非保守力，上式就不成立！（能量积分）第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律163注意与运动方程不同（含坐标对时间的二阶导数的微分方程），本节中的动量、角动量、机械能守恒定律都是一阶微分方程，其基本形式为：可看成是运动方程经过一次积分消去坐标对时间的二阶导数后得到的，因此称其为运动方程的第一积分或初积分。第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律164五、势能曲线势垒：

E线以上的势能曲线势阱：

E线以下的势能曲线质点受一维保守力作用，V(x)第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律165可以由能量守恒律得出由总能和势能表达的速度公式：第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律166(1)x<x1V>E，为虚值质点不可能在此区间运动。(2)x1＜x<x2V<E，质点能在此区间运动在x=x1或x=x2处，E＝V，转折点质点碰到转折点后掉转方向，在阱中来回振动。第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律167(3)x2＜x<x3V＞E，质点不能在此区间运动(4)x2＜x<x3V＜E，质点能在此区间运动。当质点自x较大处向x3运动，到达x3后将被势垒反射回去，无限制地趋向无穷远。第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律168总结质点可能的运动方式，由势能曲线（V(x)的具体表达式）决定。质点在势能曲线上的运动不受限制。质点在势能曲线的所有运动均不可能。第1章质点力学§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律隧道效应（量子力学）169总结动力学基本原理分为两种基本类型（1）动量形式：动量定理与动量矩守恒律和动量矩定理及其守恒律（2）能量形式：动能定理与机械能守恒律注意：

◆动量中的速度是绝对速度

◆

只需知道质点的初末位置而不需要了解质点运动的全过程时，应该运用三个定理解题，特别是要善于运用三个守恒律，这样问题处理就更简单一点，因为它们是二阶微分方程的第一积分。170第1章质点力学§1.9有心力一、有心力的基本性质1.有心力运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心力，该点叫力心。凡力趋向定点的是引力，离开定点的是斥力．有心力的量值一般为r的函数，为斥力为引力1712.因为力通过力心，故质点必在垂直于J的平面运动。3.运动微分方程第1章质点力学§1.9有心力1721)直角坐标系下以力心为原点,质点的运动平面为xy平面，则质点的运动微分方程为第1章质点力学§1.9有心力可见，在直角坐标系下解有心力的问题并不简便。1732)平面极坐标系下由1.2.13式，求第一积分物理意义:动量矩守恒第1章质点力学§1.9有心力174极坐标系中,力做功的表达式有心力时第1章质点力学§1.9有心力1754.有心力为保守力证:第1章质点力学§1.9有心力176故,必有:机械能守恒：第1章质点力学§1.9有心力177解决问题的基本出发点:第1章质点力学§1.9有心力178二、轨道微分方程—比耐公式(目的:

从运动方程中消去t)原则上可求出消去t得轨道，r=r(t)，θ=θ(t)可直接求r=r(θ)。由令则第1章质点力学§1.9有心力179代入第1章质点力学§1.9有心力180比耐公式用途：已知r=r(θ)可求得质点受力,若已知Fr则可求得轨道。规定F(u)>o时，斥力；F(u)<0时，为引力(与反方向)第1章质点力学§1.9有心力181三、平方反比引力——行星运动研究太阳（M）与行星（m）运动中行星的轨道方程。1.用比耐公式求解太阳的高斯常数代入比耐公式:第1章质点力学§1.9有心力182得(二阶常系数非齐次方程，）令:半正焦弦偏心率第1章质点力学§1.9有心力183可见，平方反比引力下行星的的运动是以太阳为焦点的圆锥曲线。此轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。第1章质点力学§1.9有心力184讨论①e<1，椭圆。近日点:远日点:准线消去c,得:后面用到第1章质点力学§1.9有心力

②e=1，抛物线。

准线第1章质点力学§1.9有心力③e>1，双曲线。准线第1章质点力学§1.9有心力④斥力情况:为双曲线右边的一支！准线第1章质点力学§1.9有心力2.运用第二组方程求解（取无穷远处势能为零）第1章质点力学§1.9有心力可解得:

（束缚态），椭圆抛物线双曲线与比较第1章质点力学§1.9有心力可见，能量E为轨道类别的判据。190托勒玫（公元90～168）是古希腊著名的天文学家、地理学家。约公元90年诞生于埃及的亚历山大里亚。在公元168年去世，终年78岁。托勒玫的另一巨著是八卷《地理学指南》，书中最早提出了类似于现代经、纬度的概念。托勒玫对物理学的重要贡献包括在他的《光学》一书中。他研究了光在平面镜上的反射和光从一种介质进入另一种介质的时候发生折射的现象。

托勒玫于公元127年到151年在亚历山大里亚进行了长期的、大量的天文观测，托勒玫把这些天文观测成果和地心体系总结成十三卷巨著《大综合论》，后来阿拉伯文译本改名为《至大论》。第1章质点力学§1.9有心力四、开普勒定律哥白尼(1473-1543)：伟大的波兰天文学家，日心说的创立者，近代天文学的奠基人。

1473年2月19日生于波兰维斯瓦河畔的托伦城。10岁丧父，由舅父瓦琴洛德抚养。18岁时进克拉科夫大学，1497～1500年间他在波洛尼亚大学读书，除教会法规外，还同时研究多种学科，尤其是数学和天文学。1497年3月9日，他在波洛尼亚作了他遗留下的第一个天文观测记录：月球遮掩金牛座□（毕宿五）的时刻。1503年，在费拉拉大学获得教会法博士学。1506年，哥白尼从意大利回到波兰。他把大部分精力都用在天文学的研究上。日心地动说的创立和《天体运行论》的出版哥白尼的主要贡献是创立了科学的日心地动说，写出“自然科学的独立宣言”──《天体运行论》。公元1616年把《天体运行论》列为禁书。然而经过开普勒、伽利略、牛顿等人的工作，哥白尼的学说不断获得胜利和发展；恒星光行差、视差的发现，使地球绕太阳转动的学说得到了令人信服的证明。第谷·布拉赫（1546-1601），丹麦天文学家和占星学家。生于克努兹斯图普（今属瑞典）。1572年11月11日第谷发现仙后座中的一颗新星（银河系的一颗超新星），第二年发表论文《新星》，后来受丹麦国王腓特烈二世的邀请，在汶岛建造天堡观象台，建造了许多大型精密的天文仪器，经过20年的天文观测，第谷发现了许多新的天文现象，如黄赤交角的变化、月球运行的二均差，并重新测量了岁差数值（每年51''）。第谷·布拉赫曾提出一种介于地心说和日心说之间的宇宙结构体系：地球静居中心，行星绕太阳运行，而太阳则带领行星绕地球运转。这一体系十七世纪初传入我国后曾一度被接受。开普勒(1571-1630)德国近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家。开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说、并在天文学方面有突破性成就的人物，被后世的科学史家称为“天上的立法者”。开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭，开普勒是一个早产儿，体质很差。他在童年时代遭遇了很大的不幸，四岁时患上了天花和猩红热，虽侥幸死里逃生，身体却受到了严重的摧残，视力衰弱，一只手半残。但开普勒身上有一种顽强的进取精神，但一直坚持努力学习，成绩一直名列前茅。

1587年进入蒂宾根大学。第谷最大的天文学成就就是发现了开普勒。第谷在临终前将自己多年积累的天文观测资料全部交给了开普勒，再三叮嘱开普勒要继续他的工作，并将观察结果出版出来。开普勒接过了第谷尚未完成的研究工作。后来，开普勒在伽利略的影响下，通过对行星运动进行深入的研究，抛弃了柏拉图和毕达哥拉斯的学说，逐步走上真理和科学的轨道。

1630年11月，因数月未得到薪金，生活难以维持，年迈的开普勒不得不亲自到雷根斯堡索取。不幸的是，他刚刚到那里就抱病不起。1630年11月15日，开普勒在一家客栈里悄悄地离开了世界。他死时，除一些书籍和手稿之外，身上仅剩下了7分尼（1马克等于100分尼）。第1章质点力学§1.9有心力四、开普勒定律1.开普勒三定律（相对日心—恒星参考系）第一定律（轨道定律1609）:行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于椭圆得一个焦点上。说明行星轨道方程:e<1，太阳位于椭圆的焦点上。

第二定律（面积定律，1609）:行星与太阳的连线，相同时间内扫过的面积相等。即第三定律（周期定律，1619）：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。说明:为常数牛顿万有引力发表于1687年。从三定律可推导万