新版高中数学北师大版必修2习题第一章立体几何初步1.6.2

6.2垂直关系的性质1.已知直线l垂直于△ABC的两边AB,AC,直线m垂直于△ABC的两边BC,BA,则直线l,m的位置关系是()A.异面 B.平行 C.相交 D.不确定答案:B2.已知平面α,β,γ,直线a,b,则下列命题正确的是()A.α⊥β,β⊥γ,则α∥γB.α∥β,β⊥γ,则α⊥γC.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,则a⊥bD.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则b⊥α解析:选项A中α,γ可以相交;选项C中,如图所示,a与b不一定垂直;选项D中,b仅垂直于α内的一条直线a,不能判定b⊥α.答案:B3.已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直解析:若α⊥β,α∩β=l,则垂直于β的平面可以与α相交,故选项A错误;当直线在β内,且垂直于交线l时,才垂直于平面α,故选项B错误;垂直于β的平面可以与l相交,故C项错误;由面面垂直的判定定理可知D项正确.答案:D4.若P为△ABC所在平面外的一点,且PA,PB,PC两两垂直,有下列命题,则其中真命题的个数是()①PA⊥BC;②AB⊥BC;③P在平面ABC上的射影为△ABC的内心.A.0 B.1 C.2 D.3解析:PA⊥PB,PA⊥PC⇒PA⊥面PBC,∴PA⊥BC,即①为真命题;同理PC⊥AB,若AB⊥BC,则AB⊥面PBC,PA∥AB,矛盾,即②为假命题;设点P在面ABC上的射影为点H,易证AH⊥BC,BH⊥AC,CH⊥AB,所以点H为△ABC的垂心,即③为假命题.答案:B5.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是()A.线段B1CB.线段BC1C.BB1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与B1C1中点连成的线段答案:A6.已知α,β是两个平面,m,n是两条直线,给出如下四个论断:①m⊥α;②n∥β;③α⊥β;④m∥n.现以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,请写出其中一个正确的命题.

解析:由m⊥α,m∥n可知n⊥α,结合n∥β,可得α⊥β.答案:①②④⇒③7.如图所示,三棱锥ABCD是长方体木料的一角,现欲从顶点A沿着底面BCD的垂线方向钻孔,则出口位置是△BCD的(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”).

解析:由于三棱锥ABCD的顶点A所在的三个角都为直角,过点A作AO垂直于底面BCD,则点O为△BCD的垂心.答案:垂心★8.在空间四边形ABCD中,△ABD,△CBD都是边长为1的正三角形,且平面ABD⊥平面CBD,E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点,则四边形EFGH的面积是.

解析:依题意,作出如右示意图,取BD的中点为O,连接AO,CO,因为△ABD,△CBD都是边长为1的正三角形,所以AO⊥BD,CO⊥BD,AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,AC⫋平面AOC,所以BD⊥AC.因为E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点,所以EFGH12BD,FGEH12因为BD⊥AC,故EF⊥FG,即四边形EFGH为矩形.在等腰直角三角形AOC中,AC2=AO2+CO2=322+322=32所以四边形EFGH的面积S=EF·FG=12答案:69.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=9,BC=12,AB=15.求证:AC⊥B1C.证明∵AC=9,BC=12,AB=15,∴AB2=AC2+BC2.∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.∵CC1⊥平面ABC,AC⫋平面ABC,∴AC⊥CC1.又CC1∩BC=C,∴AC⊥平面BB1C1C.∵B1C⫋平面BB1C1C,∴AC⊥B1C.★10.如图所示,在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点.(1)若CD∥平面PBO,试指出点O的位置;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.分析(1)可以证明BO∥CD,则四边形BCDO是平行四边形,从而确定点O的位置;(2)转化为证明PD⊥平面PAB.(1)解∵CD∥平面PBO,CD⫋平面ABCD,且平面ABCD∩平面PBO=BO,∴BO∥CD.又BC∥AD,∴四边形BCDO为平行四边形,则BC=DO.而AD=3BC,∴AD=3OD,即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点.(2)证明∵侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⫋底面ABC