复数复习专题讲义-高三数学二轮复习

复数复数的定义：形如（）的数叫复数，其中叫做虚数单位，叫复数的实部，叫复数的虚部。虚数单位：（1）它的平方等于，即；（2）的周期性：，，，（）。复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数（），当且仅当时，复数是实数；当且仅当时，复数叫做虚数；当且仅当且时，复数叫做纯虚数；当且仅当时，复数就是实数0。复数相等的充要条件：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。只有当两个复数全是实数时才能比较大小。共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，而且虚部互为相反数时，那么这两个复数叫做互为共轭复数。复数和（）互为共轭复数。复数的代数形式：复数通常用字母表示，即（），叫做复数的代数形式。复数的混合运算：；；复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。复平面、实轴、虚轴：点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。复数的几何表示：（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.向量的长度叫做复数的模，记作.即.【题型1】复数的混合运算1．（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i【解答】解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．故选：D．2．（2020•海南）（1+2i）（2+i）＝（）A．4+5i B．5i C．﹣5i D．2+3i【解答】解：（1+2i）（2+i）＝2+i+4i+2i2＝5i，故选：B．3．（2020•新课标Ⅱ）（1﹣i）4＝（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i【解答】解：（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝﹣4．故选：A．4．（2020•山东）2-i1+2iA．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：2-i1+2i=故选：D．5．（2023•甲卷）5(1+iA．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i【解答】解：5(1+i3)故选：C．【小结】【题型2】复数相等、复数的逆运算1．（2021•北京）若复数z满足（1﹣i）•z＝2，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：因为（1﹣i）•z＝2，所以z=2故选：D．2．（2021•乙卷）设iz＝4+3i，则z＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【解答】解：由iz＝4+3i，得z=4+3i故选：C．3．（2021•甲卷）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（）A．﹣1-32i B．﹣1+32i C．-3【解答】解：因为（1﹣i）2z＝3+2i，所以z=3+2i故选：B．4．（2022•浙江）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣1，b＝3，故选：B．5．（2021•浙江）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【解答】解：因为（1+ai）i＝3+i，即﹣a+i＝3+i，由复数相等的定义可得，﹣a＝3，即a＝﹣3．故选：C．【小结】【题型3】共轭复数1．（2023•乙卷）设z=2+i1+iA．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z==2+i＝1﹣2i，∴z=1+2i故选：B．2．（2023•新高考Ⅰ）已知z=1-i2+2i，则zA．﹣i B．i C．0 D．1【解答】解：z=1-i则z=故z-z=-故选：A．3．（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z+zA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z=1∴z＝1+i，则z=1-i∴z+z故选：D．4．（2021•新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，则z（z+iA．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i【解答】解：∵z＝2﹣i，∴z（z+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i故选：C．5．（2022•甲卷）若z＝﹣1+3i，则zA．﹣1+3i B．﹣1-3i C．-13+【解答】解：∵z＝﹣1+3i，∴z⋅则zz故选：C．【小结】【题型4】复数的模1．（2020•新课标Ⅰ）若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A．0 B．1 C．2 D．2【解答】解：z＝1+2i+i3＝1+2i﹣i＝1+i，∴|z|=1故选：C．2．（2023•乙卷）|2+i2+2i3|＝（）A．1 B．2 C．5 D．5【解答】解：由于|2+i2+2i3|＝|1﹣2i|=1故选：C．3．（2022•北京）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则|z|＝（）A．1 B．5 C．7 D．25【解答】解：由i•z＝3﹣4i，得z=3-4i∴|z|＝|3-4ii|=故选：B．4．（2022•甲卷）若z＝1+i，则|iz+3z|＝（）A．45 B．42 C．25 D．22【解答】解：z＝1+i，∴iz+3z=i+i2+3（1﹣i）＝i﹣1+3﹣3i＝2﹣2i则|iz+3z|=22+(-2故选：D．5．（2020•新课标Ⅰ）若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0 B．1 C．2 D．2【解答】解：若z＝1+i，则z2﹣2z＝（1+i）2﹣2（1+i）＝2i﹣2﹣2i＝﹣2，则|z2﹣2z|＝|﹣2|＝2，故选：D．【小结】【题型5】复数的实部与虚部1．（2023•陵水县模拟）若i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝|3+4i|﹣i，则z的实部为（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【解答】解：z(1+i)=|3+4i|-i=3则z=5-i则z的实部为2．故选：D．2．（2020•新课标Ⅲ）复数11-3iA．-310 B．-110 C．【解答】解：∵11-3i∴复数11-3i的虚部是3故选：D．3．（2024•汉中一模）已知z（2+i）＝1，则复数z的虚部为（）A．-15 B．15 C．-【解答】解：由z（2+i）＝1可得z=12+i=故选：A．4．（2024•永寿县校级模拟）已知复数z满足z(1-i)=i，则zA．-12 B．12 C．-【解答】解：∵z(1-i)=i∴z=i∴z=-12则z的虚部为-1故选：A．5．（2023•驻马店二模）复数z=1-4A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【解答】解：因为z=1-4所以复数z的实部与虚部分别是-32，则复数z的实部与虚部之和为-3故选：C．【小结】【题型6】实数与纯虚数1．（2020•浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，可得a﹣2＝0，解得a＝2．故选：C．2．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．3．（2024•拉萨一模）已知复数2+i（1﹣a+ai）为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：因为2+i（1﹣a+ai）＝﹣a+2+（1﹣a）i为纯虚数，所以-a+2=01-a≠0，解得a故选：D．4．（2023•济宁三模）若复数z=3+ai2+i为纯虚数，则实数A．-32 B．32 【解答】解：依题意，z=(3+ai)(2-i)因为复数z是纯虚数，且a∈R，则6+a5=0且2a-35故选：D．5．（2021•聊城三模）已知a∈R，i为虚数单位，若a-3i2+4i为实数，则aA．32 B．23 C．-2【解答】解：a-3i2+4i∵a-3i2+4i∴6+4a＝0,∴a=-3故选：D．【小结】【题型7】几何问题1．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．2．（2024•自贡模拟）已知复数z=3+ii，则复数z的共轭复数A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：z=3+i所以z对应点（1，3）在第一象限．故选：A．3．（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，3），则z的共轭复数z=A．1+3i B．1-3i C．﹣1+3i 【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，3），∴z＝﹣1+3i则z的共轭复数z=-1-3故选：D．4．（2017•北京）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）＝a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴a+1＜01-a＞0，解得a则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．5．（2023•通许县模拟）已知z＝（1+i）m+（3﹣i）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：z＝（1+i）m+（3﹣i）＝m+3+（m﹣1）i，∵z在复平面内对应的点（m+3，m﹣1）位于第四象限，∴m+3＞0m-1＜0，解得﹣3＜m故实数m的取值范围是（﹣3，1）．故选：A．【小结】当堂检测一．选择题（共16小题）1．若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即2a=21-a2故选：C．2．已知z＝1﹣2i，且z+az+b＝0，其中a，bA．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2【解答】解：因为z＝1﹣2i，且z+az+b所以（1﹣2i）+a（1+2i）+b＝（1+a+b）+（﹣2+2a）i＝0，所以1+a+b=0-2+2a=0解得a＝1，b＝﹣2．故选：A．3．设（1+2i）a+b＝2i，其中a，b为实数，则（）A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣1【解答】解：∵（1+2i）a+b＝2i，∴a+b+2ai＝2i，即a+b=02a=2解得a=1b=-1故选：A．4．设2（z+z）+3（z-z）＝4+6i，则A．1﹣2i B．1+2i C．1+i D．1﹣i【解答】解：设z＝a+bi，a，b是实数，则z=a﹣bi则由2（z+z）+3（z-z）＝4+6得2×2a+3×2bi＝4+6i，得4a+6bi＝4+6i，得4a=46b=6，得a＝1，b＝1，即z＝1+i故选：C．5．复数2-i1-3iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵2-i1-3i∴在复平面内，复数2-i1-3i对应的点的坐标为（12，故选：A．6．若z（1+i）＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i【解答】解：由z（1+i）＝1﹣i，得z=∴z＝i．故选：D．7．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i•z＝（）A．1+2i B．﹣2+i C．1﹣2i D．﹣2﹣i【解答】解：∵复数z对应的点的坐标是（1，2），∴z＝1+2i，则i•z＝i（1+2i）＝﹣2+i，故选：B．8．设z＝﹣3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵z＝﹣3+2i，∴z=-3-2i∴在复平面内z对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．9．设z＝i（2+i），则z=A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【解答】解：∵z＝i（2+i）＝﹣1+2i，∴z=-1﹣2i故选：D．10．设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），∴z＝x+yi，∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，∴|z﹣i|=x∴x2+（y﹣1）2＝1，故选：C．11．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z=＝1+i．故选：D．12．设z=3-i1+2i，则|A．2 B．3 C．2 D．1【解答】解：由z=3-i1+2i，得|z|＝|3-i1+2i故选：C．13．已知复数z＝2+i，则z•z=A．3 B．5 C．3 D．5【解答】解：∵z＝2+i，∴z•z=|z故选：D．14．1+2i1-2iA．-45-35i B．-4【解答】解：1+2i1-2i故选：D．15．设z=1-i1+i+2iA．0 B．12 C．1 D．【解答】解：z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i)(1-i)(1+i)+2i＝﹣则|z|＝1．故选：C．16．复平面内，复数（1﹣2i）（2+i）的对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：（1﹣2i）（2+i）＝4﹣3i，则复数（1﹣2i）（2+i）的对应的点（4，﹣3）位于第四象限．故选：D．二．填空题（共6小题）17．已知i是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为4+i【解答】解：5+14i2+3i=(5+14i)(2-3i)故答案为：4+i．18．已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝5．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|=5故答案为：5．19．已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝3+4i．【解答】解：因为z1＝1+i，z2＝2+3i，所以z1+z2＝3+4i．故答案为：3+4i．20．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，则|z1﹣z2|＝23【解答】解：复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1+z2=3+i，所以|z1+z∴|z∴8+z1z∴|z1﹣z2|2＝8﹣（z1又|z1﹣z2|＞0，故|z1﹣z2|＝23．故答案为：23．21．已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为2【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R）．∵复数z满足z+2z=6+i∴3a﹣bi＝6+i，可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1．则z的实部为2．故答案为：2．22．已知复数z=(1+3i)(1-i)(1-2i)，则|z|＝【解答】解：∵z=(1+3i)(1-i)(1-2i)=∴z=-2i∴|z故答案为：2．课后作业一．选择题（共8小题）1．若（1+2i）z=4+3i，则zA．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：（1+2i）z=4+3i则z=4+3i1+2i所以z＝2+i．故选：B．2．复数z=4-3i2+i（其中A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：z=4-3i2+i=∴复数z的虚部为﹣2．故选：A．3．已知复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），且（1+ai）i＝1+bi，则复数z在复平面内的对应点Z在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：（1+ai）i＝﹣a+i＝1+bi，即a＝﹣1，b＝1，故z＝﹣1+i，即复数z在复平面内对应点Z（﹣1，1）所在的象限为第二象限．故选：B．4．已知非零复数z满足z•（2+2i）＝|z|2，则z的共轭复数是（）A．2+2i B．2﹣2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），由z•（2+2i）＝|z|2，得（a+bi）（2+2i）＝a2+b2，化简得（2a﹣2b）+（2a+2b）i＝a2+b2，所以2a-2b=a2+b2所以z＝2﹣2i，则z=2+2i故选：A．5．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i【解答】解：z1＝2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2＝﹣2+i，则z1z2＝（2+i）（﹣2+i）＝i2﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5，故选：A．6．已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2 B．﹣2i C．1 D．i【解答】解：由z（1+2i）＝|4﹣3i|=4得z=5∴复数z的虚部为﹣2．故选：A．7．若i是虚数单位，则复数2+3i1+iA．-54 B．54 C．5【解答】解：∵2+3i1+i∴复数2+3i1+i的实部为52，虚部为∴复数2+3i1+i的实部与虚部之积为5故选：B．8．已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：m+3＞0m-1＜0，解得﹣3＜m故选：A．二．多选题（共4小题）（多选）9．设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是（）A．如果z1﹣z2＞0，那么z1＞z2 B．如果|z1|＝|z2|，那么z1z1=z2C．如果|z1z2|＞1，那么|z1D．如果z12+z22=【解答】解：对于A项，取z1＝3+i，z2＝1+i时，z1﹣z2＝2＞0，但虚数不能比较大小，故A项错误；对于B项，由|z1|＝|z2|，得|z又z1z1=|z1|对于C项，因为|z1z2|=|z1|对于D项，取z1＝1，z2＝i，满足z12+z22=0，但是z故选：BC．（多选）10．已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为z，则（）A．|z|=3B．z=-C．复数z的实部为﹣1 D．复数z对应复平面上的点在第二象限【解答】解：由z（2﹣i）＝i，得z=i∴|z|=(-15z=-1+2i5复数z的实部为-15，故复数z对应复平面上的点的坐标为（-15，25故选：BD．（多选）11．设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若z2=z3，则|z1z2|＝|z1z3D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2【解答】解：设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，z3＝a3+b3i，ai，bi（i＝1，2，3）为实数，若|z2|＝|z3|，则a2此时z2＝±z3不一定成立，故A错误；若z1z2＝z1z3，则z1（z2﹣z3）＝0，又因z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；若z2=z3，则a2＝a3，b2所以|z所以|z1z2|＝|z1z3|，故C正确；当z2=z此时z1＝z2不